2017届高考数学大一轮总复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入计时双基练 理（打包4套）北师大版.zip

1计时双基练二十五 平面向量的概念及其线性运算A 组 基础必做 1．设 a， b 都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是( )a|a| b|b|A．| a|＝| b|且 a∥ b B． a＝－ bC． a∥ b D． a＝2 b解析 ∵ 表示与 a 同向的单位向量，∴ a 与 b 必须方向相同才能满足 ＝ 。a|a| a|a| b|b|答案 D2.已知如图所示的向量中， ＝ ，用 ， 表示 ，则 等于( )AP→ 43AB→ OA→ OB→ OP→ OP→ A. －13OA→ 43OB→ B. ＋13OA→ 43OB→ C．－ ＋13OA→ 43OB→ D．－ －13OA→ 43OB→ 解析 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝－ ＋ 。OP→ OA→ AP→ OA→ 43AB→ OA→ 43OB→ OA→ 13OA→ 43OB→ 答案 C3．(2016·九江模拟)已知 P， A， B， C 是平面内四点，且 ＋ ＋ ＝ ，那么一定PA→ PB→ PC→ AC→ 有( )A. ＝2 B. ＝2PB→ CP→ CP→ PB→ C. ＝2 D. ＝2AP→ PB→ PB→ AP→ 解析 由题意得 ＋ ＋ ＝ － ，PA→ PB→ PC→ PC→ PA→ 即 ＝－2 ＝2 。PB→ PA→ AP→ 答案 D4．给出下列命题：2①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③ λ a＝0( λ 为实数)，则 λ 必为零；④ λ ， μ 为实数，若 λ a＝ μ b，则 a 与 b 共线。其中错误的命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析 ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点。②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小。③错误，当 a＝0 时，不论 λ 为何值， λ a＝0。④错误，当 λ ＝ μ ＝0 时， λ a＝ μ b＝0，此时 a 与 b 可以是任意向量。故选 C。答案 C5．(2016·广州模拟)在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若＝2 ， ＝ ＋ λ ，则 λ ＝( )AD→ DB→ CD→ 13CA→ CB→ A. B. 23 13C．－ D．－13 23解析 ∵ ＝2 ，即 － ＝2( － )，AD→ DB→ CD→ CA→ CB→ CD→ ∴ ＝ ＋ ，∴ λ ＝ 。CD→ 13CA→ 23CB→ 23答案 A6．已知向量 a， b，且 ＝ a＋2 b， ＝－5 a＋6 b， ＝7 a－2 b，则一定共线的三点是AB→ BC→ CD→ ( )A． A， B， D B． A， B， CC． B， C， D D． A， C， D解析 ＝ ＋ ＋ ＝3 a＋6 b＝3 。因为 与 有公共点 A，所以 A， B， D 三点共AD→ AB→ BC→ CD→ AB→ AB→ AD→ 线。答案 A7．设 D， E， F 分别是△ ABC 的三边 BC， CA， AB 上的点，且 ＝2 ， ＝2 ， ＝2DC→ BD→ CE→ EA→ AF→ ，则 ＋ ＋ 与 ( )FB→ AD→ BE→ CF→ BC→ 3A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析 由题意得 ＝ ＋ ＝ ＋ ，AD→ AB→ BD→ AB→ 13BC→ ＝ ＋ ＝ ＋ ，BE→ BA→ AE→ BA→ 13AC→ ＝ ＋ ＝ ＋ ，CF→ CB→ BF→ CB→ 13BA→ 因此 ＋ ＋ ＝ ＋ ( ＋ － )AD→ BE→ CF→ CB→ 13BC→ AC→ AB→ ＝ ＋ ＝－ ，CB→ 23BC→ 13BC→ 故 ＋ ＋ 与 反向平行。AD→ BE→ CF→ BC→ 答案 A8．(2016·河北省高三年级三市第二次联考)已知 e1， e2是不共线向量，a＝ me1＋2 e2， b＝ ne1－ e2，且 mn≠0，若 a∥ b，则 等于( )mnA．－ B.12 12C．－2 D．2解析 ∵ a∥ b，∴ a＝ λ b，即 me1＋2 e2＝ λ (ne1－ e2)，则Error!，故 ＝－2。mn答案 C9．设 O 在△ ABC 的内部，且有 ＋2 ＋3 ＝0，则△ ABC 的面积和△ AOC 的面积之比OA→ OB→ OC→ 为( )A．3 B.53C．2 D.32解析 设 AC， BC 的中点分别为 M， N，则已知条件可化为( ＋ )＋2( ＋ )＝0，OA→ OC→ OB→ OC→ 即 2 ＋4 ＝0，所以 ＝－2 ，说明 M， O， N 三点共线，则 O 为中位线 MN 上靠近 N 点OM→ ON→ OM→ ON→ 一个三等分点， S△ AOC＝ S△ ANC＝ × S△ ABC＝ S△ ABC，所以 ＝3。23 23 12 13 S△ ABCS△ AOC答案 A10．设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2＝16，| ＋ |＝| － |，则BC→ AB→ AC→ AB→ AC→ | |＝________。AM→ 4解析 由| ＋ |＝| － |可知， ⊥ ，AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 则 AM 为 Rt△ ABC 斜边 BC 上的中线，因此，| |＝ | |＝ ×4＝2。AM→ 12BC→ 12答案 211．若| |＝8，| |＝5，则| |的取值范围是________。AB→ AC→ BC→ 解析 因为 ＝ － ，当 ， 同向时，| |＝8－5＝3；当 ， 反向时，BC→ AC→ AB→ AB→ AC→ BC→ AB→ AC→ | |＝8＋5＝13；当 ， 不共线时，3| |13。综上可知 3≤| |≤13。BC→ AB→ AC→ BC→ BC→ 答案 [3,13]12．已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式OA→ OB→ OC→ OD→ ＋ ＝ ＋ ，则四边形 ABCD 的形状为________。OA→ OC→ OB→ OD→ 解析 ∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ，OA→ OC→ OB→ OD→ OA→ OB→ OD→ OC→ ∴ ＝ ， BA 綊 CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形。BA→ CD→ 答案 平行四边形13．已知 D， E， F 分别为△ ABC 的边 BC， CA， AB 的中点，且 ＝ a， ＝ b，给出下列BC→ CA→ 命题：① ＝ a－ b；② ＝ a＋ b；③ ＝－ a＋ b；④ ＋ ＋ ＝0。AD→ 12 BE→ 12 CF→ 12 12 AD→ BE→ CF→ 其中正确命题的个数为________。解析 ＝ a， ＝ b， ＝ ＋ ＝－ a－ b，故①错；BC→ CA→ AD→ 12CB→ AC→ 12＝ ＋ ＝ a＋ b，故②正确；BE→ BC→ 12CA→ 12＝ ( ＋ )＝ (－ a＋ b)＝－ a＋ b，故③正确；CF→ 12CB→ CA→ 12 12 12∴ ＋ ＋ ＝－ b－ a＋ a＋ b＋ b－ a＝0。AD→ BE→ CF→ 12 12 12 12∴正确命题为②③④。答案 3B 组 培优演练1．已知点 O， A， B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2 ＝2 ＋ ，则( )OP→ OA→ BA→ A．点 P 在线段 AB 上5B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上C．点 P 在线段 AB 的延长线上D．点 P 不在直线 AB 上解析 因为 2 ＝2 ＋ ，OP→ OA→ BA→ 所以 2 ＝ ，AP→ BA→ 所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B。答案 B2．若点 O 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足| － |＝| ＋ －2 |，则△ ABC 的OB→ OC→ OB→ OC→ OA→ 形状为________。解析 ＋ －2 ＝ － ＋ － ＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，∴| ＋ |＝| － |。OB→ OC→ OA→ OB→ OA→ OC→ OA→ AB→ AC→ OB→ OC→ CB→ AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 故 A， B， C 为矩形的三个顶点，△ ABC 为直角三角形。答案 直角三角形3．如图，△ ABC 中， ＋ ＋ ＝0， ＝ a， ＝ b。若GA→ GB→ GC→ CA→ CB→ ＝ ma， ＝ nb， CG∩ PQ＝ H， ＝2 ，则 ＋ ＝________。CP→ CQ→ CG→ CH→ 1m 1n解析 由 ＋ ＋ ＝0，知 G 为△ ABC 的重心，取 AB 的中点 D，则 ＝ ＝ ＝ (GA→ GB→ GC→ CH→ 12CG→ 13CD→ 16＋ )＝ ＋ ，由 P， H， Q 三点共线，得 ＋ ＝1，则 ＋ ＝6。CA→ CB→ 16mCP→ 16nCQ→ 16m 16n 1m 1n答案 64．如图，在△ ABC 中，设 ＝ a， ＝ b， AP 的中点为 Q， BQ 的中点为 R， CR 的中点恰AB→ AC→ 好为 P，则 ＝________。(用 a， b 表示)AP→ 解析 6如图，连接 BP，则 ＝ ＋ ＝ b＋ ①， ＝ ＋ ＝ a＋ － ②，①＋②得，AP→ AC→ CP→ PR→ AP→ AB→ BP→ RP→ RB→ 2 ＝ a＋ b－ ③。又 ＝ ＝ ( － )＝ ④，将④代入③得，AP→ RB→ RB→ 12QB→ 12AB→ AQ→ 12(a－ 12AP→ )2 ＝ a＋ b－ ，解得 ＝ a＋ bAP→ 12(a－ 12AP→ ) AP→ 27 47答案 a＋ b27 471计时双基练二十六 平面向量基本定理及坐标表示A 组 基础必做 1．下列各组向量：① e1＝(－1,2)， e2＝(5,7)；② e1＝(3,5)， e2＝(6,10)；③ e1＝(2，－3)， e2＝ ，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )(12， 34)A．① B．①③C．②③ D．①②③解析 ②中， e1＝ e2，即 e1与 e2共线，所以不能作为基底。12答案 B2．(2016·南宁模拟)已知平面向量 a＝(1,2)， b＝(－2， m)，且 a∥ b，则 2a＋3 b＝( )A．(－5，－10) B．(－2，－4)C．(－3，－6) D．(－4，－8)解析 ∵ a∥ b，∴1× m＝2×(－2)，即 m＝－4。∴2 a＋3 b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)。答案 D3．设向量 a＝( x,1)， b＝(4， x)，且 a， b 方向相反 ，则 x 的值是( )A．2 B．－2C．±2 D．0解析 因为 a 与 b 方向相反，所以 b＝ ma， m0， b0， O 为坐标原点，若OA→ OB→ OC→ 5A， B， C 三点不能构成三角形，则 ＋ 的最小值为________。1a 2b解析 ＝ － ＝( a－1,1)，AB→ OB→ OA→ ＝ － ＝(－ b－1,2)。AC→ OC→ OA→ 由题意可知， A， B， C 三点共线，∴ ∥ 。AB→ AC→ ∴2( a－1)－(－ b－1)＝0，∴2 a＋ b＝1，且 a0， b0。∴ ＋ ＝ (2a＋ b)1a 2b (1a＋ 2b)＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8。ba 4ab ba·4ab当且仅当 ＝ ，即 b＝ ， a＝ 时取等号。ba 4ab 12 14∴ ＋ 的最小值是 8。1a 2b答案 84．已知 O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)及 ＝ ＋ t ，试问：OP→ OA→ AB→ (1)t 为何值时， P 在 x 轴上？在 y 轴上？在第三象限？(2)四边形 OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。解 (1)∵ ＝(1,2)， ＝(3,3)，OA→ AB→ ∴ ＝ ＋ t ＝(1＋3 t,2＋3 t)。OP→ OA→ AB→ 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3 t＝0，解得 t＝－ ；23若点 P 在 y 轴上，则 1＋3 t＝0，解得 t＝－ ；13若点 P 在第三象限，则Error!解得 t－ 。23(2)若四边形 OABP 为平行四边形，则 ＝ ，OP→ AB→ ∴Error!∵该方程组无解，∴四边形 OABP 不能成为平行四边形。1计时双基练二十七 平面向量的数量积与平面向量应用举例 A 组 基础必做1．在边长为 2 的正△ ABC 中， · 等于( )AB→ BC→ A．2 B．－23 3C．2 D．－2解析 · ＝| |·| |·cos(180°－∠ ABC)＝2×2×cos 120°＝－2，故选项 DAB→ BC→ AB→ BC→ 正确。答案 D2．(2015·陕西卷)对任意平面向量 a， b，下列关系式中不恒成立的是( )A．| a·b|≤| a||b|B．| a－ b|≤| a|－| b|C．( a＋ b)2＝| a＋ b|2D．( a＋ b)·(a－ b)＝ a2－ b2解析 当 a 与 b 为非零向量且反向时，B 显然错误。答案 B3．已知平面向量| a|＝2，| b|＝1，且( a＋ b)⊥ ，则 a 与 b 的夹角为( )(a－52b)A. B.π 3 π 4C. D.π 5 π 6解析 因为( a＋ b)⊥ ，所以 a2－ b2－ a·b＝0。又因为| a|＝2，| b|＝1，所以(a－52b) 52 32a2＝4， b2＝1，所以 4－ － a·b＝0，所以 a·b＝1。所以 a·b＝| a|·|b|cos 〈 a， b〉52 32＝1，所以 cos 〈 a， b〉＝ 。又 a 与 b 的夹角范围为[0，π]，所以 a 与 b 的夹角为 。12 π 3答案 A4．(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，| |＝6，| |＝4.若点 M， N 满足AB→ AD→ ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝( )BM→ MC→ DN→ NC→ AM→ NM→ A．20 B．15C．9 D．6解析 2如图所示，在▱ ABCD 中，| |＝6，| |＝4。AB→ AD→ ∵ ＝ ， ＝3 ，AD→ BC→ BM→ MC→ ∴ ＝ ， ＝－ 。BM→ 34AD→ CM→ 14AD→ 又 ＝ ， ＝2 ，∴ ＝ 。AB→ DC→ DN→ NC→ NC→ 13AB→ 又 ＝ ＋ ＝ － ，NM→ NC→ CM→ 13AB→ 14AD→ A ＝ A ＋ B ＝ A ＋ A ，M→ B→ M→ B→ 34D→ ∴ · ＝ ·AM→ NM→ (AB→ ＋ 34AD→ ) (13AB→ － 14AD→ )＝ | |2－ · ＋ × · － × | |213AB→ 14AB→ AD→ 34 13AD→ AB→ 34 14AD→ ＝ | |2－ | |2＝ ×62－ ×42＝12－3＝9。故选 C。13AB→ 316AD→ 13 316答案 C5．(2015·东北三校联考)已知△ ABC 中，| |＝10， · ＝－16， D 为边 的中点，BC→ AB→ AC→ BC→ 则| |等于( )AD→ A．6 B．5C．4 D．3解析 由题知 ＝ ( ＋ )， · ＝－16，AD→ 12AB→ AC→ AB→ AC→ ∴| |·| |cos ∠ BAC＝－16。AB→ AC→ 在△ ABC 中由余弦定理得，| |2＝| |2＋| |2－2| || |cos ∠ BAC，BC→ AB→ AC→ AB→ AC→ ∴10 2＝| |2＋| |2＋32，| |2＋| |2＝68，AB→ AC→ AB→ AC→ ∴| |2＝ ( 2＋ 2＋2 · )＝ (68－32)＝9，AD→ 14AB→ AC→ AB→ AC→ 143∴| |＝3，故选 D。AD→ 答案 D6．(2016·淄博模拟)设单位向量 e1， e2的夹角是 60°， a＝ e1＋ e2， b＝ e1＋ te2，若向量 a， b 的夹角为锐角，则实数 t 的取值范围是( )A．(－1,1)∪(1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,1) D．(－∞，1)解析 由单位向量 e1， e2的夹角是 60°，可得 e1·e2＝1×1×cos 60°＝ ，若 a， b12的夹角为锐角，则 a·b0 ①，且 a， b 不共线 ②，由①可得 1＋ ＋ t0，解得1＋ t2t－1。由②可得 1×t－1×1≠0，解得 t≠1，综上可得， t 的取值范围是(－1,1)∪(1，＋∞)。答案 A7．(2015·湖北卷)已知向量 ⊥ ，| |＝3，则 · ＝________。OA→ AB→ OA→ OA→ OB→ 解析 · ＝ ·( ＋ )＝| |2＋ · ＝| |2＝9。OA→ OB→ OA→ OA→ AB→ OA→ OA→ AB→ OA→ 答案 98．(2015·山西四校联考)圆 O 为△ ABC 的外接圆，半径为 2，若 ＋ ＝2 ，且AB→ AC→ AO→ | |＝| |，则向量 在向量 方向上的射影为________。OA→ AC→ BA→ BC→ 解析 ∵ ＋ ＝2 ，∴ O 是 BC 的中点，故△ ABC 为直角三角形。在△ AOC 中，有|AB→ AC→ AO→ |＝| |＝2，∴∠ B＝30°，| |＝2 。由定义，向量 在向量 方向上的射影为OA→ AC→ BA→ 3 BA→ BC→ | |cos ∠ B＝2 × ＝3。BA→ 3 32答案 39．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)已知等腰△ OAB 中，|OA|＝| OB|＝2，且| ＋ |≥ | |，那么 · 的取值范围是________。OA→ OB→ 33 AB→ OA→ OB→ 解析 依题意，( ＋ )2≥ ( － )2，化简得 · ≥－2，又根据三角形中，两OA→ OB→ 13OB→ OA→ OA→ OB→ 边之差小于第三边，可得| |－| |4。答案 B3．已知 a， b， c 均为单位向量，且| a＋ b|＝1，则( a－ b)·c 的取值范围是( )A．[0,1] B．[－1,1]C．[－ ， ] D．[0, ]3 3 3解析 由 a、 b 为单位向量和| a＋ b|＝1 的几何意义，可知| a－ b|＝ ，设 a－ b 与 c3的夹角为 θ ，所以( a－ b)·c＝| a－ b||c|cos θ ∈[－ ， ]。3 3答案 C4．(2015·合肥质量检测)在△ ABC 中，设 2－ 2＝2 · ，那么动点 M 的轨迹必AC→ AB→ AM→ BC→ 通过△ ABC 的( )A．垂心 B．内心C．外心 D．重心解析 假设 BC 的中点是 O。则 2－ 2＝( ＋ )·( － )＝2 · ＝2 · ，AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AO→ BC→ AM→ BC→ 即( － )· ＝ · ＝0，所以 ⊥ ，所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上，所以动点AO→ AM→ BC→ MO→ BC→ MO→ BC→ M 的轨迹必通过△ ABC 的外心，选 C。答案 C5．已知向量 ＝(2,2)， ＝(4,1)，在 x 轴上存在一点 P 使 · 有最小值，则 P 点OA→ OB→ AP→ BP→ 的坐标是( )A．(－3,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(4,0)解析 设 P 点的坐标为( x,0)，则 ＝( x－2，－2)， ＝( x－4，－1)。AP→ BP→ · ＝( x－2)( x－4)＋(－2)×(－1)＝ x2－6 x＋10＝( x－3) 2＋1。AP→ BP→ 7当 x＝3 时， · 有最小值 1。AP→ BP→ 答案 C6．在四边形 ABCD 中，若 ＝(1,2)， ＝(－3,4)，则这个四边形的面积是AC→ BD→ ________。解析 如图，分别过 B、 D 作 AC 的垂线，垂足为 E、 F，则 EF 为 在 上的射影。BD→ AC→ 即 EF＝ ＝ ＝ ，BD→ ·AC→ |AC→ | 1× － 3 ＋ 2×412＋ 22 5于是 BE＋ DF＝ BD2－ EF2＝  － 3 2＋ 42－  5 2＝2 。5∴四边形 ABCD 的面积S＝ S△ ACD＋ S△ BCA＝ ·AC·DF＋ ·AC·BE12 12＝ | |(DF＋ BE)12AC→ ＝ × ×2 ＝5。12 5 5答案 51计时双基练二十八 数系的扩充与复数的引入A 组 基础必做 1．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝ a＋ bi(a， b∈R，i 是虚数单位)，则 a， b 的值分别等于( )A．3，－2 B．3,2C．3，－3 D．－1,4解析 由已知得 3－2i＝ a＋ bi，∵ a， b∈R，∴ a＝3， b＝－2。故选 A。答案 A2．(2015·四川卷)设 i 是虚数单位，则复数 i3－ ＝( )2iA．－i B．－3iC．i D．3i解析 i 3－ ＝i 2·i－ ＝－i＋2i＝i，故选 C。2i 2ii2答案 C3．(2015·山东卷)若复数 z 满足 ＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )z1－ iA．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋i解析 ∵ ＝i，∴ ＝i(1－i)＝i－i 2＝1＋i。∴ z＝1－i。z1－ i z答案 A4．(2016·咸阳模拟)设复数 z1＝1－3i， z2＝－i，则 在复平面内对应的点在( )z1z2A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析 ＝ ＝(1－3i)i＝3＋i，则 在复平面内对应的点在第一象限。z1z2 1－ 3i－ i z1z2答案 A5．(2015·洛阳统考)设复数 z＝ (i 为虚数单位)， z 的共轭复数为 ，则在复平2－ 1－ i z面内 i 对应的点的坐标为( )zA．(1,1) B．(－1,1)C．(1，－1) D．(－1，－1)2解析 ∵ z＝ ＝－1＋i，∴i ＝i(－1－i)＝1－i，其在复平面内对应的点的坐2－ 1－ i z标为(1，－1)。答案 C6．若复数 z＝ a2－1＋( a＋1)i( a∈R)是纯虚数，则 的虚部为( )1z＋ aA．－ B．－ i25 25C. D. i25 25解析 由题意得Error!所以 a＝1，所以 ＝ ＝ ＝ － i，根据虚部的概念，可得 的虚部1z＋ a 11＋ 2i 1－ 2i 1＋ 2i  1－ 2i 15 25 1z＋ a为－ 。25答案 A7．满足 ＝i(i 为虚数单位)的复数 z＝( )z＋ izA. ＋ i B. － i12 12 12 12C．－ ＋ i D．－ － i12 12 12 12解析 由已知，得 z＋i＝ zi，则 z(1－i)＝－i，即 z＝ ＝ ＝ ＝ － 。－ i1－ i － i 1＋ i 1－ i  1＋ i 1－ i2 12 i2故选项 B 正确。答案 B8．若复数 z＝2i＋ ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为( )21＋ iA. B.222C. D．23解析 依题意得 z＝2i＋ ＝2i＋(1－i)＝1＋i，因此| z|＝|1＋i|＝2 1－ i 1＋ i  1－ i，故选项 A 正确。2答案 A9．设 i 是虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数。若 z＝1＋i，则 ＋i· ＝( )zzi z3A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析 因为 z＝1＋i，所以 ＋i· ＝－i＋1＋i＋1＝2。zi z答案 C10．(2016·青岛模拟)设 a 是实数，若复数 ＋ (i 为虚数单位)在复平面内对a1－ i 1－ i2应的点在直线 x＋ y＝0 上，则 a 的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．2解析 ∵ a 是实数， ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋a1－ i 1－ i2 a 1＋ i 1－ i  1＋ i 1－ i2 a＋ ai2 1－ i2 a＋ 12i，∴在复平面内对应的点是 ，又点在直线 x＋ y＝0 上，a－ 12 (a＋ 12 ， a－ 12 )∴ ＋ ＝0，解得 a＝0。a＋ 12 a－ 12答案 B11．(2015·重庆卷)设复数 a＋ bi(a， b∈R)的模为 ，则( a＋ bi)(a－ bi)3＝________。解析 因为复数 a＋ bi 的模为 ，所以 ＝ ，3 a2＋ b2 3即 a2＋ b2＝3。于是( a＋ bi)(a－ bi)＝ a2－( bi)2＝ a2＋ b2＝3。答案 312．(2015·河北教学质量监测)已知 m∈R，复数 － 的实部和虚部相等，则m＋ i1＋ i 12m＝________。解析 － ＝ － ＝m＋ i1＋ i 12  m＋ i  1－ i 1＋ i  1－ i 12－ ＝ ，由已知得 m＝1－ m，则 m＝ 。 m＋ 1 ＋  1－ m i2 12 m＋  1－ m i2 12答案 1213．i＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016的值是________。解析 原式＝ ＝ ＝0。i 1－ i2 0161－ i i 1－ i01－ i答案 014.若 i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是 1，复平面内点 Z 表示复数 z，则复数 的共轭复数是________。z1－ 2i4解析 由图知 z＝2＋i，则 ＝z1－ 2i 2＋ i1－ 2i＝ ＝i，其共轭复数是－i。 2＋ i  1＋ 2i 1－ 2i  1＋ 2i答案 －i15．定义运算 ＝ ad－ bc，复数 z 满足 ＝1＋i，则复数 z 的模为________。|a cb d| |z i1 i|解析 由 ＝1＋i，得 zi－i＝1＋i⇒ z＝ ＝2－i，故| z|＝ ＝|z i1 i| 1＋ 2ii 22＋  － 1 2。5答案 5B 组 培优演练1．(2015·新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1， z2满足 z1＝ m＋(4－ m2)i， z2＝2cos θ ＋( λ ＋3sin θ )i(m， λ ， θ ∈R)，并且 z1＝ z2，则 λ 的取值范围是( )A．[－1,1] B.[－916， 1]C. D.[－916， 7] [916， 7]解析 由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4－4cos 2θ ＝ λ ＋3sin θ ，由此可得λ ＝－4cos 2θ －3sin θ ＋4＝－4(1－sin 2θ )－3sin θ ＋4＝4sin 2θ －3sin θ ＝42－ ，因为 sin θ ∈[－1,1]，所以 4sin2θ －3sin θ ∈ 。(sin θ －38) 916 [－ 916， 7]答案 C2．定义：若 z2＝ a＋ bi(a， b∈R，i 为虚数单位)，则称复数 z 是复数 a＋ bi 的平方根。根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A．1－2i 或－1＋2iB．1＋2i 或－1－2iC．－7－24iD．7＋24i解析 设( x＋ yi)2＝－3＋4i，则Error! 解得Error!或Error!答案 B53．已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为________。3yx解析 ∵| z－2|＝ ＝ ， x－ 2 2＋ y2 3∴( x－2) 2＋ y2＝3。由图可知 max＝ ＝ 。(yx) 31 3答案 3