1、1第 14 章 勾股定理班级 姓名 第卷 (选择题 共 30 分)一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1在 RtABC 中，已知其两条直角边长 a1，b3，那么斜边 c 的长为( D )A2 B4 C. D.8 102下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A )A30，40，50 B7，12，13C5，9，12 D3，4，63在ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且(ab)(ab)c 2，则( A )AA 为直角 BC 为直角CB 为直角 D不是直角三角形4 “已知：在ABC 中，ABAC，求证：B180，这与三角形内角和定理相矛盾；B90；假设B90；那么，由 ABAC
2、，得BC90，即BC180.这四个步骤正确的顺序应是( C )ABCD5放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是 40m/min，小红用 15min 到家，小颖用 20min 到家，小红和小颖家的直线距离为( C )A600 m B 800 mC1000 m D不能确定6在ABC 中，ACB90，AC40，CB9，点 M、N 在 AB 上且 AMAC，BNBC，则 MN 的长为( C )A6 B7 C8 D97如图是两个大小、形状相同的ABC 和ABC拼在一起，其中点 A 与 A重合，点 C 落在边 AB 上，连结 BC.若ACBACB90，AC
3、BC3，则 BC 的长为( A )A3 B6 C3 D.3 2 218如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 平分BAC 与 BC 相交于点 D，若BD4，CD2，则 AC 的长是( C )A4 B3 C2 D.3 329如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3 dm、2 dm，A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为( B )A20 dm B25 dm C30 dm D35 dm10如图，将一边长为 a 的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为 b 的正方形(其中ba)拼接
4、在一起，则四边形 ABCD 的面积为( A )Ab 2(ba) 2Bb 2a 2C(ba) 2Da 22ab第卷 (非选择题 共 70 分)二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如图，在ABC 中，ABAC10 cm，BC12 cm，ADBC 于点 D，则 AD_8_ cm.12如图，长方体长、宽、高分别为 4cm，3 cm，12 cm，则 BD_13_ cm_13如图，在笔直的铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA10 km，CB15 km，DAAB 于 A，CBAB 于 B，现要在 AB 上建一个中转站 E，使得C、D 两村到 E 站的距离相等则 E 应建在距
5、A_15_km.314如图，某消防队员进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现最多只能靠近建筑物 12m，即 ADBC12 m，此时建筑物中距离地面 11.8m 高的 P 处有一被困人员需要救援，已知消防云梯底部 A 距离地面 2.8m，即 AB2.8 m，则消防车的云梯至少要伸长_15_ m.15我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(图 1)，后人称其为“赵爽弦图” ，由弦图变化得到图 2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S 2、S 3.若 S1S 2S 312，则
6、 S2的值为_4_,图 1) ,图 2)16在如图所示的圆柱体中，底面圆的半径是 ，高为 4，BC 是上底面的直径，若一3只小虫从点 A 出发，沿圆柱体侧面爬行到点 C，则小虫爬行的最短路程是_5_三、解答题(共 52 分)17(6 分)已知在ABC 中，C90，ABc，BCa，ACb.(1)如果 a6，b8，求 c；(2)如果 a12，c13，求 b；(3)如果 b40，c41，求 a.解：(1)c 2a 2b 26 28 2100，c10.(2)b 2c 2a 213 212 225，b5.(3)a 2c 2b 241 240 281，a9.418(6 分)如图，在四边形 ABCD 中，已
7、知 AB5，BC3，CD6，AD2 ，若5ACBC，求证：ADBC.证明：ACBC，AC 2AB 2BC 25 23 216.在ACD 中，AC2AD 2162036，CD 236，AC 2AD 2CD 2，ACD 为直角三角形，ACAD，ADBC.19(7 分)如图，在ABC 中，AB4，AC3，BC5，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 分别交 BC、AB 于点 D、E.(1)求证：ABC 为直角三角形(2)求 AE 的长答图(1)证明：ABC 中，AB4，AC3，BC5，又4 23 25 2，即 AB2AC 2BC 2，ABC 是直角三角形(2)解：连结 CE，如答图DE 是 BC 的垂
8、直平分线，ECEB.设 AEx，则 ECBE4x.x 23 2(4x) 2.解得 x ，即 AE 的长是 .78 78520(7 分)甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以 16 海里/时的速度向北偏东 75的方向航行，乙以 12 海里/时的速度向南偏东 15的方向航行，计算它们出发 1.5 小时后两船的距离解：如答图所示，175，215，答图AOB90，即AOB 是直角三角形OA161.524(海里)，OB121.518(海里)，由勾股定理得，AB 30(海里)OA2 OB2 242 182答：它们出发 1.5 小时后两船的距离为 30 海里21(8 分)如图，在ABC 中，ADBC 于 D，B
9、DAD，DGDC，E、F 分别是 BG、AC 的中点(1)求证：DEDF，DEDF；(2)连结 EF，若 AC10，求 EF 的长解：(1)ADBC 于 D，BDGADC90.BDAD，DGDC，BDGADC( S.A.S.)，BGAC.ADBC 于 D，E、F 分别是 BG、AC 的中点，DE BG，DF AC，12 12DEDF.DEDF，BDAD，BEAF，6BDEADF( S.S.S.)，BDEADF，EDFEDGADFEDGBDEBDG90，DEDF.(2)AC10，DEDF AC 105.12 12EDF90，EF 5 .DE2 DF2 52 52 222(8 分)如图，在ABC
10、中，D 是 AB 的中点，若 AC12，BC5，CD6.5.求证：ABC 是直角三角形答图证明：如答图，延长 CD 到 E，使 DECD，连结 BE.ADBD，CDED，ADCBDE，ADCBDE( S.A.S.)，BEAC12，CADDBE，ACBE.在BCE 中，BC 2BE 25 212 2169，CE 24CD 2169，BC 2BE 2CE 2，EBC90.又ACBE，ACB180EBC90，ABC 是直角三角形23(10 分)我们运用图 1 中大正方形的面积可表示为(ab) 2，也可表示为c24 ，即 (ab) 2c 24 ，由此推导出一个重要的结论 a2b 2c 2，这个重要的(
11、12ab) (12ab)结论就是著名的“勾股定理” 这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明” 图 17图 2图 3(1)请你用图 2(2002 年国际数学家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形的较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c)(2)请你用图 3 中的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：(x2y)2x 24xy4y 2.解：(1)S 阴影 4 ab，S 阴影 c 2(ab) 2，124 abc 2(ab) 2，12即 2abc 2a 22abb 2，则 a2b 2c 2.(2)如答图所示，答图大正方形的面积为 x24y 24xy，也可以为(x2y) 2，则(x2y) 2x 24xy4y.
