2018高中物理 第五章 曲线运动学案（打包12套）新人教版必修2.zip

1水平面内圆周运动实例分析一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值生活中的圆周运动学会构建模型并进行动力学分析离心运动机车转弯问题选择题 6 分二、重难点提示正确构建模型后，用圆周运动的知识求解问题。正确分析向心力的来源。一、疑难模型汇总锥摆类锥摆转台与转筒（1）问题特点：①运动轨迹是圆且在水平面内；②向心力的方向水平，竖直方向的合力为零。（2）解题方法：①首先确定圆周运动的轨道所在的平面；②其次找出轨道圆心的位置；③最后分析做圆周运动的物体所受的力，作出受力分析图，找出这些力指向圆心方向2的合外力就是向心力。二、专题分析——机车拐弯问题汽车（或自行车）在水平路面上转弯如图所示。路面对汽车（或自行车）的静摩擦力提供向心力。若动摩擦因数为 μ ，则由 μmg ＝ m2vR得汽车（或自行车）安全转弯的最大速度为 v＝ gR内外轨无高度差外 轨 对 轮 缘 的 弹 力 F提 供火 车 转 向 的 向 心 力 。 根 据 牛 顿 第 二 定 律 可 知 ，火 车 的 质 量 很 大 ， 外 轨 对轮 缘 的 弹 力 就 很 大 ， 铁 轨容 易 损 坏 。 所 以 ， 实 际 生活 中 一 般 不 采 用 火车拐弯类问题 外轨高于内轨解题时，因为 θ 角很小，所以常用 sinθ ≈tan θ ，故取Lh＝ MgnF，所以向心力 Fn＝ LhMg。又因为 FN＝ RMv2，所以车速 v＝R当 tav时，轮缘对轨道无侧向压力当 ng＞ 时，轮缘挤压外轨当 t＜ 时，轮缘挤压内轨3例题 1 如图所示，轻绳一端系一质量为 m 的小球，另一端做成一个绳圈套在图钉 A和 B 上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为 a、角速度为 ω 的匀速圆周运动，现拔掉图钉 A 让小球飞出，此后绳圈又被 A 正上方距 A 高为 h 的图钉 B 套住，达稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。求：（1）图钉 A 拔掉前，轻绳对小球的拉力大小；（2）从拔掉图钉 A 到绳圈被图钉 B 套住前小球做什么运动？所用的时间为多少？（3）小球最后做匀速圆周运动的角速度。思路分析：（1）图钉 A 拔掉前，轻线的拉力大小为 T＝ mω 2a；（2）向心力突然消失，小球沿切线方向飞出做匀速直线运动，直到线环被图钉 B 套住前，小球速度为 v＝ ωa ，匀速运动的位移 x＝ 22)(haha，则时间为t＝ xv＝ ah2；（3） v 可分解为切向速度 v1和径向速度 v2， 绳被拉紧后 v2＝0，小球以速度 v1做匀速圆周运动，半径 r＝ a＋ h，由 v1＝ ha，得 ω ′＝ 2)(har。答案：（1） mω 2a （2）匀速直线运动 （3） 2)(ha4例题 2 铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形设计的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨道高度差 h 的设计不仅与 r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的轨道的高度差 h。弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110内外轨道高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300（1）根据表中数据，导出 h 和 r 关系的表达式，并求出 r＝440 m 时 h 的值；（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力。又已知我国铁路内外轨的间距设计值 L＝1435 mm，结合表中的数据，算出火车的转弯速度 v；（结果保留两位有效数字）（3）近几年，人们对交通运输的快捷性提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家不断地对铁路进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高。请根据上述计算原理和上述表格分析，提速时应采取怎样的有效措施？（ g 取 10 m/s2）思路分析：（1）由表中数据可知，每组的 h 与 r 之积为常数，即660×50=330×100=220×150=.=33000。当 r＝440 m 时，代入求得： h＝75 mm。（2）如图所示，当内、外轨道对轮没有侧向压力时，火车的受力情况如图所示，则：mgtanθ ＝ m rv2。当 θ 很小时，则有：tan θ ≈sin θ ＝ Lh所以 v＝ 31045Lghr m/s≈15 m/s＝54 km/h（3）由上述表达式可知，提高速度可采用适当增加内、外轨的高度差，或适当增加弯道半径等措施。答案：（1） hr＝33 m 2 75 mm （2）54 km/h （3）见解析【综合拓展】离心运动与近心运动1. 定义5做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即 Fnmω 2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。2. 如何理解离心现象（1）离心现象是物体惯性的表现。（2）离心运动并非是沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。（3）离心运动并不是受到什么离心力。同样，近心运动也不能说受到近心力的作用。【满分训练】下列关于离心现象的说法正确的是（ ）A. 当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动C. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动D. 做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动思路分析：物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故 A 选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故 B、D 选项错，C 选项对。曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项 D 正确。答案：C【易错指津】对离心力的理解洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是（ ）A. 脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的B. 水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故6C. 加快脱水桶转动角速度，脱水效果会更好D. 水是受到了离心力的作用才会脱离衣服的错解：D错因：认为离心现象物体受到了离心力作用，所以才出现的偏离圆心的现象，其实从力的角度分析，离心现象是指向圆心的力不够大导致的，而不能说受到离心力的作用。思路分析：水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B 项错误；脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁，A 项正确；角速度增大，水滴所需向心力增大，脱水效果更好，C 项正确；离心现象是提供的力（附着力）不足以支持物体做圆周运动才出现的。答案：BD1竖直平面内圆周运动实例分析一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值圆周运动 轻绳、轻杆等竖直平面内的圆周运 动的动力学分析 选择题、解答题 6~10 分二、重难点提示恰能过最高点的速度分析。1. 水流星模型当物体在受到绳牵拉在竖直面内做圆周运动的时候，绳对物体的作用力可以有，可以无，如果有作用力只能是拉力。如：在竖直面内运动到最低点时，绳一定有拉力；在竖直面内运动到最高点时有无绳的拉力要依据条件判定。类似模型——“外”轨道模型当物体是沿只有外侧轨道做圆周运动时（如过山车、台型圆筒内的飞车走壁） ，如果轨道有提供作用力，只能是垂直支承面向内的压力，也可以不提供作用力。2. 轻质杆模型当物体与杆的一端固定连接，以杆的另一端为轴在水平或竖直面内做圆周运动时，杆对物体的作用力可以为拉力，可以为压（推）力，也可以没有，要视物理问题的具体情况确定。如：在竖直面内运动到最低点时杆一定是拉力；运动到最高点时，如果物体重力提供的向心力已超过需要的向心力，这时杆就提供向外的压力（推动） ，如果物体重力提供的向心力不足以提供需要的向心力，杆就提供向内的拉力，如果物体重力提供的向心力恰好等于需要的向心力，杆就不提供作用力了。23. 管道轨道模型当物体沿管道做圆周运动时，管道提供的作用力可以是只由内侧提供（指向外） ，也可以是只由外侧提供（指向内） ，也可以内外侧均不提供，也可能内外侧都有提供（内外侧有压力差） 。【核心总结】在分析做圆周运动的物体时，关键是要根据题意，明确物体所在的位置需要的向心力，再经受力分析找出应提供的向心力，要维持这点的圆周运动，必须满足提供的向心力等于所需要的向心力。例题 1 如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为 m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力） ，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为 T，小球在最高点的速度大小为v，其 T－ v2图象如图乙所示，则（ ）图甲 图乙 A. 轻质绳长为 mbaB. 当地的重力加速度为C. 当 v2＝ c 时，轻质绳的拉力大小为 acb＋ aD. 当 v2=2b 时，小球受到的弹力与重力相等。思路分析：令绳长为 R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足 T＋ mg＝ m Rv2，即T＝ v2－ mg，由题图乙知 a＝ mg， b＝ gR，所以 g＝ ma， R＝ b，A 对、B 错；当 v2＝ c 时，mR3有 T＋ mg＝ m Rc。将 g 和 R 的值代入得 T＝ bac－ a，C 错；当 v2=2b 时，由 T＋ mg＝ m Rv2可得 T=a=mg，故拉力与重力相等，D 对。答案：AD例题 2 如图所示，小球 m 可以在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是（ ）A. 小球通过最高点的最小速度至为 vgRB. 小球通过最高点的最小速度可以为 0C. 小球在水平线 ab 以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力D. 小球在水平线 ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力思路分析：在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于 0 时，内管对小球产生弹力，大小为 mg，故最小速度为 0。故 A 错误，B 正确；小球在水平线 ab 以下管道运动，由于沿半径方向的合力提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，内侧没有力的作用. 故 C 错误；小球在水平线 ab 以上管道中运动时，重力沿半径方向的分离可以提供向心力，当小球速度较小时，重力的分力足够提供向心力时，内侧管壁没有作用力，如果速度更小，则提供的向心力大于需要的向心力，则内壁产生向外的支持力。当速度较大时，重力的分力不足以提供向心力，则有内侧管壁有作用力。故 D 错误。CD 两项也可以用极限的思维进行分析，更容易理解。答案：B例题 3 如图所示，质量为 m 的小球固定在长为 r 的轻杆一端，绕 O 点在竖直面内做圆周运动， a、 b 分别为圆周运动最高点和最低点。（1）在 a 点时，杆对小球的的作用力为重力的一半，求小球通过 a 点的速度；（2）在 b 点时，杆对小球的的作用力为重力的 2 倍，求小球通过 b 点的速度。4思路分析：在 a 点，杆对小球的作用力可能是向上的推力，即 211vFmgr，解得 12gr；杆对小球的作用力也可能是向下拉力，即22，解得 26。在 b 点，杆对小球的作用力只可能为向上的拉力，2332vFmgr，解得3vgr。答案：（1） 12grv或 26grv （2） 3vr【综合拓展】竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题1. 问题特点此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查。2. 解题关键（1）首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型” ，然后分析物体能够达到圆周最高点的临界条件. （2）注意前后两过程中速度的连续性. 【满分训练】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 34d，重力加速度为 g。忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小 v；（2）问绳能承受的最大拉力多大？思路分析：（1）设绳断后球做平抛运动的时间为 t1，竖直方向上： 214dgt水平方向上： d=vt1解得 2v（2）设绳能承受的最大拉力为 Fm5球做圆周运动的半径为 34Rd2mvFg解得 13答案：（1） 2vd （2）最大拉力为 13mg1圆周运动的临界与突变问题一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值圆周运动 圆周运动的临界问题 选择题 6~8 分二、重难点提示重难点：圆周运动临界点的确定1. 水平面内圆周运动的临界问题绳的拉力 摩擦力小球脱离锥体做圆周运动的临界条件b 绳上有拉力的临界条件物块与圆盘无相对滑动的临界条件滑块 A 能够在该位置随桶壁无相对运动做圆周运动的条件此类问题的关键是分析临界条件下的受力情况及涉及的几何知识。2. 竖直面内圆周运动的临界问题绳模型（内轨道模型） 轻杆模型（管道约束模型） 外轨道模型（凸桥模型）能通过最高点的临界条件为T＝0 或 N＝0由 mg＝ m rv2得 v 最高点 ≥g最高点的合力（即向心力）可以为零，故 v 最高点 ≥0过最高点后沿轨道下滑的临界条件为 N≥0，由mg－ N＝ m rv2得 0≤ v 最高点 ≤g。此类问题的关键是分析物体过最高点时受力的可能性。3. 突变问题2对于圆周运动，从公式224=vFmarmRT向中我们可以看到，能够发生突变的物理量有 向 、运动半径 r、速度 v（大小和方向） 、角速度 等。只要其中一个物理量发生变化，就会影响到整个受力状态和运动状态。典型的运动模型：圆周半径 r 发生突变，绳子是否会断裂①向心力 F 供给突变，物体是做离心运动还是向心运动；②物体线速度 v 发生突变，绳子是否断裂圆周运动半径 r 突变与周期 T 的综合问题，同时也涉及绳的最大拉力问题解决这类问题时，应仔细分析物体突变前后的物理过程，确定物体发生突变的状态、发生突变的物理量、突变前后物体的运动性质，找出突变前后各物理量的区别与联系，对突变前后的物理状态或过程正确应用物理规律和物理方法列出方程。例题 1 如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为 l 的细线悬挂一质量为 m 的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 30˚，小球以速度 v 绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动。（1）当 v1＝ 6gl时，求线对小球的拉力；（2）当 v2＝ 3时，求线对小球的拉力。思路分析：如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力 FN＝0 时，小球只受重力 mg 和线的拉力 FT的作用，其合力 F 应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝ mgtan 30°①3又 F＝ m 30sin220lvr ②由①②两式解得 v0＝ 6gl 即小球以 v0作圆周运动时，刚好脱离锥面。（1）因为 v1v0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为 α ，小球受力如图丙所示，则FTsin α ＝ sinlm⑤FTcos α － mg＝0 ⑥由⑤⑥两式解得 FT＝2 mg答案：（1）1.03 mg （2）2 mg例题 2 如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块 1 和滑块 2，转台绕转轴 OO′以角速度 ω 匀速转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块 1 到转轴的距离小于滑块 2 到转轴的距离. 关于滑块 1 和滑块 2 受到的摩擦力 f1和 f2与 ω 2的关系图线，可能正确的是（ ）4思路分析：两滑块的角速度相同，根据向心力公式 F 向 ＝ mω 2r，考虑到两滑块质量相同，滑块 2 的运动半径较大，受到的摩擦力较大，故滑块 2 先达到最大静摩擦力，再继续增大角速度，在增加同样的角速度的情况下，对滑块 1、2 分别有T＋ f1＝ mω 2R1， T＋ f2＝ mω 2R2，随着角速度 ω 的增大，绳子拉力 T 增大，由于 R2R1，故滑块 2 需要的向心力更大，故绳子拉力增大时滑块 1 的摩擦力反而减小，且与角速度的平方呈线性关系， f2在增大到最大静摩擦后保持不变，故 A、D 正确。答案：AD例题 3 如图所示，质量为 m 的小球置于质量为 M 的正方体光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径，某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计。（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度多大？（2）设小球在最高点对盒子的压力为 F1，在最低点对盒子的压力为 F2，试作出（ F2－ F1）— ω 2图象。（3）盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力多大？思路分析：解：（1）要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有 mg＝ mRω 2解得 ω ＝ gR（2） ω ≤ 时， F2－ mg＝ mRω 2， mg－ F1＝ mRω 25解得 F2－ F1＝2 mRω 2，故 F2-F1与 ω 2是线性关系。当 ω gR时， F2－ mg＝ mRω 2， F1＋ mg＝ mRω 2解得 F2－ F1＝2 mg，故 F2-F1与 ω 2无关，为定值。因此（ F2－ F1）— ω 2图象如图所示（3）当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力 F′提供向心力，竖直分力 F″与重力平衡，即F′＝（ M＋ m） Rω 2， F″＝（ M＋ m） g则该同学对盒子的作用力为 F＝ 2422)(' gRm 。答案：（1） gR（2）（3） 242)(gRmM【综合拓展】圆周运动中连接体的分析61第 1 节 剖析运动的合成与分解一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值运动的合成和分解物体做曲线运动的条件理解分运动和合运动之间的关系会正确分解物体的实际运动选择题、解答题 6~10 分二、重难点提示重难点：分运动方向的选取。一、物体做曲线运动的条件及轨迹分析1. 条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。（1）因为速度时刻在变，所以一定存在加速度；（2）物体受到的合外力与初速度不共线。2. 合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧。【核心突破】运动的分类：（1） a=0：匀速直线运动或静止。（2） a 恒定：性质为匀变速运动，分为：① v、 a 同向，匀加速直线运动；② v、 a 反向，匀减速直线运动；③ v、 a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、 a 之间，和速度 v 的方向相切，方向逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到）。3. 速率变化情况判断（1）当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；（2）当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；（3）当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。二、运动的合成与分解1. 基本概念：①运动的合成：已知分运动求合运动；②运动的分解：已知合运动求分运动。2. 分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。3. 遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。4. 合运动与分运动的关系：2①等时性合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。②独立性一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。③等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。例题 1 （江苏高考）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O 点，用铅笔靠着线的左侧向右上方 45°方向匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度 （ ）A. 大小和方向均不变B. 大小不变，方向改变C. 大小改变，方向不变D. 大小和方向均改变思路分析：橡皮同时参与两个方向的运动：一个是水平方向的匀速直线运动，另一个是竖直方向的匀速直线运动，由于这两个方向上的分运动都是匀速直线运动，因此这两个运动的合运动也是匀速直线运动，即橡皮的速度大小和方向都保持不变，所以 A 正确。答案：A例题 2 质点在某一平面内沿曲线由 P 运动到 Q，如果用 v、 a、 F 分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力。则下列选项中可能正确的是（ ）思路分析：曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，其加速度或合外力跟速度有一定夹角，且指向轨迹弯曲的内侧，只有选项 D 正确。答案：D3例题 3 （山西模拟）在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为 a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度 v0水平匀速移动，经过时间 t，猴子沿杆向上移动的高度为 h，人顶杆沿水平地面移动的距离为 x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）A. 相对地面的运动轨迹为直线B. 相对地面做变加速曲线运动C. t 时刻猴子对地速度的大小为 v0＋ atD. t 时间内猴子对地的位移大小为 2xh思路分析：猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，其运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定（因为加速度恒定） ，所以相时地面猴子做匀变速曲线运动； t 时刻，猴子对地速度的大小为 20()tvat； t 时间内，猴子对地的位移大小为 2sxh，即选项 D 是正确的。答案：D例题 4 （合肥模拟）如图所示，在竖直平面的 xOy 坐标系中， Oy 竖直向上， Ox 水平。设平面内存在沿 x 轴正方向的恒定风力。一小球从坐标原点沿 Oy 方向竖直向上抛出，初速度为 v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中 M 点所示（坐标格为正方形，取g＝10m/s 2） ，求：（1）小球在 M 点的速度 v1；（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回 x 轴时的位置 N；（3）小球到达 N 点的速度 v2的大小。答案：解：（1）设正方形的边长为 l0，竖直方向做竖直上抛运动，则：v0＝ gt12l0＝ t1水平方向做匀加速直线运动，则：3l0＝ 1vt14解得 v1＝6 m/s。（2）由竖直方向的对称性可知，小球在经过 t1回到 x 轴，水平方向从 O 点做初速度为零的匀加速直线运动，故水平方向连续两段相等时间内位移之比为 1:3，所以在回到 x轴时落到 x＝12 处，位置 N 的坐标为（12,0） 。（3）到 N 点时竖直分速度大小为 v0＝4 m/s水平分速度： vx＝ a 水平 tN＝2 v1＝12 m/s故 v2＝ 20＝4 m/s。【技巧点拨】运动的合成、分解及性质1. 合运动的性质判断2. 两个直线运动的合运动性质的判断根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：两个匀速直线运动 匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动如果 v 合 与 a 合 共线，为匀变速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果 v 合 与 a 合 不共线，为匀变速曲线运动3. 运动的分解分解的原则是根据效果分解或正交分解。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。运动的分解与合成互为可逆过程。【满分训练】随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐项目。如图所示，某人从高出水平地面 h 的坡上水平击出一个质量为 m 的高尔夫球。由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为 L 的 A 穴，则（ ）5A. 球被击出后做变加速曲线运动B. 该球从被击出到落入 A 穴所用的时间为 2ghC. 球被击出时的初速度大小为 L·D. 球被击出后受到的水平风力的大小为 mgh思路分析：球在水平方向受恒定的水平风力做减速运动，竖直方向做自由落体运动，故合加速度为定值，即做匀速曲线运动，选项 A 错误；球在竖直方向只受重力，做自由落体运动， h＝ 12gt2，解得t= g，选项 B 错误；球水平方向做匀减速直线运动，平均速度 ＝ ，解得 v0＝ L·v02 Lth，选项 C 正确；设水平风力大小为 F，根据牛顿第二定律有 F＝ ma，由运动学公式有v0＝ at，解得 F＝ mgLh，选项 D 正确。答案：CD 1解密小船渡河模型一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值运动的合成和分解会用运动的合成和分解分析小船渡河问题 选择题 6 分二、重难点提示最短距离过河的分析。1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动；2. 三种速度： v1（船在静水中的速度） 、 v2（水流速度） 、 v（船的实际速度） ；3. 三种情景：①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短， 1dtv短 ＝ （ d 为河宽） ；②过河路径最短（ v2v1时）：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图所示，以 v2矢量末端为圆心，以 v1矢量的大小为半径画弧，从 v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知：cos α ＝ 12，最短航程： s 短 ＝ cod＝ 21vd。2【技巧突破】小船渡河问题建模指导1. 物体的实际运动一定是合运动。2. 求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、独立性、等效性的关系。3. 在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动。例题 1 小船过河，河宽 300 m，水流速度为 5 m/s，船在静水中的速度为 4 m/s，以下结论正确的是（ ）A. 船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸B. 船不可能到达正对岸C. 船以最短路程过河所需时间为 75 sD. 船渡过河的最短时间为 75 s思路分析：由于水流速度大于船的速度，船不可能到达正对岸，选项 B 正确；船头指向正对岸，船以最短的时间渡河，最短时间为 t＝ 304 s＝75 s，想要以最短的路程渡河，船头应该向河的上游偏，渡河时间大于 75 s，选项 A、C 错误，选项 D 正确。答案：BD例题 2 （苏北四市三调）某河宽为 600 m，河中某点的水流速度 v 与该点到较近河岸的距离 d 的关系图象如图所示。船在静水中的速度为 4 m/s，若船渡河的时间最短，下列说法中正确的是（ ）A. 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直B. 船在河水中航行的轨迹是一条直线C. 渡河最短时间为 240 sD. 船离开河岸 400m 时的速度大小为 52 m/s思路分析：船在渡河过程中，若船渡河的时间最短，必须保持船头始终与河岸垂直，选项 A 正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分解可知，船在河水中航行3的轨迹是一条曲线，选项 B 错误；渡河最短时间为 tmin＝ dv船 ＝150 s，选项 C 错误；船离开河岸 400m 时的水流速度大小与船离开河岸 200m 时水流速度大小相等，即 v 水 ＝2 m/s，则船离开河岸 400m 时的速度大小 v＝ 24 m/s＝ 5 m/s，选项 D 正确。答案：AD例题 3 河宽 d＝60 m，水流速度 v1＝6 m/s，小船在静水中的速度 v2＝3 m/s，问：（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?思路分析：（1）要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 260s3tv。（2）渡河航程最短有两种情况：①船速 v2大于水流速度 v1时，即 v2v1时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；②船速 v2小于水流速度 vl时，即 v2t 乙 D. 无法确定思路分析：设水速为 v0，人在静水中速度为 v，对甲，由 O→ A，所用时间t1＝ 0sv，由 A→ O 所用时间 t2＝ 0s则甲所用时 t 甲 ＝ t1＋ t2＝ v＋ v＝ 20s ①对乙，由 O→ B 和由 B→ O 的实际速度 v′＝故乙所用时间 t 乙 ＝ 'sv＝ 20 ②5两式相比得 t甲乙 ＝ 20v1 即 t 甲 t 乙 ，故 C 正确。答案：C1解密斜牵引问题一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值运动的合成和分解会解决有绳、杆等连接体的牵引问题 选择题 4~6 分二、重难点提示重难点：理解并把握实际运动与分运动之间的关系斜牵引问题的主要物理情境为两个运动物体间通过不可伸长的绳子或轻杆相连。涉及的主要问题是通过绳子或轻杆牵连的物体间的速度关系。在此类问题中，要充分理解运动的合成与分解，区分合运动与分运动。一、常见模型二、思路与方法沿绳或杆方向的速度分量大小相等合运动→绳拉物体的实际运动速度 v分运动→ 12其 一 ： 沿 绳 或 杆 的 速 度其 二 ： 与 绳 或 杆 垂 直 的 分 速 度方法： v1与 v2的合成遵循平行四边形定则。【方法点睛】斜牵引问题的解题流程①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果，从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，利用绳、杆不可伸缩的特点寻找速度关系。例题 1 如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 0v拉水平面上的物体 A。物体A 是如何运动的？当绳与水平方向成 θ 角时，物体 A 的速度大小方向如何？2思路分析：在运动过程中，我们会发现有这样的特点：（1）绳子的总长度不变，但滑轮左侧的长度在增大，而滑轮右侧的长度在减小。（2）绳子与水平方向的夹角在逐渐地变大。物体的运动(即绳的末端的运动)可看做两个分运动的合成：①沿绳的方向被牵引，绳长缩短；②垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长。解法一（分解法）：关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 01v；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度 θ的值。这样就可以将 A按图示方向进行分解。所以 1v及 2实际上就是 Av的两个分速度，如图所示。由此可得： cos01v。解法二（微元法）：要求物体 A 在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设物体 A 在 θ 角位置经△ t 时间向左行驶△ x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△ L，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有cosxL，两边同除以△ t 得： costL即收绳速率 cos0Av，因此物体 A 的速率为： cs0vA3综上所述，当人匀速拉动绳子的时候，物体 A 的速度是变化的，即物体 A 做变速直线运动；当绳与水平方向成 θ 角时，物体 A 的速度为 cos0v，方向水平向左。答案：当人匀速拉动绳子的时候，物体 A 的速度是变化的，即物体 A 做变速直线运动；当绳与水平方向成 θ 角时，物体 A 的速度为 0v，方向水平向左。例题 2 （石家庄检测）一轻杆两端分别固定质量为 mA和 mB的两个小球 A 和 B（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置 1 开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2 时，球 A 与球形容器球心等高，其速度大小为 v1，已知此时轻杆与水平方向成 θ ＝30°角， B 球的速度大小为 v2，则（ ）A. v2＝ 1v1 B. v2＝2 v1C. v2＝ v1 D. v2＝ 3v1思路分析：球 A 与球形容器球心等高，故速度 v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有 1＝ v1sin 30°＝ v1，球 B 此时速度方向与杆成 α ＝60°角，因此 12v＝ v2cos 60°＝ 2v2，沿杆方向两球速度相等，即 12v＝ ，解得 v2＝ v1，C 项正确。答案：C例题 3 如图所示，A、B 两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当 A 物体以速度 v 向左运动时，系 A、B 的绳分别与水平方向成 α 、 β 角，此时 B 物体的速度大小为________，方向________。4思路分析：根据 A、B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度 v 和 vB分别分解为两个分速度 v1（沿绳的分量）和 v2（垂直绳的分量）以及 1Bv（沿绳的分量）和 2（垂直绳的分量） ，如图所示由于两物体沿绳的速度分量相等， v1＝ B， vcosα ＝ vBcosβ则 B 物体的速度方向水平向右，其大小为 vB＝ cos答案： cosv；水平向右点拨：在处理合速度与分速度的关系时，要养成画出矢量分解的平行四边形的良好习惯，这样可以避免弄错合速度和分速度的几何关系。【综合拓展】无论是小船过河问题还是斜牵引问题，解决的关键都是把运动分解为两个方向上的直线运动，利用直线运动的性质、条件及规律求解曲线运动的相关问题。通过对于曲线运动、非匀变速运动的接触，我们将领悟怎样将复杂的问题化为简单的问题，将未知问题化为已知问题。进而真正理解运动合成与分解的意义。【满分训练】有一个质量为 2 kg 的质点在 x－ y 平面内运动，在 x 方向的速度图象和 y 方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（ ）5A. 质点所受的合外力为 3 NB. 质点的初速度为 3 m/sC. 质点做匀变速直线运动D. 质点初速度的方向与合外力方向垂直思路分析：由图象知，在 y 方向上做匀速运动， vy＝ t＝4 m/s，在 x 方向上做匀加速运动， ax＝ tv＝1.5 m/s 2，所以 F 合 ＝ max＝3 N，选项 A 正确；质点的初速度为 v＝y2＝5 m/s，选项 B 错误；质点的初速度与 F 合 不垂直，也不同向，故其运动为匀变速曲线运动，且速度方向向 x 方向不断偏转。选项 C、D 错误。答案：A1平抛运动的规律总结一、考点突破知识点 考纲要求 题型 分值平抛运动 能够运用运动的合成和分解的思想 来计算有关平抛运动的问题 选择题解答题 6～10 分二、重难点提示重点：运用平抛运动的规律进行计算。难点：对水平方向和竖直方向上分运动之间等时性的理解。1. 定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。2. 性质：加速度为重力加速度 g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。3. 基本规律：以抛出点为原点，水平方向（初速度 v0方向）为 x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：（1）水平方向：做匀速直线运动，速度 vx＝ v0，位移 x＝ v0t（2）竖直方向：做自由落体运动，速度 vy＝ gt，位移 y＝ 12gt2（3）合速度： vt＝ 2xy，方向与水平方向的夹角为 θ ，则 tan θ ＝ yxv＝ 0gt（4）合位移： s＝ ，方向与水平方向的夹角为 α ，tan α ＝ ＝ 2【要点提示】 常用结论1. 飞行时间：由 t＝ 2hg知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0无关；2. 水平射程： x＝ v0t＝ v0 ，即水平射程由初速度 v0和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关；3. 落地速度： vt＝ 2xy＝ 20gh，以 θ 表示落地速度与 x 轴正方向的夹角，2有 tan θ ＝ yxv＝ 02gh，所以落地速度也只与初速度 v0和下落高度 h 有关；4. 速度改变量：因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔 Δ t 内的速度改变量 Δ v＝ gΔ t 相同，方向恒为竖直向下，如图所示。5. 两个重要推论（1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如下图中 A 点和 B 点所示。（2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为 α ，位移与水平方向的夹角为 θ ，则 tan α ＝2tan θ 。例题 1 关于平抛运动，下列说法不正确的是（ ）A. 平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动B. 平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变C. 平抛运动的速度大小是时刻变化的D. 平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小思路分析：平抛运动物体只受重力作用，故 A 正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由 v＝ 20()gt知合速度 v 在增大，故 C 正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角，有 tanθ ＝ 0y＝ t，因 t 一直增大，所以 tan θ 变小， θ 变小。故 D 正确，B 错误。本题应选 B。答案：B3例题 2 如图所示，从半径为 R＝1 m 的半圆 AB 上的 A 点水平抛出一个可视为质点的小球，经 t＝0.4 s 小球落到半圆上，已知当地的重力加速度 g＝10 m/s 2，则小球的初速度 v0可能为 （ ）A. 1 m/s B. 2 m/s C. 3 m/s D. 4 m/s思路分析：由于小球经 0.4 s 落到半圆上，下落的高度 h＝ gt2＝0.8 m，位置可能有12两处，如图所示。第一种可能：小球落在半圆左侧， v0t＝ R－ 2h＝0.4 m， v0＝1 m/s第二种可能：小球落在半圆右侧， v0t＝ R＋ ＝1.6 m， v0＝4 m/s，选项A、D 正确。答案：AD例题 3 在光滑的水平面上，一质量 m＝1 kg 的质点以速度 v0＝10 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一沿 y 轴正方向向上的水平恒力 F＝15 N 作用，直线 OA 与 x 轴成α ＝37°，如图所示，曲线为质点的轨迹图（ g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8） ，求：（1）如果质点的运动轨迹与直线 OA 相交于 P 点，那么质点从 O 点到 P 点所经历的时间以及 P 点的坐标；（2）质点经过 P 点的速度大小。思路分析：（1）质点在 x 轴方向无外力作用下做匀速直线运动，在 y 轴方向受恒力 F作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得： a＝ Fm＝ 15m/s2＝15 m/s 2设质点从 O 点到 P 点经历的时间为 t， P 点坐标为（ xP， yP） ，则 xP＝ v0t， yP＝ 12at2，4又 tan α ＝ Pyx，联立解得： t＝1 s， xP＝10 m， yP＝7.5 m；（2）质点经过 P 点时沿 y 轴方向的速度 vy＝ at＝15 m/s故 P 点的速度大小 vP＝ 20＝5 3m/s。答案：（1）1 s （10 m，7.5 m） （2）5 1m/s【高频疑点】 常见平抛运动题型的运动时间的计算方法模型 解决方法在水平地面上空 h 处平抛 由 h＝ 212gt2 知 t＝ hg，即 t 由高度h 决定在半圆内的平抛运动 由半径和几何关系制约时间 th＝ 12gt2R＋ ＝ v0t联立两方程可求 t注意：存在多解情况对着竖直墙壁平抛水平初速度 v0不同时，虽然落点不同，但水平位移 d 相同， t＝ 0v顺着斜面平抛方法：分解位移，利用斜面已知倾角进行计算x＝ v0t y＝ 12gt2tan θ ＝ x可求得 t＝ 0tanvg斜面上的平抛对着斜面平抛方法：分解速度，利用斜面已知倾角进行计算vx＝ v0 5vy＝ gt tan θ ＝ 0y＝ gtv可求得 t＝ an