1、1第 11 讲 与角平分线有关的问题题一： 如图 1 所示：若 BAD CAD，且 BD AB 于 B， DC AC 于 C，则 BD CD，若 BD AB于 B， DC AC 于 C，且 BD CD，则 BAD CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于 A、 B、 C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？BDCA图 1 题二： 如图所示，工厂师傅常用角尺来作任意一个角的平分线，请你设计一个方案，只用角尺来作一个角的平分线，并说明理由OM NPA B题三： 如图，已知： BAC=30， G 为 BAC 的平分线上的一点，若
2、EG AC 交 AB 于 E， GD AC 于 D， GD： GE=_题四： 如图， AD BC， ABC 的角平分线 BP 与 BAD 的角平分线 AP 相交于点 P，作 PE AB 于点E若 PE=2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 2题五： 如图（3） ，在三角形纸片 ABC 中， C=90， A=30， AC=3折叠纸片，使点 A 与点 B重合，折痕与 AB、 AC 分别相交于点 D 和点 E，求折痕 DE 的长度题六： 已知 MAN， AC 平分 MAN（1）在图 1 中，若 MAN120， ABC ADC90，求证： AB AD AC；（2）在图 2 中，若 MAN120，
3、 ABC ADC180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由题七： ABC 中， C90， AC BC， AD 是 BAC 的平分线， DE AB，垂足为 E，若AB12cm，则 DBE 的周长为（ ） A12cm B10cm C14cm D11cm题八： 如图， ABC 的外角 ACD 的平分线 CP 与内角 ABC 平分线 BP 交于点 P，若 BPC=40，求 CAP 的度数3第 11 讲 与角平分线有关的问题题一： 四处解析：如图 2 所示：作出 ABC 两内角的平分线，其交点为 O1；分别作出 ABC 两外角平分线，其交点分别为 O2， O3， O4，故满
4、足条件的修建点有四处，即 O1， O2， O3， O4AO3O2O1O4BC图 2题二： 在射线 OA 上截取 OM 为一定的长度 a，在 OB 上截取 ON a；分别过 M、 N 作 OA、 OB 的垂线，设交点为 P；连接 OP，则 OP 就是 AOB 的平分线解析：在 Rt OMP 和 Rt ONP 中， OM ON， OP OP， Rt OMP Rt ONP（ HL） MOP NOP题三： 1：2解析：作 GF AB 于 F AG 平分 BAC， GD AC GF=GD（角平分线的性质定理） EG AC ， BAC=300 FEG=300 FG： EG=1：2 GD： GE=1：2题四
5、： 4解析：过点 P 作 MN AD， AD BC， ABC 的角平分线 BP 与 BAD 的角平分线 AP 相交于点 P， PE AB 于点 E， AP BP， PN BC， PM=PE=2， PE=PN=2， MN=2+2=4故答案为：4根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出 PM=PE=2， PE=PN=2，即可得出答案此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键题五： 根据折叠过程，可以得到： AED BED， DE AB DBE= A=30在 ABC 中， ABC=180 C A=604 CBE= DBE=30 C=90， DE AB， DE=
6、CE在 Rt ADE 中， A=30， AE=2DE又 AC=AE+CE=3，2 DE+ DE=3， DE=1因此，折痕 DE 的长度为 1解析：根据题意， ABC=180 C A=60， DBE= A=30， DE AB这样，就可以充分利用角平分线的性质定理以及已知线段 AC=3 这个数量条件了折叠过程给我们提供了两个非常有用的结论： DE AB； AED BED解题时，要充分利用这些隐含条件另外，根据角平分线的性质定理得到 DE=CE，从而实现了把AC=AE+CE=3 的转化，为解决问题奠定了基础题六： （1） AC 平分 MAN， MAN120， CAB CAD60 ABC ADC90，
7、 ACB ACD30 AB AD 2AC AB AD AC（2）成立如图 3，过点 C 分别作 AM、 AN 的垂线，垂足分别为 E、 FEAMNDBCF图 3G AC 平分 MAN， CE CF ABC ADC180， ADC CDE180 CDE ABC CED CFB90， CED CFB， ED FB AB AD（ AF BF）（ AE ED） AF AE，由（1）知 AF AE AC， AB AD AC解析：（1）中可利用“直角三角形中 30所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化题七： A解析： AD 是 BA
8、C 的平分线， DE AB， C90， CD DE， ACD AED， AE AC， DBE 的周长 DE EB DE CD DB EB BC EB AC EB AE EB AB12cm题八： 延长 BA，做 PN BD， PF BA， PM AC，设 PCD=x， CP 平分 ACD， ACP= PCD=x， PM=PN， BP 平分 ABC， ABP= PBC， PF=PN， PF=PM， BPC=40， ABP= PBC=（ x-40）， BAC= ACD- ABC=2x-（ x-40）-（ x-40）=80， CAF=100，在 Rt PFA 和 Rt PMA 中，PA=PA， PM=PF， Rt PFA Rt PMA，5 FAP= PAC=50故答案为：50解析：根据外角与内角性质得出 BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出 CAP= FAP，即可得出答案此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出 PM=PN=PF 是解决问题的关键
