1、 山东省莱芜市 2018年 中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记 0 分，共 36分 ) 1（ 3 分） 2 的绝对值是（ ） A 2 B C D 2 【分析】 计算绝对值要根据绝对值的定义求解第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号 【解答】 解： 2 0， | 2|=（ 2） =2 故选： D 【点评】 本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2 的绝对值是 2部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，
2、而错误的认为 2 的绝对值是 ，而选择 B 2（ 3 分）经中国旅游研究院综合测算，今年 “五一 ”假日期间全国接待国内游客1.47 亿人次， 1.47 亿用科学记数法表示为（ ） A 14.7 107 B 1.47 107 C 1.47 108 D 0.147 109 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n是负数 【解答】 解： 1.47 亿用科学记数法表示为 1.47 108， 故
3、选： C 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中 1 |a| 10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以 及 n 的值 3（ 3 分）无理数 2 3 在（ ） A 2 和 3 之间 B 3 和 4 之间 C 4 和 5 之间 D 5 和 6 之间 【分析】 首先得出 2 的取值范围进而得出答案 【解答】 解： 2 = ， 6 7， 无理数 2 3 在 3 和 4 之间 故选： B 【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键 4（ 3 分）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A B C D 【
4、分析】 根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断 【解答】 解： A、是中心对称图形， 不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误 故选： C 【点评】 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断关键是根据图形自身的对称性进行判断 5（ 3 分）若 x， y 的值均扩大为原来的 3 倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A B C D 【分析】 据分式的基本性质， x， y 的值均扩大为原来的 3 倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是 【
5、解答】 解：根据分式的基本性质，可知若 x， y 的值均扩大为原来的 3 倍， A、 ，错误； B、 ，错误； C、 ，错误； D、 ，正确； 故选： D 【点评】 本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为 0 的数，分式的值不变此题比较简单，但计算时一定要细心 6（ 3 分）某校举行汉字听写大赛，参赛学生的成绩如下表： 成绩（分） 89 90 92 94 95 人数 4 6 8 5 7 对于这组数据，下列说法错误的是（ ） A平均数是 92 B中位数是 92 C众数是 92 D极差是 6 【分析】 根 据平均数、中位数、众数及极差的定义逐一计算即可判断 【解答】 解： A、平均数
6、为 = ，符合题意； B、中位数是 =92，不符合题意； C、众数为 92，不符合题意； D、极差为 95 89=6，不符合题意； 故选： A 【点评】 本题考查了极差、众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念 7（ 3 分）已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ） A 60cm2 B 65cm2 C 120cm2 D 130cm2 【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为 5cm，圆锥的高为 12cm，再根据勾股定理计算出母线长为 13cm，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式
7、计算 【解答】 解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为 10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为 12cm， 所以圆锥的母线长 = =13， 所以这个圆锥的侧面积 = 2513=65（ cm2） 故选： B 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了三视 图 8（ 3 分）在平面直角坐标系中，已知 ABC 为等腰直角三角形， CB=CA=5，点C（ 0， 3），点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 在第三象限，且在反比例函数 y= 的图象上，则 k=（ ） A 3 B 4 C 6 D 12 【分析】 如图，作
8、 AH y 轴于 H构造全等三角形即可解决问题； 【解答】 解：如图，作 AH y 轴于 H CA=CB， AHC= BOC， ACH= CBO， ACH CBO， AH=OC， CH=OB， C（ 0， 3）， BC=5， OC=3， OB= =4， CH=OB=4， AH=OC=3， OH=1， A（ 3， 1）， 点 A 在 y= 上， k=3， 故选： A 【点评】 本题考查反比例函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 9（ 3 分）如图， AB CD， BED=61， ABE 的平分线与 CDE 的平分线
9、交于点 F，则 DFB=（ ） A 149 B 149.5 C 150 D 150.5 【分析】 过点 E 作 EG AB，根据平行线的性质可得 “ ABE+ BEG=180， GED+ EDC=180”，根据角的计算以及角平分线的定义可得 “ FBE+ EDF= （ ABE+ CDE） ”，再依据四边形内角和为 360结合角的计算即可得出结论 【解答】 解：如图，过点 E 作 EG AB， AB CD， AB CD GE， ABE+ BEG=180， GED+ EDC=180， ABE+ CDE+ BED=360； 又 BED=61， ABE+ CDE=299 ABE 和 CDE 的平分线相
10、交于 F， FBE+ EDF= （ ABE+ CDE） =149.5， 四边形的 BFDE 的内角和为 360， BFD=360 149.5 61=149.5 故选： B 【点评】 本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为 360，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键 10（ 3 分）函数 y=ax2+2ax+m（ a 0）的图象过点（ 2， 0），则使函数值 y 0 成立的 x 的取值范围是（ ） A x 4 或 x 2 B 4 x 2 C x 0 或 x 2 D 0 x 2 【分析】 先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到 抛物线与
11、x 轴的另一个交点坐标为（ 4， 0），然后利用函数图象写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可 【解答】 解：抛物线 y=ax2+2ax+m 得对称轴为直线 x= = 1， 而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（ 2， 0）， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 4， 0）， a 0， 抛物线开口向下， 当 x 4 或 x 2 时， y 0 故选： A 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（ a， b， c是常数， a 0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函 数的性质 11（ 3 分）如图，边长为 2 的正
12、 ABC 的边 BC 在直线 l 上，两条距离为 l 的平行直线 a 和 b 垂直于直线 l， a 和 b 同时向右移动（ a 的起始位置在 B 点），速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 C 点停止，在 a 和 b 向右移动的过程中，记 ABC 夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】 依据 a 和 b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当 0 t 1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当 1 t 2 时，函数图象为 开口向下的抛物线的一部分，当 2 t 3 时，函数图象为
13、开口向上的抛物线的一部分 【解答】 解：如图 ，当 0 t 1 时， BE=t， DE= t， s=S BDE= t t= ； 如图 ，当 1 t 2 时， CE=2 t， BG=t 1， DE= （ 2 t）， FG= （ t 1）， s=S 五边形 AFGED=S ABC S BGF S CDE= 2 （ t 1） （ t 1） （ 2 t） （ 2 t） = +3 t ； 如图 ，当 2 t 3 时， CG=3 t， GF= （ 3 t）， s=S CFG= （ 3 t） （ 3 t） = 3 t+ ， 综上所述，当 0 t 1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1 t 2时，
14、函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 2 t 3 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 故选： B 【点评】 本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 12（ 3 分）如图，在矩形 ABCD 中， ADC 的平分线与 AB 交于 E，点 F 在 DE 的延长线上， BFE=90，连接 AF、 CF， CF 与 AB 交于 G有以下结论： AE=BC AF=CF BF2=FGFC EGAE=BGAB 其中正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【分析】 只要证明 ADE 为直角
15、三角形即可 只要证明 AEF CBF（ SAS）即可； 假设 BF2=FGFC，则 FBG FCB，推出 FBG= FCB=45，由 ACF=45，推出 ACB=90，显然不可能，故 错误， 由 ADF GBF，可得 = = ，由 EG CD，推出 = = ，推出 = ，由 AD=AE， EGAE=BGAB，故 正确， 【解答】 解： DE 平分 ADC， ADC 为直角， ADE= 90=45， ADE 为直角三角形 AD=AE， 又 四边形 ABCD 矩形， AD=BC， AE=BC BFE=90， BFE= AED=45， BFE 为等腰直角三角形， 则有 EF=BF 又 AEF= DF
16、B+ ABF=135， CBF= ABC+ ABF=135， AEF= CBF 在 AEF 和 CBF 中， AE=BC， AEF= CBF， EF=BF， AEF CBF（ SAS） AF=CF 假设 BF2=FGFC，则 FBG FCB， FBG= FCB=45， ACF=45， ACB=90，显然不可能，故 错误， BGF=180 CGB， DAF=90+ EAF=90+（ 90 AGF） =180 AGF， AGF= BGC， DAF= BGF， ADF= FBG=45， ADF GBF， = = ， EG CD， = = ， = ， AD=AE， EGAE=BGAB，故 正确， 故选
17、： C 【点评】 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分。请将答案填在答题卡上 ) 13（ 4 分）计算：（ 3.14） 0+2cos60= 2 【分析】 原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值 【解答】 解：原式 =1+2 =1+1=2， 故答案为： 2 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14（ 4 分）已知 x1， x2是 方程 2x2 3x 1=0 的两根，则 x12+x22= 【分析】 找
18、出一元二次方程的系数 a， b 及 c 的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值 【解答】 解： x1、 x2是方程 2x2 3x 1=0 的两根， x1+x2= x1x2= ， x12+x22= ， 故答案为： 【点评】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键 15（ 4 分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边 ，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和 2，则图中阴影部分的面积是 2 【分析】 由正方形的面积公式和正三
19、角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积 【解答】 解：设正三角形的边长为 a，则 a2 =2 ， 解得 a=2 则图中阴影部分的面积 =2 2=2 故答案是： 2 【点评】 考查了二次根式的应用解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽 16（ 4 分）如图，正方形 ABCD 的边 长为 2a， E 为 BC 边的中点， 、 的圆心分别在边 AB、 CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点 F，则 E、 F间的距离为 【分析】 作 DE 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为 的圆心， H 为 的圆心，连接 EF，GH，交于点 O，连接
20、 GF， FH， HE， EG，依据勾股定理可得 GE=FG= ，根据四边形 EGFH 是菱形，四边形 BCGH 是矩形，即可得到 Rt OEG 中， OE= a，即可得到 EF= a 【解答】 解：如图，作 DE 的中垂线交 CD 于 G，则 G 为 的圆心，同理可得， H为 的圆心， 连接 EF， GH，交于点 O，连接 GF， FH， HE， EG， 设 GE=GD=x，则 CG=2a x， CE=a， Rt CEG 中，（ 2a x） 2+a2=x2， 解得 x= ， GE=FG= ， 同理可得， EH=FH= ， 四边形 EGFH 是菱形，四边形 BCGH 是矩形， GO= BC=a
21、， Rt OEG 中， OE= = a， EF= a， 故答案为： a 【点评】 本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系 17（ 4 分）如图，若 ABC 内 一点 P 满足 PAC= PCB= PBA，则称点 P 为 ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究 “三角形几何 ”的热潮已知 ABC 中， CA=CB， ACB=120， P 为 ABC 的布
22、罗卡尔点，若 PA= ，则 PB+PC= 1+ 【分析】 作 CH AB 于 H首先证明 BC= BC，再证明 PAB PBC，可得= = = ，即可求出 PB、 PC； 【解答】 解：作 CH AB 于 H CA=CB， CH AB， ACB=120， AH=BH， ACH= BCH=60， CAB= CBA=30， AB=2BH=2BCcos30= BC， PAC= PCB= PBA， PAB= PBC， PAB PBC， = = = ， PA= ， PB=1， PC= ， PB+PC=1+ 故答案为 1+ 【点评】 本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角
23、三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题 三、解答题（本大 题共 7 小题，共 64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 ) 18（ 6 分）先化简，再求值：（ + ） ，其中 a= +1 【分析】 根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】 解：当 a= +1 时， 原式 = = = = =2 【点评】 本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 19（ 8 分）我市正在开展 “食品安全城市 ”创建活动，为了解学生对食品安全知识的了解情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果按照 “A 非常了解、 B 了解、 C 了解较少、 D
24、不 了解 ”四类分别进行统计，并绘制了下列两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题： （ 1）此次共调查了 120 名学生； （ 2）扇形统计图中 D 所在扇形的圆心角为 54 ； （ 3）将上面的条形统计图补充完整； （ 4）若该校共有 800 名学生，请你估计对食品安全知识 “非常了解 ”的学生的人数 【分析】 （ 1）根据 B 的人数除以占的百分比即可得到总人数； （ 2）先根据题意列出算式，再求出即可； （ 3）先求出对应的人数，再画出即可； （ 4）先列出算式，再求出即可 【解答】 解：（ 1）（ 25+23） 40%=120（名）， 即此次共调查了 120 名学生， 故答案
25、为： 120； （ 2） 360 =54， 即扇形统计图中 D 所在扇形的圆心角为 54， 故答案为： 54； （ 3）如图所示： ； （ 4） 800 =200（人）， 答：估计对食品安全知识 “非常了解 ”的学生的人数是 200 人 【点评】 本题考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两图结合是解题的关键 20（ 9 分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架 AB 的长是 0.8m， A 端到地面的距离 AC 是 4m，支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65小明在水池的外沿 D 测得支架 B端的仰角是 45，在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角是
26、 50（点 C、 E、 D 在同一直线上），求小水池的宽 DE（结果精确到 0.1m）（ sin65 0.9， cos65 0.4，tan50 1.2） 【分析】 过点 B 作 BF AC 于 F， BG CD 于 G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可 【解答】 解：过点 B 作 BF AC 于 F， BG CD 于 G， 在 Rt BAF 中， BAF=65， BF=ABsin BAF=0.8 0.9=0.72， AF=ABcos BAF=0.8 0.4=0.32， FC=AF+AC=4.32， 四边形 FCGB 是矩形， BG=FC=4.32， CG=BF=0.72， BDG=45，
27、 BDG= GBD， GD=GB=4.32， CD=CG+GD=5.04， 在 Rt ACE 中， AEC=50， CE= ， DE=CD CE=5.04 3.33=1.71 1.7， 答：小水池的宽 DE 为 1.7 米 【点评】 此题考查的知识点是解直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角 三角形 21（ 9 分）已知 ABC 中， AB=AC， BAC=90， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，将 ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转一个角度 （ 0 90）得到 ADE，连接BD、 CE，如图 1 （ 1）求证： BD=
28、CE； （ 2）如图 2，当 =60时，设 AB 与 DE交于点 F，求 的值 【分析】 （ 1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明 AD=AE，然后再利用 SAS证明 BDA CEA，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可； （ 2）连接 DD，先证明 ADD为等边三角形 ，然后再证明 ABD为直角三角形，接下来，再证明 BFD AFE，最后，依据相似三角形的性质求解即可 【解答】 解：（ 1）证明： AB=AC， D、 E 分别是 AB、 AC 的中点， AD=BD=AE=EC 由旋转的性质可知： DAD= EAE=， AD=AD， AE=AE AD=AE， BDA CEA， BD=CE
29、（ 2）连接 DD DAD=60， AD=AD， ADD是等边三角形 ADD= ADD=60， DD=DA=DB DBD= DDB=30， BDA=90 DAE=90， BAE=30， BAE= ABD， 又 BFD= AFE， BFD AFE， 在 Rt ABD中， tan BAD= = ， = 【点评】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，发现 BFD AFE是解题的关键 22（ 10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣已知购买甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万 元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人
30、3 台，共需 24 万元 （ 1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； （ 2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【分析】 （ 1）利用二元一次方程组解决问题； （ 2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值 【解答】 解：（ 1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y 万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙
31、两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、 4 万元 （ 2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（ 8 a）台，根据题意得 解这个不等式组得 a 为正整数 a 的取值为 2， 3， 4， 该公司有 3 种购买方案，分别是 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台 购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台 购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台 设该公司的购买费用为 w 万元，则 w=6a+4（ 8 a） =2a+32 k=2 0 w 随 a 的增大而增大 当 a=2 时， w 最小， w 最小 =2 2+32=36（万元） 该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方
32、案费用最低，最低费用是36 万元 【点评】 本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用 23（ 10 分）如图，已知 A、 B 是 O 上两点， OAB 外角的平分线交 O 于另一点 C， CD AB 交 AB 的延长线于 D （ 1）求证： CD 是 O 的切线； （ 2） E 为 的中点， F 为 O 上一点， EF 交 AB 于 G，若 tan AFE= ， BE=BG，EG=3 ，求 O 的半径 【分析 】 （ 1）连接 OC，如图，先证明 OCB= CBD 得到 OC AD，再利用 CDAB 得到 OC CD，然后根据切线的判定定理得到
33、结论； （ 2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图，利用垂径定理得到 OE AB，再利用圆周角定理得到 ABE= AFE，在 Rt BEH 中利用正切可设 EH=3x， BH=4x，则 BE=5x，所以 BG=BE=5x， GH=x，接着在 Rt EHG 中利用勾股定理得到 x2+（ 3x） 2=（ 3 ）2，解方程得 x=3，接下来设 O 的半径为 r，然后在 Rt OHB 中利用勾股定理得到方程（ r 9） 2+122=r2，最后解 关于 r 的方程即可 【解答】 （ 1）证明：连接 OC，如图， BC 平分 OBD， OBD= CBD， OB=OC， OBC= OCB， OCB= C
34、BD， OC AD， 而 CD AB， OC CD， CD 是 O 的切线； （ 2）解：连接 OE 交 AB 于 H，如图， E 为 的中点， OE AB， ABE= AFE， tan ABE=tan AFE= ， 在 Rt BEH 中， tan HBE= = 设 EH=3x， BH=4x， BE=5x， BG=BE=5x， GH=x， 在 Rt EHG 中， x2+（ 3x） 2=（ 3 ） 2，解得 x=3， EH=9， BH=12， 设 O 的半径为 r，则 OH=r 9， 在 Rt OHB 中，（ r 9） 2+122=r2，解得 r= ， 即 O 的半径为 【点评】 本题考查了切线
35、的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时 “连圆心和直线与圆的公共点 ”或 “过圆心作这条直线的垂线 ”；有切线时，常常 “遇到切点连圆心得半径 ”也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形 24（ 12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 4， 0）， C（ 0， 3）三点， D 为直线 BC 上方抛物线上一动点， DE BC 于 E （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）如图 1，求线段 DE 长度的最大值； （ 3）如图 2，设 AB 的中点为 F，连接 CD， CF，是否存在点 D，使得
36、CDE 中有一个角与 CFO 相等？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （ 1）根据待定系数法，可得函数解析式； （ 2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质 ，可得答案； （ 3）根据正切函数，可得 CFO，根据相似三角形的性质，可得 GH， BH，根据待定系数法，可得 CG 的解析式，根据解方程组，可得答案 【解答】 解：（ 1）由题意，得 ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 y= x2+ x+3； （ 2）设直线 BC 的解析是为 y=kx+b， ， 解得 y
37、= x+3， 设 D（ a， a2+ a+3），（ 0 a 4），过点 D 作 DM x 轴交 BC 于 M 点， 如图 1 ， M（ a， a+3）， DM=（ a2+ a+3）（ a+3） = a2+3a， DME= OCB， DEM= BOC， DEM BOC， = ， OB=4， OC=3， BC=5， DE= DM DE= a2+ a=（ （ a 2） 2+ ， 当 a=2 时， DE 取最大值，最大值是 ， （ 3）假设存在这样的点 D， CDE 使得中有一个角与 CFO 相等， 点 F 为 AB 的中点， OF= ， tan CFO= =2， 过点 B 作 BG BC，交 CD
38、的延长线于 G 点，过点 G 作 GH x 轴，垂足为 H， 如图 2 ， 若 DCE= CFO， tan DCE= =2， BG=10， GBH BCO， = = ， GH=8， BH=6， G（ 10， 8）， 设直线 CG 的解析式为 y=kx+b， ， 解得 直线 CG 的解析式为 y= x+3， ， 解得 x= ，或 x=0（舍） 若 CDE= CFO， 同理可得 BG= ， GH=2， BH= ， G（ ， 2）， 同理可得，直线 CG 的解析是为 y= x+3， ， 解得 x= 或 x=0（舍）， 综上所述，存在点 D，使得 CDE 中有一个角与 CFO 相等，点 D 的横坐标为 或 【点评】 本题考查了二次函数综合题，解（ 1）的关键是待定系数法，解（ 2）的关键是利用 相似三角形的性质得出 DE 的长，又利用了二次函数的性质；解（ 3）的关键是利用相似三角形的性质得出 G 点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标
