2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入（课件+习题）（打包12套）新人教A版选修1-2.zip

- 1 -第三章 数系的扩充与复数的引入章末课时作业 新人教 A 版选修 1-2题型一 分类讨论思想的应用例 1 实数 k 为何值时，复数(1＋i) k2－(3＋5i) k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．- 2 -解 (1＋i) k2－(3＋5i) k－2(2＋3i)＝( k2－3 k－4)＋( k2－5 k－6)i.(1)当 k2－5 k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数．(2)当 k2－5 k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数．(3)当Error!即 k＝4 时，该复数为纯虚数．反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当 x＋ yi 没有说明 x， y∈R 时，也要分情况讨论．跟踪训练 1 (1)若复数( a2－ a－2)＋(| a－1|－1)i( a∈R)不是纯虚数，则( )A． a＝－1 B． a≠－1 且 a≠2C． a≠－1 D． a≠2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当 a2－ a－2≠0 时，已知的复数一定不是纯虚数，解得 a≠－1 且 a≠2；当 a2－ a－2＝0 且| a－1|－1＝0 时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得 a＝2.综上所述，当 a≠－1 时，已知的复数不是一个纯虚数．(2)实数 x 取什么值时，复数 z＝( x2＋ x－6)＋( x2－2 x－15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．解 ①当 x2－2 x－15＝0，即 x＝－3 或 x＝5 时，复数 z 为实数；②当 x2－2 x－15≠0，即 x≠－3 且 x≠5 时，复数 z 为虚数；③当 x2＋ x－6＝0 且 x2－2 x－15≠0，即 x＝2 时，复数 z 是纯虚数；④当 x2＋ x－6＝0 且 x2－2 x－15＝0，即 x＝－3 时，复数 z 为零．题型二 数形结合思想的应用例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、 B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i， OA∥ BC.求顶点 C 所对应的复数 z.- 3 -解 设 z＝ x＋ yi， x， y∈R，如图．∵ OA∥ BC，|OC|＝| BA|，∴ kOA＝ kBC，|zC|＝| zB－ zA|，即Error!解得Error!或Error!.∵| OA|≠| BC|，∴ x2＝－3， y2＝4(舍去)，故 z＝－5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．跟踪训练 2 已知复数 z1＝i(1－i) 3.(1)求| z1|；(2)若| z|＝1，求| z－ z1|的最大值．解 (1)| z1|＝|i(1－i) 3|＝|i|·|1－i| 3＝2 .2(2)如图所示，由| z|＝1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，－2)．所以| z－ z1|的最大值可以看成是点 Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知| z－ z1|max＝| z1|＋ r(r 为圆半径)＝2 ＋1.2题型三 转化与化归思想的应用- 4 -例 3 已知 z 是复数， z＋2i， 均为实数，且( z＋ ai)2的对应点在第一象限，求实数 a 的z2－ i取值范围．解 设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则 z＋2i＝ x＋( y＋2)i 为实数，∴ y＝－2.又 ＝ ＝ (x－2i)(2＋i)z2－ i x－ 2i2－ i 15＝ (2x＋2)＋ (x－4)i 为实数，15 15∴ x＝4.∴ z＝4－2i，又∵( z＋ ai)2＝(4－2i＋ ai)2＝(12＋4 a－ a2)＋8( a－2)i 在第一象限．∴Error!，解得 2a6.∴实数 a 的取值范围是(2,6)．反思与感悟 在求复数时，常设复数 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，把复数 z 满足的条件转化为实数x， y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．跟踪训练 3 已知 x， y 为共轭复数，且( x＋ y)2－3 xyi＝4－6i，求 x， y.解 设 x＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 y＝ a－ bi.又( x＋ y)2－3 xyi＝4－6i，∴4 a2－3( a2＋ b2)i＝4－6i，∴Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意 i2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k＝1，i 4k＋1 ＝i，i 4k＋2 ＝－1，i4k＋3 ＝－i( k∈Z)；- 5 -(2)(1±i)2＝±2i；(3)设 ω ＝－ ± i，12 32则 ω 3＝1， ω 2＝ ，1＋ ω ＋ ω 2＝0，ω＝ ω 2， ω 3n＝1， ω 3n＋1 ＝ ω (ω ∈N *)等；1ω(4)( ± i)3＝－1；12 32(5)作复数除法运算时，有如下技巧：＝ ＝ ＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．a＋ bib－ ai a＋ biib－ aii a＋ biia＋ bi例 4 计算：(1)(1－i)(－ ＋ i)(1＋i)；12 32(2) ＋( )2 006.－ 23＋ i1＋ 23i 21－ i解 (1)方法一 (1－i)(－ ＋ i)(1＋i)12 32＝(－ ＋ i＋ i－ i2)(1＋i)12 32 12 32＝( ＋ i)(1＋i)3－ 12 3＋ 12＝ ＋ i＋ i＋ i23－ 12 3＋ 12 3－ 12 3＋ 12＝－1＋ i.3方法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－ ＋ i)12 32＝(1－i 2)(－ ＋ i)12 32＝2(－ ＋ i)12 32＝－1＋ i.3(2) ＋( )2 006－ 23＋ i1＋ 23i 21－ i＝ ＋－ 23＋ ii1＋ 23ii 21 003－ 2i1 003＝ －－ 23＋ iii－ 23 1i1 003- 6 -＝i－ ＝i－i＝0.1－ i反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法．跟踪训练 4 计算： ＋ － .2＋ i1－ i21－ 2i 1－ i－ 1＋ i2i5 1－ i2 0111－ i解 ＋ －2＋ i1－ i21－ 2i 1－ i－ 1＋ i2i5 1－ i2 0111－ i＝ ＋ －2＋ i·－ 2i1－ 2i 1－ i－ 2ii 1＋ i1－ i＝ ＋ －2－ 4i1－ 2i 1－ 3ii 1＋ i22＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.- 1 -第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数课时作业 新人教 A 版选修 1-2明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算，若两个复数 z1＝ a1＋ b1i， z2＝ a2＋ b2i(a1， b1， a2， b2∈R)(1)加法： z1＋ z2＝( a1＋ a2)＋( b1＋ b2)i；(2)减法： z1－ z2＝( a1－ a2)＋( b1－ b2)i；(3)乘法： z1·z2＝( a1a2－ b1b2)＋( a1b2＋ a2b1)i；(4)除法： ＝ ＋ i(z2≠0)；z1z2 a1a2＋ b1b2a2＋ b2 a2b1－ a1b2a2＋ b2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n(n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i；若 ω ＝－ ± i，则 ω 3＝1,1＋ ω ＋ ω 2＝0.12 322．共轭复数与复数的模(1)若 z＝ a＋ bi，则 ＝ a－ bi， z＋ 为实数， z－ 为纯虚数( b≠0)．z z z(2)复数 z＝ a＋ bi 的模，| z|＝ ，a2＋ b2且 z· ＝| z|2＝ a2＋ b2.z3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义- 2 -若复数 z1、 z2对应的向量 、 不共线，则复数 z1＋ z2是以 、 为两邻边的平行四边OZ1→ OZ2→ OZ1→ OZ2→ 形的对角线 所对应的复数．OZ→ (2)复数减法的几何意义复数 z1－ z2是连接向量 、 的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数．OZ1→ OZ2→ 题型一 复数的四则运算例 1 (1)计算： ＋ 2 012＋－ 23＋ i1＋ 23i ( 21＋ i)；4－ 8i2－ － 4＋ 8i211－ 7i(2)已知 z＝1＋i，求 的模．z2－ 3z＋ 6z＋ 1解 (1)原式＝ ＋ 1 006＋i1＋ 23i1＋ 23i [( 21＋ i)2]4－ 8i＋ 8i－ 44－ 8i＋ 4－ 8i11－ 7i＝i＋(－i) 1 006＋0＝－1＋i.(2) ＝ ＝ ＝1－i，z2－ 3z＋ 6z＋ 1 1＋ i2－ 31＋ i＋ 62＋ i 3－ i2＋ i∴ 的模为 .z2－ 3z＋ 6z＋ 1 2反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到( a＋ bi)÷(c＋ di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练 1 (1)已知 ＝2＋i，则复数 z 等于( )z1＋ iA．－1＋3i B．1－3iC．3＋i D．3－i答案 B解析 方法一 ∵ ＝2＋i，z1＋ i∴ ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，z∴ z＝1－3i.方法二 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，- 3 -∴ ＝ a－ bi，z∴ ＝2＋i，∴Error!， z＝1－3i.a－ bi1＋ i(2)i 为虚数单位，则 2 011等于( )(1＋ i1－ i)A．－i B．－1 C．i D．1答案 A解析 因为 ＝ ＝i，1＋ i1－ i 1＋ i21－ i2所以 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3 ＝i 3＝－i，故选 A.(1＋ i1－ i)题型二 复数的几何意义例 2 已知点集 D＝{ z||z＋1＋ i|＝1， z∈C}，试求| z|的最小值和最大值．3解 点集 D 的图象为以点 C(－1，－ )为圆心，1 为半径的圆，圆上任一点 P 对应的复数为 z，则| |＝| z|.3 OP→ 由图知，当 OP 过圆心 C(－1，－ )时，与圆交于点 A、 B，则| z|的最小值是3|OA|＝| OC|－1＝ －1＝2－1＝1，即| z|min＝1；－ 12＋ － 32|z|的最大值是| OB|＝| OC|＋1＝2＋1＝3，即| z|max＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：| z1－ z2|表示复数 z1， z2对应的两点 Z1， Z2之间的距离．跟踪训练 2 已知复数 z1， z2满足| z1|＝3，| z2|＝5，| z1－ z2|＝ ，求| z1＋ z2|的值．10解 如图所示，设 z1， z2对应点分别为 A， B，以 ， 为邻边作▱ OACB，则 对应的复数为OA→ OB→ OC→ z1＋ z2.这里| |＝3，| |＝5，| |＝ .OA→ OB→ BA→ 10- 4 -∴cos ∠ AOB＝|OA→ |2＋ |OB→ |2－ |BA→ |22|OA→ ||OB→ |＝ ＝ .32＋ 52－ 102×3×5 45∴cos ∠ OBC＝－ .45又| |＝| |＝3，BC→ OA→ ∴| z1＋ z2|＝| |OC→ ＝ |OB→ |2＋ |BC→ |2－ 2|OB→ ||BC→ |cos ∠ OBC＝ .58题型三 两个复数相等例 3 设复数 z 和它的共轭复数 满足 4z＋2 ＝3 ＋i，求复数 z.z z 3解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)．因为 4z＋2 ＝3 ＋i，z 3所以 2z＋(2 z＋2 )＝3 ＋i.z 32z＋2 ＝2( a＋ bi)＋2( a－ bi)＝4 a，z整体代入上式，得 2z＋4 a＝3 ＋i.3所以 z＝ ＋ .33－ 4a2 i2根据复数相等的充要条件，得Error!解得Error!所以 z＝ ＋ .32 i2反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具． “复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练 3 关于 x 的方程 x2＋(3＋2i) x＋3 ai＝0 有非零实根，求实数 a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为 b(b≠0)，代入方程 x2＋(3＋2i) x＋3 ai＝0，化为 b2＋3 b＋(2 b＋3 a)i＝0.所以Error!已知 b≠0，解得 b＝－3， a＝2.故实数 a 的值及方程的实数根分别为 2 和－3.- 5 -1．若 z∈C，且| z＋2－2i|＝1，则| z－2－2i|的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 B2．已知复数 z＝1＋ ，则 1＋ z＋ z2＋…＋ z2 014为( )2i1－ iA．1＋i B．1－iC．i D．1答案 C3．设复数 z 满足关系： z＋| |＝2＋i，那么 z 等于( )zA．－ ＋i B. ＋i34 34C．－ －i D. －i34 34答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，由已知 a＋ bi＋ ＝2＋ia2＋ b2由复数相等可得Error!，∴Error!，故 z＝ ＋i.344．已知 z1＝1＋2i， z2＝ m＋( m－1)i，且两复数的乘积 z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数 m 的值为________．答案 34解析 z1z2＝(1＋2i)[ m＋( m－1)i]＝[ m－2( m－1)]＋[2 m＋( m－1)]i＝(2－ m)＋(3 m－1)i，所以 2－ m＝3 m－1，即 m＝ ，且能使 2－ m＝3 m－10，满足题意．345．设复数 z＝1＋i，且 ＝1－i，求实数 a， b 的值．z2＋ az＋ bz2－ z＋ 1解 因为 z＝1＋i，所以 z2＋ az＋ b＝( a＋2)i＋ a＋ b， z2－ z＋1＝i，所以 ＝z2＋ az＋ bz2－ z＋ 1＝( a＋2)－( a＋ b)i.a＋ b＋ a＋ 2ii又 ＝1－i.z2＋ az＋ bz2－ z＋ 1- 6 -所以Error!解得Error![呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数 ＋ 的虚部是( )1－ 2＋ i 11－ 2iA. i B. 15 15C．－ i D．－15 15答案 B解析 ＋ ＝ ＋ ＝－ ＋ i.故选 B.1－ 2＋ i 11－ 2i － 2－ i5 1＋ 2i5 15 152．复数 的共轭复数是( )2＋ i1－ 2iA．－ i B. i35 35C．－i D．i答案 C3．若( m2－5 m＋4)＋( m2－2 m)i0，则实数 m 的值为( )A．1 B．0 或 2 C．2 D．0答案 D解析 由Error!，得 m＝0.4．设 a， b∈R 且 b≠0，若复数( a＋ bi)3是实数，则( )A． b2＝3 a2 B． a2＝3 b2C． b2＝9 a2 D． a2＝9 b2答案 A解析 若( a＋ bi)3＝( a3－3 ab2)＋(3 a2b－ b3)i 是实数，则 3a2b－ b3＝0.由 b≠0，得 b2＝3 a2.故选 A.- 7 -5．设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为( )1＋ ai2－ iA．2 B．－2C．－ D.12 12答案 A解析 设 ＝ bi(b∈R 且 b≠0)，则 1＋ ai＝ bi(2－i)＝ b＋2 bi，1＋ ai2－ i所以 b＝1， a＝2.故选 A.6．复平面内点 A、 B、 C 对应的复数分别为 i、1、4＋2i，由 A→ B→ C→ D 按逆时针顺序作平行四边形 ABCD，则| |等于( )BD→ A．5 B. 13C. D.15 17答案 B解析 设 D 点对应复数为 z，∵ ＝ ，AB→ DC→ ∴1－i＝－ z＋(4＋2i)，∴ z＝3＋3i，∴ 对应的复数为 2＋3i，∴| |＝ .BD→ BD→ 137．已知 a∈R，则 z＝( a2－2 a＋4)－( a2－2 a＋2)i 所对应的点在第几象限？复数 z 对应的点的轨迹是什么？解 由 a2－2 a＋4＝( a－1) 2＋3≥3，－( a2－2 a＋2)＝－( a－1) 2－1≤－1，∴复数 z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数 z 的对应点在第四象限．设z＝ x＋ yi(x、 y∈R)，则Error!消去 a2－2 a 得： y＝－ x＋2( x≥3)．∴复数 z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为 y＝－ x＋2( x≥3)．二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i) 2对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析 (2－i) 2＝4－4i＋i 2＝3－4i，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．9.设 i 是虚数单位. 是复数 z 的共轭复数．若 z· i＋2＝2 z，则 z 等于( )z zA．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案 A- 8 -解析 设 z＝ a＋ bi， a， b∈R代入 z· i＋2＝2 z，整理得：( a2＋ b2)i＋2＝2 a＋2 biz则Error!解得Error!因此 z＝1＋i.10．已知复数 z＝ ，其中 i 是虚数单位，则| z|＝________.2－ i1－ i答案 10211．已知复数 z＝ (i 是虚数单位)，则| z|＝________.5i1＋ 2i答案 5解析 | z|＝ ＝ ＝ ＝ .|5i1＋ 2i| |5i||1＋ 2i| 55 512．设复数 z＝ ，若 z2＋ a·z＋ b＝1＋i，求实数 a， b 的值．1＋ i2＋ 31－ i2＋ i解 z＝ ＝ ＝1＋ i2＋ 31－ i2＋ i 2i＋ 3－ 3i2＋ i 3－ i2＋ i＝ ＝1－i.3－ i2－ i5因为 z2＋ a·z＋ b＝1＋i，所以(1－i) 2＋ a(1－i)＋ b＝1＋i.所以( a＋ b)－( a＋2)i＝1＋i.所以Error!解得 a＝－3， b＝4.即实数 a， b 的值分别是－3,4.13.在复平面内， O 是原点，向量 对应的复数是 2＋i.OA→ (1)如果点 A 关于实轴的对称点为 B，求向量 对应的复数；OB→ (2)如果(1)中点 B 关于虚轴的对称点为 C，求点 C 对应的复数．解 (1)设所求向量 对应的复数为 z1＝ a＋ bi(a， b∈R)，则点 B 的坐标为( a， b)．OB→ 已知 A(2,1)，由对称性可知 a＝2， b＝－1.所以 对应的复数为 z1＝2－i.OB→ (2)设所求点 C 对应的复数为 z2＝ c＋ di(c， d∈R)，则 C(c， d)．由(1)，得 B(2，－1)．由对称性可知， c＝－2， d＝－1.故点 C 对应的复数为 z2＝－2－i.- 9 -三、探究与拓展14.是否存在复数 z，使其满足 ·z＋2i ＝3＋ ai？如果存在，求实数 a 的取值范围；如果不z z存在，请说明理由．解 设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则原条件等式可化为 x2＋ y2＋2i( x－ yi)＝3＋ ai.由复数相等的充要条件，得Error!消去 x，得 y2＋2 y＋ －3＝0.a24所以当 Δ ＝4－4 ＝16－ a2≥0，(a24－ 3)即－4≤ a≤4 时，复数 z 存在．故存在满足条件的复数 z，且实数 a 的取值范围为－4≤ a≤4.- 1 -3.2.2 复数代数形式的乘除运算明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)，则 z1·z2＝( a＋ bi)(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( ad＋ bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数 z1、 z2、 z3∈C，有交换律 z1·z2＝ z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律 z1(z2＋ z3)＝ z1z2＋ z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数， z 的共轭复数用 表示．即 z＝ a＋ bi，则 ＝ a－ bi.z z4．复数的除法法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(c＋ di≠0)，则 ＝ ＝ ＋ i.z1z2 a＋ bic＋ di ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．- 2 -思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成－1.例 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i) 2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝3 2－(4i) 2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i) 2＝1＋2i＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练 1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i) 2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i) 2＝1＋4i＋(2i) 2＝1＋4i＋4i 2＝－3＋4i.思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)．例 2 计算：(1) ＋ ；4－ 3i4＋ 3i 4＋ 3i4－ 3i(2)( )6＋ .1＋ i1－ i 2＋ 3i3－ 2i解 (1)原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ；4－ 3i24＋ 3i4－ 3i 4＋ 3i24－ 3i4＋ 3i 16－ 9－ 24i42＋ 32 16－ 9＋ 24i42＋ 32 7－ 24i25 7＋ 24i25 1425(2)方法一 原式＝[ ]6＋1＋ i22 2＋ 3i3＋ 2i32＋ 22＝i 6＋ ＝－1 ＋i.6＋ 2i＋ 3i－ 65方法二 (技巧解法)原式＝[ ]6＋1＋ i22 2＋ 3ii3－ 2ii＝i 6＋ ＝－1＋i.2＋ 3ii2＋ 3i反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．- 3 -跟踪训练 2 计算：(1) ；(2) .7＋ i3＋ 4i － 1＋ i2＋ i－ i解 (1) ＝ ＝ ＝1－i.7＋ i3＋ 4i 7＋ i3－ 4i3＋ 4i3－ 4i 25－ 25i25(2) ＝ ＝ ＝－1－3i.－ 1＋ i2＋ i－ i － 3＋ i－ i － 3＋ i·i－ i·i探究点二 共轭复数及其应用思考 1 像 3＋4i 和 3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数 z 的共轭复数为 .虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z思考 2 复数 a＋ bi 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数 a＋ bi 的共轭复数可表示为 a－ bi，由于 (a＋ bi)·(a－ bi)＝ a2＋ b2 ，所以两个共轭复数之积为实数．思考 3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝ ⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．z(3)若 z≠0 且 z＋ ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．z思考 4 z· 与| z|2和| |2有什么关系？z z答 z· ＝| z|2＝| |2.z z例 3 已知复数 z 满足| z|＝1，且(3＋4i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi 且| z|＝ ＝1，即 a2＋ b2＝1.①z a2＋ b2因为(3＋4i) z＝(3＋4i)( a＋ bi)＝(3 a－4 b)＋(3 b＋4 a)i，而(3＋4i) z 是纯虚数，所以 3a－4 b＝0，且 3b＋4 a≠0.②由①②联立，解得Error!或Error!所以 ＝ － i，或 ＝－ ＋ i.z45 35 z 45 35反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪训练 3 已知复数 z 满足： z· ＋2i z＝8＋6i，求复数 z 的实部与虚部的和．z解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z· ＝ a2＋ b2，z∴ a2＋ b2＋2i( a＋ bi)＝8＋6i，即 a2＋ b2－2 b＋2 ai＝8＋6i，∴Error!，解得Error! ，∴ a＋ b＝4，- 4 -∴复数 z 的实部与虚部的和是 4.1．设复数 z 满足 iz＝1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )A．－i B．i C．－1 D．1答案 A解析 z＝ ＝－i.1i2．已知集合 M＝{1,2， zi}，i 为虚数单位， N＝{3,4}， M∩ N＝{4}，则复数 z 等于( )A．－2i B．2iC．－4i D．4i答案 C解析 由 M∩ N＝{4}得 zi＝4， z＝ ＝－4i.4i3．复数 等于( )i－ 21＋ 2iA．i B．－iC．－ － i D．－ ＋ i45 35 45 35答案 A4．复数 z＝ (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2－ i2＋ iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析 因为 z＝ ＝ ＝ ，2－ i2＋ i 2－ i25 3－ 4i5故复数 z 对应的点在第四象限，选 D.[呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．- 5 -2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．一、基础过关1．复数－i＋ 等于( )1iA．－2i B. i12C．0 D．2i答案 A解析 －i＋ ＝－i－ ＝－2i，选 A.1i i2i2．i 为虚数单位， ＋ ＋ ＋ 等于( )1i 1i3 1i5 1i7A．0 B．2iC．－2i D．4i答案 A解析 ＝－i， ＝i， ＝－i， ＝i，1i 1i3 1i5 1i7∴ ＋ ＋ ＋ ＝0.1i 1i3 1i5 1i73．若 a， b∈R，i 为虚数单位，且( a＋i)i＝ b＋i，则( )A． a＝1， b＝1 B． a＝－1， b＝1C． a＝－1， b＝－1 D． a＝1， b＝－1答案 D解析 ∵( a＋i)i＝－1＋ ai＝ b＋i，∴Error!.4．在复平面内，复数 ＋(1＋ i)2对应的点位于( )i1＋ i 3A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B- 6 -解析 ＋(1＋ i)2＝ ＋ i＋(－2＋2 i)i1＋ i 3 12 12 3＝－ ＋(2 ＋ )i，32 3 12对应点(－ ，2 ＋ )在第二象限．32 3 125．设复数 z 的共轭复数是 ，若复数 z1＝3＋4i， z2＝ t＋i，且 z1· 是实数，则实数 t 等z z2于( )A. B.34 43C．－ D．－43 34答案 A解析 ∵ z2＝ t＋i，∴ ＝ t－i.z2z1· ＝(3＋4i)( t－i)＝3 t＋4＋(4 t－3)i，z2又∵ z1· ∈R，∴4 t－3＝0，z2∴ t＝ .346．若 z＝ ，则复数 等于( )1＋ 2ii zA．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i答案 D解析 z＝ ＝2－i，∴ ＝2＋i.1＋ 2ii z7．计算：(1) ＋( )2 010；2＋ 2i1－ i2 21＋ i(2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1) ＋( )2 010＝ ＋( ) 1 0052＋ 2i1－ i2 21＋ i 2＋ 2i－ 2i 22i＝i(1＋i)＋( )1 005＝－1＋i＋(－i) 1 0051i＝－1＋i－i＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i＋25－25i＝47－39i.二、能力提升8．设复数 z 满足(1－i) z＝2i，则 z 等于( )- 7 -A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i答案 A解析 由已知得 z＝ ＝ ＝－1＋i.2i1－ i 2i1＋ i1－ i1＋ i9.复数 z 满足( z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )zA．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i答案 D解析 由( z－3)(2－i)＝5 得， z－3＝ ＝2＋i，52－ i∴ z＝5＋i，∴ ＝5－i.z10．设复数 i 满足 i(z＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则 z 的实部是________．答案 1解析 由 i(z＋1)＝－3＋2i 得到 z＝ －1＝2＋3i－1＝1＋3i.－ 3＋ 2ii11．已知复数 z 满足(1＋2i) z＝4＋3i，求 z 及 .zz解 因为(1＋2i) z＝4＋3i，所以 z＝ ＝ ＝2－i，故 ＝2＋i.4＋ 3i1＋ 2i 4＋ 3i1－ 2i5 z所以 ＝ ＝ ＝ ＝ － i.zz 2－ i2＋ i 2－ i25 3－ 4i5 35 4512.已知复数 z 的共轭复数为 ，且 z· －3i z＝ ，求 z.z z101－ 3i解 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＝ a－ bi.z又 z· －3i z＝ ，z101－ 3i∴ a2＋ b2－3i( a＋ bi)＝ ，101＋ 3i10∴ a2＋ b2＋3 b－3 ai＝1＋3i，∴Error!∴Error!或Error!.∴ z＝－1，或 z＝－1－3i.三、探究与拓展- 8 -13.已知 1＋i 是方程 x2＋ bx＋ c＝0 的一个根( b、 c 为实数)．(1)求 b， c 的值；(2)试说明 1－i 也是方程的根吗？解 (1)因为 1＋i 是方程 x2＋ bx＋ c＝0 的根，∴(1＋i) 2＋ b(1＋i)＋ c＝0，即( b＋ c)＋(2＋ b)i＝0.∴Error!，得Error!.∴ b、 c 的值为 b＝－2， c＝2.(2)方程为 x2－2 x＋2＝0.把 1－i 代入方程左边得(1－i) 2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．- 1 -3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义明目标、知重点 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，则 z1＋ z2＝( a＋ c)＋( b＋ d)i， z1－ z2＝( a－ c)＋( b－ d)i.(2)对任意 z1， z2， z3∈C，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，(z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．2．复数加减法的几何意义如图：设复数 z1， z2对应向量分别为 1， 2，四边形 OZ1ZZ2为平行四边形，则与 z1＋ z2对OZ→ OZ→ 应的向量是 ，与 z1－ z2对应的向量是 .OZ→ Z2Z1→ [情境导学]我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di 是任意两个复数，那么(a＋ bi)＋( c＋ di)＝( a＋ c)＋( b＋ d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考 2 当 b＝0， d＝0 时，与实数加法法则一致吗？答 一致．思考 3 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．思考 4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．答 满足，对任意的 z1， z2， z3∈C，有交换律： z1＋ z2＝ z2＋ z1.- 2 -结合律：( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．证明：设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di， z1＋ z2＝( a＋ c)＋( b＋ d)i， z2＋ z1＝( c＋ a)＋( d＋ b)i，显然， z1＋ z2＝ z2＋ z1，同理可得( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．思考 5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．答 ( a＋ bi)－( c＋ di)＝( a－ c)＋( b－ d)i.例 1 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)1＋(i＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练 1 计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2 bi)－(3 a－4 bi)－5i( a， b∈R)．解 (1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2 a＋6 bi－5i＝－2 a＋(6 b－5)i.探究点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设 ， 分别与复数 a＋ bi， c＋ di 对应，OZ1→ OZ2→ 则有 ＝( a， b)， ＝( c， d)，OZ1→ OZ2→ 由向量加法的几何意义 ＋ ＝( a＋ c， b＋ d)，OZ1→ OZ2→ - 3 -所以 ＋ 与复数( a＋ c)＋( b＋ d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．OZ1→ OZ2→ 思考 2 怎样作出与复数 z1－ z2对应的向量？答 z1－ z2可以看作 z1＋(－ z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1－ z2对应的向量(如图)．图中 对应复数 z1，OZ1→ 对应复数 z2，则 对应复数 z1－ z2.OZ2→ Z2Z1→ 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求：(1) 表示的复数；AO→ (2)对角线 表示的复数；CA→ (3)对角线 表示的复数．OB→ 解 (1)因为 ＝－ ，所以 表示的复数为－3－2i.AO→ OA→ AO→ (2)因为 ＝ － ，所以对角线 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.CA→ OA→ OC→ CA→ (3)因为对角线 ＝ ＋ ，所以对角线 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.OB→ OA→ OC→ OB→ 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪训练 2 复数 z1＝1＋2i， z2＝－2＋i， z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数 z1， z2， z3在复平面内所对应的点分别为 A， B， C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x＋ yi(x， y∈R)，如图．- 4 -则 ＝ － ＝( x＋ yi)－(1＋2i)＝( x－1)＋( y－2)i，AD→ OD→ OA→ ＝ － ＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.BC→ OC→ OB→ ∵ ＝ ，AD→ BC→ ∴( x－1)＋( y－2)i＝1－3i.∴Error!，解得Error!，故点 D 对应的复数为 2－i.探究点三 复数加减法的综合应用例 3 已知| z1|＝| z2|＝| z1－ z2|＝1，求| z1＋ z2|.解 方法一 设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)，∵| z1|＝| z2|＝| z1－ z2|＝1，∴ a2＋ b2＝ c2＋ d2＝1，①(a－ c)2＋( b－ d)2＝1②由①②得 2ac＋2 bd＝1，∴| z1＋ z2|＝ a＋ c2＋ b＋ d2＝ ＝ .a2＋ c2＋ b2＋ d2＋ 2ac＋ 2bd 3方法二 设 O 为坐标原点，z1， z2， z1＋ z2对应的点分别为 A， B， C.∵| z1|＝| z2|＝| z1－ z2|＝1，∴△ OAB 是边长为 1 的正三角形，∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且| z1＋ z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，∴| z1＋ z2|＝| |OC→ ＝ ＝ .|OA→ |2＋ |AC→ |2－ 2|OA→ ||AC→ |cos 120° 3反思与感悟 (1)设出复数 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x， y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．(2)在复平面内， z1， z2对应的点为 A， B， z1＋ z2对应的点为 C， O 为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为矩形；③若| z1|＝| z2|，则四边形 OACB 为菱形；④若| z1|＝| z2|且| z1＋ z2|＝| z1－ z2|，则四边形 OACB 为正方形．跟踪训练 3 本例中，若条件变成| z1|＝| z2|＝1，| z1＋ z2|＝ .求| z1－ z2|.2- 5 -解 由| z1|＝| z2|＝1，| z1＋ z2|＝ ，2知 z1， z2， z1＋ z2对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个顶点，所求| z1－ z2|是这个正方形的一条对角线长，所以| z1－ z2|＝ .21．复数 z1＝2－ i， z2＝ －2i，则 z1＋ z2等于( )12 12A．0 B. ＋ i32 52C. － i D. － i52 52 52 32答案 C解析 z1＋ z2＝(2＋ )－( ＋2)i＝ － i.12 12 52 522．若 z＋3－2i＝4＋i，则 z 等于( )A．1＋i B．1＋3iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.3．在复平面内， O 是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则 表示的OA→ OC→ AB→ BC→ 复数为( )A．2＋8i B．－6－6iC．4－4i D．－4＋2i答案 C解析 ＝ － ＝ －( ＋ )＝4－4i.BC→ OC→ OB→ OC→ AB→ OA→ 4．若| z－1|＝| z＋1|，则复数 z 对应的点在( )A．实轴上 B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限答案 B解析 ∵| z－1|＝| z＋1|，∴点 Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数 z1＝( a2－2)＋( a－4)i， z2＝ a－( a2－2)i( a∈R)，且 z1－ z2为纯虚数，则- 6 -a＝________.答案 －1解析 z1－ z2＝( a2－ a－2)＋( a－4＋ a2－2)i( a∈R)为纯虚数，∴Error!，解得 a＝－1.[呈重点、现规律]1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、基础过关1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z 等于( )A．0 B．2i C．6 D．6－2i答案 D解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.2．复数 i＋i 2在复平面内表示的点在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析 i＋i 2＝－1＋i，对应的点在第二象限．3．复数 z1＝3＋i， z2＝－1－i，则 z1－ z2等于( )A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i答案 C4．设 z1＝2＋ bi， z2＝ a＋i，当 z1＋ z2＝0 时，复数 a＋ bi 为( )A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i答案 D解析 由Error!得Error! ，∴ a＋ bi＝－2－i.- 7 -5．已知| z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z 等于( )A．－3i B．3i C．±3i D．4i答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a、 b∈R)，则 z＋3i＝ a＋ bi＋3i＝ a＋( b＋3)i 为纯虚数，∴ a＝0， b＋3≠0，又| b|＝3，∴ b＝3， z＝3i.6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i＝－1 005＋1 005i.7．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；(2)( ＋ i)＋(2－i)－( － i)．13 12 43 32(3)已知 z1＝2＋3i， z2＝－1＋2i，求 z1＋ z2， z1－ z2.解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.(2)( ＋ i)＋(2－i)－( － i)13 12 43 32＝ ＋ i＋2－i－ ＋ i13 12 43 32＝( ＋2－ )＋( －1＋ )i＝1＋i.13 43 12 32(3)z1＋ z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－ z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.二、能力提升8．如果一个复数与它的模的和为 5＋ i，那么这个复数是________．3答案 ＋ i115 3解析 设这个复数为 x＋ yi(x， y∈R)∴ x＋ yi＋ ＝5＋ i，x2＋ y2 3∴Error!，∴Error!，∴ x＋ yi＝ ＋ i.115 39.若| z－2|＝| z＋2|，则| z－1|的最小值是________．- 8 -答案 1解析 由| z－2|＝| z＋2|，知 z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z－1|表示 z 对应的点与(1,0)的距离．∴| z－1| min＝1.10.设 m∈R，复数 z1＝ ＋( m－15)i， z2＝－2＋ m(m－3)i，若 z1＋ z2是虚数，求 m 的取m2＋ mm＋ 2值范围．解 ∵ z1＝ ＋( m－15)i， z2＝－2＋ m(m－3)i，m2＋ mm＋ 2∴ z1＋ z2＝ ＋[( m－15)＋ m(m－3)]i(m2＋ mm＋ 2－ 2)＝ ＋( m2－2 m－15)i.m2－ m－ 4m＋ 2∵ z1＋ z2为虚数，∴ m2－2 m－15≠0 且 m≠－2，解得 m≠5， m≠－3 且 m≠－2( m∈R)．11．复平面内有 A， B， C 三点，点 A 对应的复数是 2＋i，向量 对应的复数是 1＋2i，向量BA→ 对应的复数是 3－i，求 C 点在复平面内的坐标．BC→ 解 ∵ ＝ － ，AC→ BC→ BA→ ∴ 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，AC→ 设 C(x， y)，则( x＋ yi)－(2＋i)＝2－3i，∴ x＋ yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，故 x＝4， y＝－2.∴ C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12.已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A， B， C 三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点 D 对应的复数．解 方法一 设 D 点对应的复数为 x＋ yi (x， y∈R)，则 D(x， y)，又由已知 A(1,3)， B(0，－1)， C(2,1)．∴ AC 中点为 ， BD 中点为 .(32， 2) (x2， y－ 12 )∵平行四边形对角线互相平分，∴Error!，∴Error!.即点 D 对应的复数为 3＋5i.方法二 设 D 点对应的复数为 x＋ yi (x， y∈R)．则 对应的复数为( x＋ yi)－(1＋3i)AD→ ＝( x－1)＋( y－3)i，又 对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，BC→ - 9 -由于 ＝ .∴( x－1)＋( y－3)i＝2＋2i.AD→ BC→ ∴Error!，∴Error!.即点 D 对应的复数为 3＋5i.三、探究与拓展13.在复平面内 A， B， C 三点对应的复数分别为 1,2＋i，－1＋2i.(1)求 ， ， 对应的复数；AB→ BC→ AC→ (2)判断△ ABC 的形状；(3)求△ ABC 的面积．解 (1) 对应的复数为 2＋i－1＝1＋i，AB→ 对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，BC→ 对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i，AC→ (2)∵| |＝ ，| |＝ ，| |＝ ＝2 ，AB→ 2 BC→ 10 AC→ 8 2∴| |2＋| |2＝| |2，∴△ ABC 为直角三角形．AB→ AC→ BC→ (3)S△ ABC＝ × ×2 ＝2.12 2 2