1、- 1 -第三章 数系的扩充与复数的引入章末课时作业 新人教 A 版选修 1-2题型一 分类讨论思想的应用例 1 实数 k 为何值时，复数(1i) k2(35i) k2(23i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数- 2 -解 (1i) k2(35i) k2(23i)( k23 k4)( k25 k6)i.(1)当 k25 k60，即 k6 或 k1 时，该复数为实数(2)当 k25 k60，即 k6 且 k1 时，该复数为虚数(3)当Error!即 k4 时，该复数为纯虚数反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚
2、数、纯虚数当 x yi 没有说明 x， yR 时，也要分情况讨论跟踪训练 1 (1)若复数( a2 a2)(| a1|1)i( aR)不是纯虚数，则( )A a1 B a1 且 a2C a1 D a2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数当 a2 a20 时，已知的复数一定不是纯虚数，解得 a1 且 a2；当 a2 a20 且| a1|10 时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得 a2.综上所述，当 a1 时，已知的复数不是一个纯虚数(2)实数 x 取什么值时，复数 z( x2 x6)( x22 x15)i 是：实数；虚数；纯虚数；零解 当 x22 x150，即 x3
3、 或 x5 时，复数 z 为实数；当 x22 x150，即 x3 且 x5 时，复数 z 为虚数；当 x2 x60 且 x22 x150，即 x2 时，复数 z 是纯虚数；当 x2 x60 且 x22 x150，即 x3 时，复数 z 为零题型二 数形结合思想的应用例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、 B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i， OA BC.求顶点 C 所对应的复数 z.- 3 -解 设 z x yi， x， yR，如图 OA BC，|OC| BA|， kOA kBC，|zC| zB zA|，即Error!解得Error!或Error!.| OA| BC|， x23
4、， y24(舍去)，故 z5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等跟踪训练 2 已知复数 z1i(1i) 3.(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解 (1)| z1|i(1i) 3|i|1i| 32 .2(2)如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1|的最大
5、值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知| z z1|max| z1| r(r 为圆半径)2 1.2题型三 转化与化归思想的应用- 4 -例 3 已知 z 是复数， z2i， 均为实数，且( z ai)2的对应点在第一象限，求实数 a 的z2 i取值范围解 设 z x yi(x， yR)，则 z2i x( y2)i 为实数， y2.又 (x2i)(2i)z2 i x 2i2 i 15 (2x2) (x4)i 为实数，15 15 x4. z42i，又( z ai)2(42i ai)2(124 a a2)8( a2)i 在第一象限Error!，解得 2a6.实数 a 的取值范围
6、是(2,6)反思与感悟 在求复数时，常设复数 z x yi(x， yR)，把复数 z 满足的条件转化为实数x， y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要跟踪训练 3 已知 x， y 为共轭复数，且( x y)23 xyi46i，求 x， y.解 设 x a bi(a， bR)，则 y a bi.又( x y)23 xyi46i，4 a23( a2 b2)i46i，Error!Error!或Error!或Error!或Error!Error!或Error!或Error!或Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，
7、而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意 i21.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k1，i 4k1 i，i 4k2 1，i4k3 i( kZ)；- 5 -(2)(1i)22i；(3)设 i，12 32则 31， 2 ，1 20， 2， 3n1， 3n1 ( N *)等；1(4)( i)31；12 32(5)作复数除法运算时，有如下技巧： i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化a bib ai a biib aii a biia bi例 4 计算：(1)(1i)( i)(1i)；12 32(2) ( )2 006. 23 i1 23i 21 i解 (
8、1)方法一 (1i)( i)(1i)12 32( i i i2)(1i)12 32 12 32( i)(1i)3 12 3 12 i i i23 12 3 12 3 12 3 121 i.3方法二 原式(1i)(1i)( i)12 32(1i 2)( i)12 322( i)12 321 i.3(2) ( )2 006 23 i1 23i 21 i 23 ii1 23ii 21 003 2i1 003 23 iii 23 1i1 003- 6 -i ii0.1 i反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法跟踪训练 4 计算： .2
9、i1 i21 2i 1 i 1 i2i5 1 i2 0111 i解 2 i1 i21 2i 1 i 1 i2i5 1 i2 0111 i 2 i 2i1 2i 1 i 2ii 1 i1 i 2 4i1 2i 1 3ii 1 i222(i3)i12i.- 1 -第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数课时作业 新人教 A 版选修 1-2明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义1复数的四则运算，若两个复数 z1 a1 b1i， z2 a2 b2i(a1， b1， a2， b2R)(1)加法： z1 z2( a1 a2)( b1
10、b2)i；(2)减法： z1 z2( a1 a2)( b1 b2)i；(3)乘法： z1z2( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)i；(4)除法： i(z20)；z1z2 a1a2 b1b2a2 b2 a2b1 a1b2a2 b2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n(n 为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若 i，则 31,1 20.12 322共轭复数与复数的模(1)若 z a bi，则 a bi， z 为实数， z 为纯虚数( b0)z z z(2)复数 z a bi 的模，| z| ，a2 b2且 z | z|2 a2
11、b2.z3复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义- 2 -若复数 z1、 z2对应的向量 、 不共线，则复数 z1 z2是以 、 为两邻边的平行四边OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 形的对角线 所对应的复数OZ (2)复数减法的几何意义复数 z1 z2是连接向量 、 的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数OZ1 OZ2 题型一 复数的四则运算例 1 (1)计算： 2 012 23 i1 23i ( 21 i)；4 8i2 4 8i211 7i(2)已知 z1i，求 的模z2 3z 6z 1解 (1)原式 1 006i1 23i1 23i ( 21 i)24 8i 8i 44 8i 4 8
12、i11 7ii(i) 1 00601i.(2) 1i，z2 3z 6z 1 1 i2 31 i 62 i 3 i2 i 的模为 .z2 3z 6z 1 2反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到( a bi)(c di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化跟踪训练 1 (1)已知 2i，则复数 z 等于( )z1 iA13i B13iC3i D3i答案 B解析 方法一 2i，z1 i (1i)(2i)23i113i，z z13i.方法二 设 z a bi(a， bR)，- 3 - a bi，z 2i，Error!， z13i.a bi1 i(2)i 为虚数单位，则 2
13、 011等于( )(1 i1 i)Ai B1 Ci D1答案 A解析 因为 i，1 i1 i 1 i21 i2所以 2 011i 2 011i 45023 i 3i，故选 A.(1 i1 i)题型二 复数的几何意义例 2 已知点集 D z|z1 i|1， zC，试求| z|的最小值和最大值3解 点集 D 的图象为以点 C(1， )为圆心，1 为半径的圆，圆上任一点 P 对应的复数为 z，则| | z|.3 OP 由图知，当 OP 过圆心 C(1， )时，与圆交于点 A、 B，则| z|的最小值是3|OA| OC|1 1211，即| z|min1； 12 32|z|的最大值是| OB| OC|1
14、213，即| z|max3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：| z1 z2|表示复数 z1， z2对应的两点 Z1， Z2之间的距离跟踪训练 2 已知复数 z1， z2满足| z1|3，| z2|5，| z1 z2| ，求| z1 z2|的值10解 如图所示，设 z1， z2对应点分别为 A， B，以 ， 为邻边作 OACB，则 对应的复数为OA OB OC z1 z2.这里| |3，| |5，| | .OA OB BA 10- 4 -cos AOB|OA |2 |OB |2 |BA |22|OA |OB | .3
15、2 52 10235 45cos OBC .45又| | |3，BC OA | z1 z2| |OC |OB |2 |BC |2 2|OB |BC |cos OBC .58题型三 两个复数相等例 3 设复数 z 和它的共轭复数 满足 4z2 3 i，求复数 z.z z 3解 设 z a bi(a， bR)因为 4z2 3 i，z 3所以 2z(2 z2 )3 i.z 32z2 2( a bi)2( a bi)4 a，z整体代入上式，得 2z4 a3 i.3所以 z .33 4a2 i2根据复数相等的充要条件，得Error!解得Error!所以 z .32 i2反思与感悟 两个复数相等是解决复数
16、问题的重要工具 “复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题跟踪训练 3 关于 x 的方程 x2(32i) x3 ai0 有非零实根，求实数 a 的值及方程的实数根解 设方程的实数根为 b(b0)，代入方程 x2(32i) x3 ai0，化为 b23 b(2 b3 a)i0.所以Error!已知 b0，解得 b3， a2.故实数 a 的值及方程的实数根分别为 2 和3.- 5 -1若 zC，且| z22i|1，则| z22i|的最小值是( )A2 B3 C4 D5答案 B2已知复数 z1 ，则 1 z z2 z2 014为( )2i1 iA1i
17、B1iCi D1答案 C3设复数 z 满足关系： z| |2i，那么 z 等于( )zA i B. i34 34C i D. i34 34答案 B解析 设 z a bi(a， bR)，由已知 a bi 2ia2 b2由复数相等可得Error!，Error!，故 z i.344已知 z112i， z2 m( m1)i，且两复数的乘积 z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数 m 的值为_答案 34解析 z1z2(12i) m( m1)i m2( m1)2 m( m1)i(2 m)(3 m1)i，所以 2 m3 m1，即 m ，且能使 2 m3 m10，满足题意345设复数 z1i，且 1i，求实
18、数 a， b 的值z2 az bz2 z 1解 因为 z1i，所以 z2 az b( a2)i a b， z2 z1i，所以 z2 az bz2 z 1( a2)( a b)i.a b a 2ii又 1i.z2 az bz2 z 1- 6 -所以Error!解得Error!呈重点、现规律1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题一、基础过关1复数 的虚部是( )1 2 i 11 2iA. i B. 15 15C i D15 15答案 B解析 i.故
19、选 B.1 2 i 11 2i 2 i5 1 2i5 15 152复数 的共轭复数是( )2 i1 2iA i B. i35 35Ci Di答案 C3若( m25 m4)( m22 m)i0，则实数 m 的值为( )A1 B0 或 2 C2 D0答案 D解析 由Error!，得 m0.4设 a， bR 且 b0，若复数( a bi)3是实数，则( )A b23 a2 B a23 b2C b29 a2 D a29 b2答案 A解析 若( a bi)3( a33 ab2)(3 a2b b3)i 是实数，则 3a2b b30.由 b0，得 b23 a2.故选 A.- 7 -5设 i 是虚数单位，复数
20、 为纯虚数，则实数 a 为( )1 ai2 iA2 B2C D.12 12答案 A解析 设 bi(bR 且 b0)，则 1 ai bi(2i) b2 bi，1 ai2 i所以 b1， a2.故选 A.6复平面内点 A、 B、 C 对应的复数分别为 i、1、42i，由 A B C D 按逆时针顺序作平行四边形 ABCD，则| |等于( )BD A5 B. 13C. D.15 17答案 B解析 设 D 点对应复数为 z， ，AB DC 1i z(42i)， z33i， 对应的复数为 23i，| | .BD BD 137已知 aR，则 z( a22 a4)( a22 a2)i 所对应的点在第几象限？
21、复数 z 对应的点的轨迹是什么？解 由 a22 a4( a1) 233，( a22 a2)( a1) 211，复数 z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数 z 的对应点在第四象限设z x yi(x、 yR)，则Error!消去 a22 a 得： y x2( x3)复数 z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为 y x2( x3)二、能力提升8在复平面内，复数(2i) 2对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 (2i) 244ii 234i，对应点坐标(3，4)，位于第四象限9.设 i 是虚数单位. 是复数 z 的共轭复数若 z i22 z，则 z 等于( )z
22、 zA1i B1i C1i D1i答案 A- 8 -解析 设 z a bi， a， bR代入 z i22 z，整理得：( a2 b2)i22 a2 biz则Error!解得Error!因此 z1i.10已知复数 z ，其中 i 是虚数单位，则| z|_.2 i1 i答案 10211已知复数 z (i 是虚数单位)，则| z|_.5i1 2i答案 5解析 | z| .|5i1 2i| |5i|1 2i| 55 512设复数 z ，若 z2 az b1i，求实数 a， b 的值1 i2 31 i2 i解 z 1 i2 31 i2 i 2i 3 3i2 i 3 i2 i 1i.3 i2 i5因为 z
23、2 az b1i，所以(1i) 2 a(1i) b1i.所以( a b)( a2)i1i.所以Error!解得 a3， b4.即实数 a， b 的值分别是3,4.13.在复平面内， O 是原点，向量 对应的复数是 2i.OA (1)如果点 A 关于实轴的对称点为 B，求向量 对应的复数；OB (2)如果(1)中点 B 关于虚轴的对称点为 C，求点 C 对应的复数解 (1)设所求向量 对应的复数为 z1 a bi(a， bR)，则点 B 的坐标为( a， b)OB 已知 A(2,1)，由对称性可知 a2， b1.所以 对应的复数为 z12i.OB (2)设所求点 C 对应的复数为 z2 c di
24、(c， dR)，则 C(c， d)由(1)，得 B(2，1)由对称性可知， c2， d1.故点 C 对应的复数为 z22i.- 9 -三、探究与拓展14.是否存在复数 z，使其满足 z2i 3 ai？如果存在，求实数 a 的取值范围；如果不z z存在，请说明理由解 设 z x yi(x， yR)，则原条件等式可化为 x2 y22i( x yi)3 ai.由复数相等的充要条件，得Error!消去 x，得 y22 y 30.a24所以当 44 16 a20，(a24 3)即4 a4 时，复数 z 存在故存在满足条件的复数 z，且实数 a 的取值范围为4 a4.- 1 -3.2.2 复数代数形式的乘
25、除运算明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念1复数的乘法法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.2复数乘法的运算律对任意复数 z1、 z2、 z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律(z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数， z 的共轭复数用 表示即 z a bi，则 a
26、bi.z z4复数的除法法则设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，则 i.z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一 复数乘除法的运算思考 1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可- 2 -思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1.例 1 计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(
27、34i)(34i)；(3)(1i) 2.解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)3 2(4i) 29(16)25；(3)(1i) 212ii 22i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪训练 1 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i) 2.解 (1)(2i)(2i)4i 24(1)5；(2)(12i) 214i(2i) 214i4i 234i.思考 3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时
28、乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)例 2 计算：(1) ；4 3i4 3i 4 3i4 3i(2)( )6 .1 i1 i 2 3i3 2i解 (1)原式 ；4 3i24 3i4 3i 4 3i24 3i4 3i 16 9 24i42 32 16 9 24i42 32 7 24i25 7 24i25 1425(2)方法一 原式 61 i22 2 3i3 2i32 22i 6 1 i.6 2i 3i 65方法二 (技巧解法)原式 61 i22 2 3ii3 2iii 6 1i.2 3ii2 3i反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数- 3 -跟踪训练 2 计
29、算：(1) ；(2) .7 i3 4i 1 i2 i i解 (1) 1i.7 i3 4i 7 i3 4i3 4i3 4i 25 25i25(2) 13i. 1 i2 i i 3 i i 3 ii ii探究点二 共轭复数及其应用思考 1 像 34i 和 34i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数为 .虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数z思考 2 复数 a bi 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数 a bi 的共轭复数可表示为 a bi
30、，由于 (a bi)(a bi) a2 b2 ，所以两个共轭复数之积为实数思考 3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即 z zR，利用这个性质可证明一个复数为实数z(3)若 z0 且 z 0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数z思考 4 z 与| z|2和| |2有什么关系？z z答 z | z|2| |2.z z例 3 已知复数 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi 且| z| 1，即 a2 b21
31、.z a2 b2因为(34i) z(34i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i，而(34i) z 是纯虚数，所以 3a4 b0，且 3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z45 35 z 45 35反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪训练 3 已知复数 z 满足： z 2i z86i，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 z a bi(a， bR)，则 z a2 b2，z a2 b22i( a bi)86i，即 a2 b22 b2 ai86i，Error!，解得Error! ， a b4，- 4 -复数 z
32、 的实部与虚部的和是 4.1设复数 z 满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则 z 等于( )Ai Bi C1 D1答案 A解析 z i.1i2已知集合 M1,2， zi，i 为虚数单位， N3,4， M N4，则复数 z 等于( )A2i B2iC4i D4i答案 C解析 由 M N4得 zi4， z 4i.4i3复数 等于( )i 21 2iAi BiC i D i45 35 45 35答案 A4复数 z (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2 i2 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 因为 z ，2 i2 i 2 i25 3 4i5故复数 z 对应
33、的点在第四象限，选 D.呈重点、现规律1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化- 5 -2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z a bi(a， bR)，利用复数相等的充要条件转化一、基础过关1复数i 等于( )1iA2i B. i12C0 D2i答案 A解析 i i 2i，选 A.1i i2i
34、2i 为虚数单位， 等于( )1i 1i3 1i5 1i7A0 B2iC2i D4i答案 A解析 i， i， i， i，1i 1i3 1i5 1i7 0.1i 1i3 1i5 1i73若 a， bR，i 为虚数单位，且( ai)i bi，则( )A a1， b1 B a1， b1C a1， b1 D a1， b1答案 D解析 ( ai)i1 ai bi，Error!.4在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于( )i1 i 3A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B- 6 -解析 (1 i)2 i(22 i)i1 i 3 12 12 3 (2 )i，32 3 12对应点( ，2
35、)在第二象限32 3 125设复数 z 的共轭复数是 ，若复数 z134i， z2 ti，且 z1 是实数，则实数 t 等z z2于( )A. B.34 43C D43 34答案 A解析 z2 ti， ti.z2z1 (34i)( ti)3 t4(4 t3)i，z2又 z1 R，4 t30，z2 t .346若 z ，则复数 等于( )1 2ii zA2i B2iC2i D2i答案 D解析 z 2i， 2i.1 2ii z7计算：(1) ( )2 010；2 2i1 i2 21 i(2)(4i 5)(62i 7)(7i 11)(43i)解 (1) ( )2 010 ( ) 1 0052 2i1
36、 i2 21 i 2 2i 2i 22ii(1i)( )1 0051i(i) 1 0051i1ii1.(2)原式(4i)(62i)(7i)(43i)2214i2525i4739i.二、能力提升8设复数 z 满足(1i) z2i，则 z 等于( )- 7 -A1i B1iC1i D1i答案 A解析 由已知得 z 1i.2i1 i 2i1 i1 i1 i9.复数 z 满足( z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )zA2i B2iC5i D5i答案 D解析 由( z3)(2i)5 得， z3 2i，52 i z5i， 5i.z10设复数 i 满足 i(z1)32i(i 为虚
37、数单位)，则 z 的实部是_答案 1解析 由 i(z1)32i 得到 z 123i113i. 3 2ii11已知复数 z 满足(12i) z43i，求 z 及 .zz解 因为(12i) z43i，所以 z 2i，故 2i.4 3i1 2i 4 3i1 2i5 z所以 i.zz 2 i2 i 2 i25 3 4i5 35 4512.已知复数 z 的共轭复数为 ，且 z 3i z ，求 z.z z101 3i解 z a bi(a， bR)，则 a bi.z又 z 3i z ，z101 3i a2 b23i( a bi) ，101 3i10 a2 b23 b3 ai13i，Error!Error!或
38、Error!. z1，或 z13i.三、探究与拓展- 8 -13.已知 1i 是方程 x2 bx c0 的一个根( b、 c 为实数)(1)求 b， c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解 (1)因为 1i 是方程 x2 bx c0 的根，(1i) 2 b(1i) c0，即( b c)(2 b)i0.Error!，得Error!. b、 c 的值为 b2， c2.(2)方程为 x22 x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根- 1 -3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义明目标、知重点 1.熟练掌握复数的代数形式的加减
39、法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，则 z1 z2( a c)( b d)i， z1 z2( a c)( b d)i.(2)对任意 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，(z1 z2) z3 z1( z2 z3)2复数加减法的几何意义如图：设复数 z1， z2对应向量分别为 1， 2，四边形 OZ1ZZ2为平行四边形，则与 z1 z2对OZ OZ 应的向量是 ，与 z1 z2对应的向量是 .OZ Z2Z1 情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算
40、？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，那么(a bi)( c di)( a c)( b d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考 2 当 b0， d0 时，与实数加法法则一致吗？答 一致思考 3 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考 4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答 满足，对
41、任意的 z1， z2， z3C，有交换律： z1 z2 z2 z1.- 2 -结合律：( z1 z2) z3 z1( z2 z3)证明：设 z1 a bi， z2 c di， z1 z2( a c)( b d)i， z2 z1( c a)( d b)i，显然， z1 z2 z2 z1，同理可得( z1 z2) z3 z1( z2 z3)思考 5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答 ( a bi)( c di)( a c)( b d)i.例 1 计算：(1)(12i)(2i)(2i)(12i)；(2)1(ii 2)(12i)(12i)解 (1)原式(1221)(2112)i2.(2)
42、原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练 1 计算：(1)2i(32i)3(13i)；(2)(a2 bi)(3 a4 bi)5i( a， bR)解 (1)原式2i(32i39i)2i11i9i.(2)原式2 a6 bi5i2 a(6 b5)i.探究点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设 ， 分别与复数 a bi， c di 对应，OZ1
43、OZ2 则有 ( a， b)， ( c， d)，OZ1 OZ2 由向量加法的几何意义 ( a c， b d)，OZ1 OZ2 - 3 -所以 与复数( a c)( b d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1 OZ2 思考 2 怎样作出与复数 z1 z2对应的向量？答 z1 z2可以看作 z1( z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1 z2对应的向量(如图)图中 对应复数 z1，OZ1 对应复数 z2，则 对应复数 z1 z2.OZ2 Z2Z1 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O， A， C 分别表示 0,3
44、2i，24i.求：(1) 表示的复数；AO (2)对角线 表示的复数；CA (3)对角线 表示的复数OB 解 (1)因为 ，所以 表示的复数为32i.AO OA AO (2)因为 ，所以对角线 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA OA OC CA (3)因为对角线 ，所以对角线 表示的复数为(32i)(24i)16i.OB OA OC OB 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练 2 复数 z112i， z22i， z312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解 设复数 z1， z2，
45、z3在复平面内所对应的点分别为 A， B， C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x yi(x， yR)，如图- 4 -则 ( x yi)(12i)( x1)( y2)i，AD OD OA (12i)(2i)13i.BC OC OB ，AD BC ( x1)( y2)i13i.Error!，解得Error!，故点 D 对应的复数为 2i.探究点三 复数加减法的综合应用例 3 已知| z1| z2| z1 z2|1，求| z1 z2|.解 方法一 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，| z1| z2| z1 z2|1， a2 b2 c2 d21，(a c)2( b
46、 d)21由得 2ac2 bd1，| z1 z2| a c2 b d2 .a2 c2 b2 d2 2ac 2bd 3方法二 设 O 为坐标原点，z1， z2， z1 z2对应的点分别为 A， B， C.| z1| z2| z1 z2|1， OAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且| z1 z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，| z1 z2| |OC .|OA |2 |AC |2 2|OA |AC |cos 120 3反思与感悟 (1)设出复数 z x yi(x， yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x， y 满足的关系式，利用
47、方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用(2)在复平面内， z1， z2对应的点为 A， B， z1 z2对应的点为 C， O 为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为矩形；若| z1| z2|，则四边形 OACB 为菱形；若| z1| z2|且| z1 z2| z1 z2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪训练 3 本例中，若条件变成| z1| z2|1，| z1 z2| .求| z1 z2|.2- 5 -解 由| z1| z2|1，| z1 z2| ，2知 z1， z2， z1 z2对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个
48、顶点，所求| z1 z2|是这个正方形的一条对角线长，所以| z1 z2| .21复数 z12 i， z2 2i，则 z1 z2等于( )12 12A0 B. i32 52C. i D. i52 52 52 32答案 C解析 z1 z2(2 )( 2)i i.12 12 52 522若 z32i4i，则 z 等于( )A1i B13iC1i D13i答案 B解析 z4i(32i)13i.3在复平面内， O 是原点， ， ， 表示的复数分别为2i，32i,15i，则 表示的OA OC AB BC 复数为( )A28i B66iC44i D42i答案 C解析 ( )44i.BC OC OB OC
49、AB OA 4若| z1| z1|，则复数 z 对应的点在( )A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限答案 B解析 | z1| z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数 z1( a22)( a4)i， z2 a( a22)i( aR)，且 z1 z2为纯虚数，则- 6 -a_.答案 1解析 z1 z2( a2 a2)( a4 a22)i( aR)为纯虚数，Error!，解得 a1.呈重点、现规律1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减
50、法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、基础过关1若复数 z 满足 zi33i，则 z 等于( )A0 B2i C6 D62i答案 D解析 z3i(i3)62i.2复数 ii 2在复平面内表示的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 ii 21i，对应的点在第二象限3复数 z13i， z21i，则 z1 z2等于( )A2 B22iC42i D42i答案 C4设 z12 bi， z2 ai，当 z1 z20 时，复数 a bi 为( )A1i B2iC3 D2i答案 D解析 由Error!得Error! ， a bi2i.- 7 -5已知| z|3，且 z3i 是纯
51、虚数，则 z 等于( )A3i B3i C3i D4i答案 B解析 设 z a bi(a、 bR)，则 z3i a bi3i a( b3)i 为纯虚数， a0， b30，又| b|3， b3， z3i.6计算：(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0082 009i)(2 0092 010i)(2 0102 011i)解 原式(12342 0082 0092 010)(23452 0092 0102 011)i1 0051 005i.7计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)( i)(2i)( i)13 12 43 32(3)已知 z123i， z212i，求 z1 z2，
52、z1 z2.解 (1)(7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593)(782)i1i.(2)( i)(2i)( i)13 12 43 32 i2i i13 12 43 32( 2 )( 1 )i1i.13 43 12 32(3)z1 z223i(12i)15i，z1 z223i(12i)3i.二、能力提升8如果一个复数与它的模的和为 5 i，那么这个复数是_3答案 i115 3解析 设这个复数为 x yi(x， yR) x yi 5 i，x2 y2 3Error!，Error!， x yi i.115 39.若| z2| z2|，则| z1|的最小值是_- 8 -答案 1解析 由|
53、 z2| z2|，知 z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1|表示 z 对应的点与(1,0)的距离| z1| min1.10.设 mR，复数 z1 ( m15)i， z22 m(m3)i，若 z1 z2是虚数，求 m 的取m2 mm 2值范围解 z1 ( m15)i， z22 m(m3)i，m2 mm 2 z1 z2 ( m15) m(m3)i(m2 mm 2 2) ( m22 m15)i.m2 m 4m 2 z1 z2为虚数， m22 m150 且 m2，解得 m5， m3 且 m2( mR)11复平面内有 A， B， C 三点，点 A 对应的复数是 2i，向
54、量 对应的复数是 12i，向量BA 对应的复数是 3i，求 C 点在复平面内的坐标BC 解 ，AC BC BA 对应的复数为(3i)(12i)23i，AC 设 C(x， y)，则( x yi)(2i)23i， x yi(2i)(23i)42i，故 x4， y2. C 点在复平面内的坐标为(4，2)12.已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A， B， C 三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点 D 对应的复数解 方法一 设 D 点对应的复数为 x yi (x， yR)，则 D(x， y)，又由已知 A(1,3)， B(0，1)， C(2,1) AC 中点为 ， BD 中点为 .(32
55、， 2) (x2， y 12 )平行四边形对角线互相平分，Error!，Error!.即点 D 对应的复数为 35i.方法二 设 D 点对应的复数为 x yi (x， yR)则 对应的复数为( x yi)(13i)AD ( x1)( y3)i，又 对应的复数为(2i)(i)22i，BC - 9 -由于 .( x1)( y3)i22i.AD BC Error!，Error!.即点 D 对应的复数为 35i.三、探究与拓展13.在复平面内 A， B， C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i.(1)求 ， ， 对应的复数；AB BC AC (2)判断 ABC 的形状；(3)求 ABC 的面积解 (1) 对应的复数为 2i11i，AB 对应的复数为12i(2i)3i，BC 对应的复数为12i122i，AC (2)| | ，| | ，| | 2 ，AB 2 BC 10 AC 8 2| |2| |2| |2， ABC 为直角三角形AB AC BC (3)S ABC 2 2.12 2 2
