2015-2016学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何（习题+章末检测）（打包13套）苏教版选修2-1.zip

- 1 -3.1.1 空间向量及其线性运算课时目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．1．空间向量中的基本概念(1)空间向量：在空间，我们把既有________又有________的量，叫做空间向量．(2)相等向量：________相同且________相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________或________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．2．空间向量的线性运算及运算律类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算：＝ ＋ ＝________，OB→ OA→ AB→ ＝ － ＝________，CA→ OA→ OC→ ＝λ a (λ ∈R)．OP→ 空间向量加法的运算律(1)交换律：______________.(2)结合律：( a＋ b)＋ c＝____________.(3)λ (a＋ b)＝ λ a＋ λ b (λ ∈R)．3．共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b (a≠0)， b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ ，使__________．规定：零向量与任意向量共线．一、填空题1．判断下列各命题的真假：①向量 的长度与向量 的长度相等；AB→ BA→ ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．2.已知向量 ， ， 满足| |＝| |＋| |，则下列叙述正确的是________．(写出所AB→ AC→ BC→ AB→ AC→ BC→ 有正确的序号)① ＝ ＋ ；AB→ AC→ BC→ ② ＝－ － ；AB→ AC→ BC→ ③ 与 同向；AC→ BC→ - 2 -④ 与 同向．AC→ CB→ 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，向量表达式 － ＋ 化简后的结果是________．DD1→ AB→ BC→ 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D 中，用向量 ， ， 来表示向量 AC1的表达式为AB→ AD→ AA1→ ________________________________________________________________________．5.四面体 ABCD 中，设 M 是 CD 的中点，则 ＋ ( ＋ )化简的结果是________．AB→ 12BD→ BC→ 6．平行六面体 ABCD—A1B1C1D1中， E， F， G， H， P， Q 分别是A1A， AB， BC， CC1， C1D1， D1A1的中点，下列结论中正确的有________．(写出所有正确的序号)① ＋ ＋ ＝0；② － － ＝0；EFGH→ PQ→ EFGH→ PQ→ ③ ＋ － ＝0；④ － ＋ ＝0.GH→ PQ→ GH→ PQ→ 7.如图所示，a,b 是两个空间向量，则 与 是________向量， 与 是AC→ A′ C′→ AB→ B′ A′→ ________向量．8.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，化简向量表达式 ＋ ＋ ＋ 的结果为________．AB→ CD→ BC→ DA→ 二、解答题9．如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC， BD， E， F， G 分别是 BC， CD， DB 的中点，请化简(1) ＋ ＋ ，(2) ＋ ＋ ，并标出化简结果的向量．AB→ BC→ CD→ AB→ GD→ EC→ 10．设 A 是△ BCD 所在平面外的一点， G 是△ BCD 的重心．求证： ＝ ( ＋ ＋ )．AG→ 13AB→ AC→ AD→ - 3 -能力提升11.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD交于点 F.若 ＝ a， ＝ b，则 ＝______________________.AC→ BD→ AF→ 12．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a、 b，若存在惟一实数 λ ，使b＝ λ a (a≠0)⇒ a∥b ，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合．- 4 -再者向量共线不具有传递性，如 a∥b ， b∥c ，不一定有 a∥c ，因为当 b＝0 时，虽然a∥b ， b∥c ，但 a 不一定与 c 平行．3．运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．第 3 章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其线性运算知识梳理1．(1)大小 方向 (2)方向 长度 (3)互相平行 重合2． a＋ b a－ b (1) a＋ b＝ b＋ a (2) a＋( b＋ c)3． b＝ λ a作业设计1．3解析 ①真命题；②假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2．④解析 由| |＝| |＋| |＝| |＋| |，知 C 点在线段 AB 上，否则与三角形两边之AB→ AC→ BC→ AC→ CB→ 和大于第三边矛盾，所以 与 同向．AC→ CB→ 3.BD1→ 解析 如图所示，∵ ＝ ， － ＝ － ＝ ，DD1→ AA1→ DD1→ AB→ AA1→ AB→ BA1→ ＋ ＝ ，BA1→ BC→ BD1→ ∴ － ＋ ＝ .DD1→ AB→ BC→ BD1→ 4. ＝ ＋ ＋AC1→ AB→ AD→ AA1→ - 5 -解析 因为 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，AB→ AD→ AC→ AC→ AA1→ AC1→ 所以 ＝ ＋ ＋ .AC1→ AB→ AD→ AA1→ 5.AM→ 解析 如图所示，因为 ( ＋ )＝ ，12BD→ BC→ BM→ 所以 ＋ ( ＋ )AB→ 12BD→ BC→ ＝ ＋ ＝ .AB→ BM→ AM→ 6．①解析 观察平行六面体 ABCD—A1B1C1D1可知，向量 ， ， 平移后可以首尾相连，于是EF→ GH→ PQ→ ＋ ＋ ＝0.EF→ GH→ PQ→ 7．相等 相反8．0解析 在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量．9．解 (1) ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .AB→ BC→ CD→ AC→ CD→ AD→ (2)∵ E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点．∴ ＝ ， ＝ .BE→ EC→ EF→ GD→ ∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .AB→ GD→ EC→ AB→ BE→ EF→ AF→ 故所求向量 ， ，如图所示．AD→ AF→ - 6 -10．证明 连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为△ BCD 的重心，知 ＝ .BG→ 23BE→ ∵ E 为 CD 的中点，∴ ＝ ＋ .BE→ 12BC→ 12BD→ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )AG→ AB→ BG→ AB→ 23BE→ AB→ 13BC→ BD→ ＝ ＋ [( － )＋( － )]AB→ 13 AC→ AB→ AD→ AB→ ＝ ( ＋ ＋ )．13AB→ AC→ AD→ 11. a＋ b23 13解析 ＝ ＋AF→ AC→ CF→ ＝ a＋23CD→ ＝ a＋ (b－ a)13＝ a＋ b.23 1312．证明 如图所示，平行六面体 ABCD—A′ B′ C′ D′，设点 O 是 AC′的中点，则 ＝AO→ 12AC′→ ＝ ( ＋ ＋ )．12AB→ AD→ AA′→ 设 P、 M、 N 分别是 BD′、 CA′、 DB′的中点．则 ＝ ＋ ＝ ＋AP→ AB→ BP→ AB→ 12BD′→ - 7 -＝ ＋ ( ＋ ＋ )AB→ 12BA→ BC→ BB′→ ＝ ＋ (－ ＋ ＋ )AB→ 12 AB→ AD→ AA′→ ＝ ( ＋ ＋ )．12AB→ AD→ AA′→ 同理可证： ＝ ( ＋ ＋ )AM→ 12AB→ AD→ AA′→ ＝ ( ＋ ＋ )．AN→ 12AB→ AD→ AA′→ 由此可知 O， P， M， N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．- 1 -3.1.2 共面向量定理课时目标 1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理，并能熟练应用．1．共面向量的定义：一般地，能________________的向量叫做共面向量．2．共面向量定理：如果两个向量 a、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p＝__________.3．共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x、y 使得 ＝ x ＋ y ，①MP→ MA→ MB→ 此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理， ， 实质就是面 MAB 内平面MA→ MB→ 向量的一组基底．另外有 ＝ ＋ x ＋ y ，②OP→ OM→ MA→ MB→ 或 ＝ x ＋ y ＋z (x＋ y＋ z＝1)．③OP→ OM→ OA→ OB→ ①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号)①平面内的任意两个向量都共线；②空间的任意三个向量都不共面；③空间的任意两个向量都共面；④空间的任意三个向量都共面．2．满足下列条件，能说明空间不重合的 A、 B、 C 三点共线的有________．(写出所有正确的序号)① ＋ ＝ ；② － ＝ ；AB→ BC→ AC→ AB→ BC→ AC→ ③ ＝ ；④| |＝| |.AB→ BC→ AB→ BC→ 3．在下列等式中，使点 M 与点 A， B， C 一定共面的是________．(写出所有符合要求的序号)① ＝2 － － ；OM→ OA→ OB→ OC→ ② ＝ ＋ ＋ ；OM→ 15OA→ 13OB→ 12OC→ ③ ＋ ＋ ＝0；MA→ MB→ MC→ ④ ＋ ＋ ＋ ＝0.OM→ OA→ OB→ OC→ 4．已知向量 a 与 b 不共线，则“ a， b， c 共面”是“存在两个非零常数 λ ， μ 使c＝ λ a＋ μ b”的____________条件．5．已知 P 和不共线三点 A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O，都有 ＝2 ＋ ＋ λOP→ OA→ OB→ - 2 -，则 λ ＝________.OC→ 6．三个向量 xa－ yb， yb－ zc， zc－ xa 的关系是________．(填“共面” “不共面” “无法确定是否共面”)．7.在 ABCD 中， ＝ a， ＝ b， ＝2 ， M 为 BC 的中点，则 ＝____________(用AB→ AD→ AN→ NC→ MN→ a、 b 表示)．8.在四面体 O-ABC 中， ＝ a， ＝ b， ＝ c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OA→ OB→ OC→ ＝________(用 a， b， c 表示)．OE→ 二、解答题9．设 A， B， C 及 A1， B1， C1分别是异面直线 l1， l2上的三点，而 M， N， P， Q 分别是线段 AA1， BA1， BB1， CC1的中点．求证： M、 N、 P、 Q 四点共面．10.如图所示，平行六面体 A1B1C1D1-ABCD， M 分 成的比为 ， N 分A1C→ 12 A1D→ 成的比为 2，设 ＝ a， ＝ b， ＝ c，试用 a、 b、 c 表示 .AB→ AD→ AA1→ MN→ 能力提升- 3 -11.如图所示，平行六面体 ABCD－A 1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若＝ a， ＝ b， ＝ c，则 ＝__________(用 a， b， c 表示)．A1B1→ A1D1→ A1A→ B1M→ 12．已知 A、 B、 M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定下列各条件下，点 P是否与 A、 B、 M 一定共面．(1) ＋ ＝3 － ；OB→ OM→ OP→ OA→ (2) ＝4 － － .OP→ OA→ OB→ OM→ 向量共面的充要条件的理解1.空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在实数对（x,y） ，使 ＝ x ＋ y .MP→ MA→ MB→ 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．2．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组( x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有 ＝ x ＋ y ＋ z ，且OP→ OA→ OB→ OC→ x＋ y＋ z＝1 成立，则 P、 A、 B、 C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．3．1.2 共面向量定理知识梳理- 4 -1．平移到同一平面内2．x a＋ yb作业设计1．③2．③解析 由 ＝ 知 与 共线，又因有一共同的点 B，故 A、 B、 C 三点共线．AB→ BC→ AB→ BC→ 3．③解析 若有 ＝ x ＋ y ，则 M 与点 A、 B、 C 共面，或者 ＝ x ＋ y ＋ z 且MA→ MB→ MC→ OM→ OA→ OB→ OC→ x＋ y＋ z＝1，则 M 与点 A、 B、 C 共面，①、②、④不满足 x＋ y＋ z＝1，③满足＝ x ＋ y ，故③正确．MA→ MB→ MC→ 4．必要不充分解析 验证充分性时，当 a， b， c 共面且 a∥c (或 b∥c )时不能成立，不能使 λ ， μ 都非零．5．－2解析 P 与不共线三点 A， B， C 共面，且 ＝ x ＋ y ＋ z (x， y， z∈R)，OP→ OA→ OB→ OC→ 则 x＋ y＋ z＝1 是四点共面的充要条件．6．共面解析 因 xa－ yb， yb－ zc， zc－ xa 也是三个向量，且有 zc－ xa＝－( yb－ zc)－( xa－ yb)，所以三向量共面．7．－ a＋ b13 16解析 ＝ ＋ ＝ b＋MN→ MC→ CN→ 12 13CA→ ＝ b＋ ( ＋ )12 13CB→ BA→ ＝ b＋ (－ b－ a)12 13＝－ a＋ b.13 168. a＋ b＋ c12 14 149．证明 依题意有 ＝2 ， ＝2 .BA→ NM→ A1B1→ NP→ 又∵ ＝ ＋ ＋PQ→ PB1→ B1C1→ C1Q→ ＝ ＋ ＋12BB1→ B1C1→ 12C1C→ ＝ ( ＋ ＋ )＋ ＋12BC→ CC1→ C1B1→ B1C1→ 12C1C→ - 5 -＝ ( ＋ )，(*)12BC→ B1C1→ A， B， C 及 A1， B1， C1分别共线，∴ ＝ λ ＝2 λ ， ＝ ω ＝2 ω .BC→ BA→ NM→ B1C1→ A1B1→ NP→ 代入(*)式得 ＝ (2λ ＋2 ω )＝ λ ＋ ω ，∴ ， ， 共面．PQ→ 12 NM→ NP→ NM→ NP→ PQ→ NM→ NP→ ∴ M、 N、 P、 Q 四点共面．10．解 ＝ ＋ ＋MN→ MA→ AA1→ A1N→ ＝ ＋ ＋13CA→ AA1→ 23A1D→ ＝－ ＋ ＋13AC→ AA1→ 23(A1A→ ＋ AD→ )＝－ (a＋ b)＋ c＋ (－ c＋ b)＝－ a＋ b＋ c.13 23 13 13 1311．－ a＋ b＋ c12 12解析 ＝ ＋ ＝ ＋B1M→ B1B→ BM→ A1A→ 12BD→ ＝ c＋ ( ＋ )＝－ ＋ ＋ c12BA→ BC→ 12A1B1→ 12A1D1→ ＝－ a＋ b＋ c.12 1212．解 (1)原式可变形为＝ ＋( － )＋( － )OP→ OM→ OA→ OP→ OB→ OP→ ＝ ＋ ＋ ，OM→ PA→ PB→ ∴ － ＝ ＋ ，OP→ OM→ PA→ PB→ ∴ ＝－ － ，PM→ PA→ PB→ ∴ P 与 M、 A、 B 共面．(2)原式可变形为＝2 ＋ － ＋ －OP→ OA→ OA→ OB→ OA→ OM→ ＝2 ＋ ＋ ，OA→ BA→ MA→ ∴ ＝－ － － ，表达式中还含有 ，AP→ AO→ AB→ AM→ AO→ ∴ P 与 A、 B、 M 不共面．- 1 -3.1.3 空间向量基本定理课时目标 1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量．1．空间向量基本定理如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得______________________．由此可知，如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是________________________________．这个集合可看作是由向量 e1， e2， e3生成的，我们把__________叫做空间的一个基底，____________都叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．2．正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是______________，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是______________时，称这个基底为单位正交基底，通常用____________表示．3．推论设 O， A， B， C 是__________的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得______________________．一、填空题1．若存在实数 x、 y、 z，使 ＝ x ＋ y ＋ z 成立，则下列判断正确的是OP→ OA→ OB→ OC→ ________．(写出正确的序号)①对于某些 x、y、z 的值，向量组{ ， ， }不能作为空间的一个基底；PA→ PB→ PC→ ②对于任意的 x、y、z 的值，向量组{ ， ， }都不能作为空间的一个基底；PA→ PB→ PC→ ③对于任意的 x、y、z 的值，向量组{ ， ， }都能作为空间的一个基底；PA→ PB→ PC→ ④根据已知条件，无法作出相应的判断．2.设 O-ABC 是四面体，G 1是△ ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 ＝ x ＋ y ＋ z ，OG→ OA→ OB→ OC→ 则( x， y， z)为____________．3．在以下 3 个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面；②若两个非零向量 a， b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a， b 共线；③若 a， b 是两个不共线向量，而 c＝ λ a＋ μ b(λ ， μ ∈R 且 λμ ≠0)，则{ a， b， c}构成空间的一个基底．4．若{ a， b， c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是________．(写出符合要求的序号)① a,2b,3c；② a＋ b， b＋ c， c＋ a；③ a＋2 b,2b＋3 c,3a－9 c；④ a＋ b＋ c， b， c.5．已知点 A 在基底{ a， b， c}下的坐标为(8,6,4)，其中 a＝ i＋ j， b＝ j＋ k， c＝ k＋ i，则点 A 在基底{ i， j， k}下的坐标是______________．6．下列结论中，正确的是________．(写出所有正确的序号)①若 a、 b、 c 共面，则存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc；- 2 -②若 a、 b、 c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc；③若 a、 b、 c 共面， b、 c 不共线，则存在实数 x， y，使 a＝ xb＋ yc；④若 a＝ xb＋ yc，则 a、 b、 c 共面．7.如图所示，空间四边形 OABC 中， ＝ a， ＝ b， ＝ c，点 M 在 OA 上且OA→ OB→ OC→ OM＝ MA， BN＝ NC，则 ＝__________________.12 MN→ 8．命题：①若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；②向量 a、 b、 c 共面，则它们所在的直线也共面；③若 a 与 b 共线，则存在惟一的实数 λ ，使 b＝ λ a.上述命题中的真命题的个数是________．二、解答题9．已知向量{ a， b， c}是空间的一个基底，那么向量 a＋ b， b＋ c， c＋ a 能构成空间的一个基底吗？为什么？10.如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1中， O 为 AC 的中点．（1）化简： － － ；A1O→ 12AB→ 12AD→ (2)设 E 是棱 DD1上的点且 ＝ ，若 ＝ x ＋ y ＋ z ，试求 x、 y、 z 的值．DE→ 23DD1→ EO→ AB→ AD→ AA1→ - 3 -能力提升11.如图所示，已知平行六面体 ABCD—A′ B′ C′ D′.求证： ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′→ AD′→ AC′→ 12.如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别是△ ABC、△OBC 的重心，设＝ a， ＝ b， ＝ c，试用向量 a、 b、 c 表示向量 .OA→ OB→ OC→ GH→ - 4 -1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题．3．1.3 空间向量基本定理知识梳理1． p＝ xe1＋ ye2＋ ze3 { p|p＝ xe1＋ ye2＋ ze3， x， y， z∈R} { e1， e2， e3} e1， e2， e32．两两互相垂直 单位向量 { i， j， k}3．不共面 ＝ x ＋ y ＋ zOP→ OA→ OB→ OC→ 作业设计1．①解析 当 ， ， 共面时，则 ， ， 共面，故不能构成空间的一个基底．OA→ OB→ OC→ PA→ PB→ PC→ 2．( ，， )1414 14解析 因为 ＝ ＝ ( ＋ )OG→ 34OG1→ 34OA→ AG1→ ＝ ＋ × [ ( ＋ )]34OA→ 34 2312AB→ AC→ ＝ ＋ [( － )＋( － )]34OA→ 14 OB→ OA→ OC→ OA→ ＝ ＋ ＋ ，14OA→ 14OB→ 14OC→ 而 ＝ x ＋ y ＋ z ，OG→ OA→ OB→ OC→ 所以 x＝ ， y＝ ， z＝ .14 14 143．2解析 命题①，②是真命题，命题③是假命题．4．①②④解析 ∵－3( a＋2 b)＋3(2 b＋3 c)＋(3 a－9 c)＝0，∴3 a－9 c＝3( a＋2 b)－3(2 b＋3 c)，- 5 -即三向量 3a－9 c， a＋2 b,2b＋3 c 共面．5．(12,14,10)解析 设点 A 在基底{ a， b， c}下对应的向量为 p，则 p＝8 a＋6 b＋4 c＝8 i＋8 j＋6 j＋6 k＋4 k＋4 i＝12 i＋14 j＋10 k，故点 A 在基底{ i， j， k}下的坐标为(12,14,10)．6．②③④解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提： b、 c 是不共线向量，否则即使三个向量 a、 b、 c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③④正确．7．－ a＋ b＋ c12 23 138．09．解 假设 a＋ b， b＋ c， c＋ a 共面，则存在实数 λ 、 μ 使得 a＋ b＝ λ (b＋ c)＋ μ (c＋ a)，∴ a＋ b＝ λ b＋ μ a＋( λ ＋ μ )c.∵{ a， b， c}为基底，∴ a， b， c 不共面．∴Error!此方程组无解．∴ a＋ b， b＋ c， c＋ a 不共面．∴{ a＋ b， b＋ c， c＋ a}可以作为空间的一个基底．10．解 (1)∵ ＋ ＝ ，AB→ AD→ AC→ ∴ － － ＝ － ( ＋ )＝ － ＝ － ＝ .A1O→ 12AB→ 12AD→ A1O→ 12AB→ AD→ A1O→ 12AC→ A1O→ AO→ A1A→ (2)∵ ＝ ＋ ＝ ＋EO→ ED→ DO→ 23D1D→ 12DB→ ＝ ＋ ( ＋ )23D1D→ 12DA→ AB→ ＝ ＋ ＋23A1A→ 12DA→ 12AB→ ＝ － － ，12AB→ 12AD→ 23AA1→ ∴ x＝ ， y＝－ ， z＝－ .12 12 2311．证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，AC→ AB→ AD→ AB′→ AB→ AA′→ ＝ ＋ .AD′→ AD→ AA′→ 所以 ＋ ＋AC→ AB′→ AD′→ ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )AB→ AD→ AB→ AA′→ AD→ AA′→ ＝2( ＋ ＋ )．AB→ AD→ AA′→ - 6 -又因为 ＝ ， ＝ ，AA′→ CC′→ AD→ BC→ 所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋AB→ AD→ AA′→ AB→ BC→ CC′→ ＝ ＋ ＝ ，AC→ CC′→ AC′→ 故 ＋ ＋ ＝2 .AC→ AB′→ AD′→ AC′→ 12．解 ＝ － ，∵ ＝ ，GH→ OH→ OG→ OH→ 23OD→ ∴ ＝ × ( ＋ )＝ (b＋ c)，OH→ 23 12OB→ OC→ 13＝ ＋ ＝ ＋OG→ OA→ AG→ OA→ 23AD→ ＝ ＋ ( － )OA→ 23OD→ OA→ ＝ ＋ × ( ＋ )13OA→ 23 12OB→ OC→ ＝ a＋ (b＋ c)，13 13∴ ＝ (b＋ c)－ a－ (b＋ c)＝－ a，GH→ 13 13 13 13即 ＝－ a.GH→ 13- 1 -3.1.4 空间向量的坐标表示课时目标 1.掌握空间直角坐标系的概念，及正确表示点、向量的坐标.2.正确进行两向量的加、减法运算.3.能正确判断两向量平行及解决有关综合问题．1．空间向量的坐标表示空间直角坐标系 O—xyz中， i， j， k分别为 x， y， z轴方向上的______________，对于空间任一个向量 a，若有 a＝ xi＋ yj＋ zk，则有序数组__________叫向量 a在空间直角坐标系中的坐标．特别地，若 A(x,y,z),则向量 的坐标为__________．OA→ 2．坐标运算设 a＝( a1， a2， a3)， b＝( b1， b2， b3)，则 a＋ b＝________________；a－ b＝________________，λ a＝________________ ( λ ∈R)．a∥b (a≠0)⇔__________，__________，__________ ( λ ∈R)．一、填空题1．点 M(－1,3，－4)在坐标平面 xOy、 xOz、 yOz内的射影的坐标分别为________、________、________.2.已知空间两个动点 A（m,1+m,2+m） ，B（1-m,3-2m,3m）则 的最小值为AB__________．3.已知在△ ABC中，A(2，-5,3)， ＝(4,1,2)， ＝(3，－2，5)，则 C点坐标为AB→ BC→ __________．4.如图所示，空间直角坐标系中，正方体 ABCD—A1B1C1D1棱长为 1，B 1E1＝ A1B1,则4＝______________.1BE5．已知向量 a＝ λ i＋3 j－ k与向量 b＝4 i＋ j＋ μ k平行，则λ ＝________， μ ＝________.6．空间直角坐标系中， A(1,2,3)， B(－1,0,5)， C(3,0,4)， D(4，1,3)，则直线 AB与CD的位置关系是________．7.已知 A(1,-1,2),B（5，-6,2） ，C（1,3，-1） ， 在 上的投影为______．AB→ AC→ 8．已知 A(4,1,3)， B(2,3,1)， C(3,7，－5)，点 P(x，－1,3)在平面 ABC内，则x＝______.二、解答题9.已知 ABCD—A1B1C1D1是棱长为 2的立方体， E、 F分别为 BB1和 DC的中点，建立如图所示- 2 -空间直角坐标系，试写出图中各点坐标．10．已知点 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,2)，若 DB∥ AC， DC∥ AB，求点 D的坐标．能力提升11．设 a＝(2,3,0)， b＝(－3，－2,1)，计算 2a＋3 b,5a－6 b，并确定 λ ， μ 的值，使λ a＋ μ b与向量 b平行．- 3 -12．已知空间四点 A(－2,3,1)， B(2，－5,3)， C(10,0,10)和 D(8，4,9)．求证：四边形 ABCD是梯形．- 4 -1．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，要充分分析空间几何体的结构特点，选择合适的点作为原点，合适的方向和直线作为坐标轴，以有利于问题的求解．为便于坐标系的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，应使可能多的点在坐标轴或坐标平面上．2．利用坐标解决两个向量平行的问题．3．1.4 空间向量的坐标表示知识梳理1．单位向量 (x，y，z) (x，y，z)2．(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) b1＝λa 1 b 2＝λa 2 b 3＝λa 3作业设计1．(－1,3,0) (－1,0，－4) (0,3，－4)2.31717解析 ∵| |AB→ ＝ (1－ 2m)2＋ (2－ 3m)2＋ (2m－ 2)2＝ ，17(m－ 1217)2＋ 917∴| |min＝ ＝ .AB→ 917 317173．(9，－6,10) 4. (0， －14， 1)5．12 － 6.平行137．－4解析 ∵ ＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AB→ - 5 -＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，AC→ ∴ cos〈 ， 〉＝AB→ AC→ 0－ 20＋ 042＋ (－ 5)242＋ (－ 3)2＝－ ，20541在 上的投影为| |cos〈 ， 〉AB→ AC→ AB→ AB→ AC→ ＝ × ＝－4.42＋ (－ 5)2 (－ 20541)8．11解析 ∵点 P在平面 ABC内，∴存在实数 k1，k 2，使 ＝k 1 ＋k 2 ，AP→ AB→ AC→ 即(x－4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)，∴Error! 解得Error!∴x－4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即 x＝11.9．解 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)．10．解 设点 D的坐标为(x，y，z)，所以 ＝(－x,1－y，－z)， ＝(－1,0,2)，DB→ AC→ ＝(－x，－y,2－z)， ＝(－1,1,0)．DC→ AB→ 因为 DB∥AC，DC∥AB，所以 ∥ 且 ∥ .DB→ AC→ DC→ AB→ 所以Error! 解得Error!所以点 D的坐标为(－1,1,2)．11．解 ∵ a＝(2,3,0)， b＝(－3，－2,1)，∴2 a＋3 b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6 b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵ λ a＋ μ b＝ λ (2,3,0)＋ μ (－3，－2,1)＝(2 λ －3 μ ，3 λ －2 μ ， μ )，且( λ a＋ μ b)∥ b，∴ ＝ ＝ ，∴ λ ＝0， μ ∈R，2λ － 3μ－ 3 3λ － 2μ－ 2 μ1即 λ ＝0， μ ∈R 时， λ a＋ μ b与 b平行．12．证明 依题意： ＝(－2,3,1)， ＝(2，－5,3)，OA→ OB→ 所以 ＝ － ＝(2，－5,3)－(－2,3,1)AB→ OB→ OA→ - 6 -＝(4，－8,2)．同理 ＝(2，－4,1)， ＝(10,1,8)，DC→ AD→ ＝(8,5,7)．BC→ 由 ＝2 可知， ∥ ，| |≠| |.AB→ DC→ AB→ DC→ AB→ DC→ 又 与 无公共点，AD→ BC→ 所以四边形 ABCD为梯形．- 1 -3.1.5 空间向量的数量积课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．1．两向量的夹角如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 ＝ a， ＝ b，则OA→ OB→ __________叫做向量 a 与向量 b 的夹角，记作__________．如果〈 a， b〉＝ ，那么向量 a， b______________，记作__________．π 22．数量积的定义已知两个非零向量 a， b，则____________叫做向量 a， b 的数量积，记作 a·b.即 a·b＝__________.零向量与任一向量的数量积为 0.特别地， a·a＝| a|·|a|cos〈 a， a〉＝________.3．数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(λ a)·b＝ λ (a·b) (λ ∈R)；a·b＝ b·a；a·(b＋ c)＝ a·b＋ a·c.4．数量积的坐标运算若 a＝( a1， a2， a3)， b＝( b1， b2， b3)，则(1)a·b＝________________；(2)a⊥b ⇔__________⇔____________________________；(3)|a|＝ ＝______________；a·a(4)cos〈 a， b〉＝____________＝_________________________________________.一、填空题1．若 a， b 均为非零向量，则 a·b＝| a||b|是 a 与 b 共线的____________条件．2．已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么| a＋3 b|＝________.3．已知向量 a＝(0，－1,1)， b＝(4,1,0)，| λ a＋ b|＝ 且 λ 0，则 λ ＝________.294．若 a、 b、 c 为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号)①若| a|＝| b|，则 a＝ b；②若 a·b＝ a·c，则 b＝ c；③( a·b)·c＝( b·c)·a＝( c·a)·b；④若| a|＝ |b|，且 a 与 b 夹角为 45°，则( a－ b)⊥ b.25．已知向量 a＝(2，－3,0)， b＝( k,0,3)，若 a 与 b 成 120°角，则 k＝________.6.设 O 为坐标原点，向量 ＝(1,2,3)， ＝(2,1,2)， ＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上OA→ OB→ OP→ 运动，则当 · 取得最小值时，点 Q 的坐标为________．QA→ QB→ 7．向量( a＋3 b)⊥(7 a－5 b)，( a－4 b)⊥(7 a－2 b)，则 a 和 b 的夹角为____________．- 2 -8．若向量 a， b 满足| a|＝1，| b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 ，则| a＋ b|＝________.π 3二、解答题9.如图，已知在空间四边形 OABC 中， OB＝ OC， AB＝ AC.求证： OA⊥ BC.10.在正四面体 ABCD 中，棱长为 a， M、 N 分别是棱 AB、 CD 上的点，且MB＝2 AM， CN＝ ND，求 MN.12能力提升11.如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥ α ，线段 BD⊥ AB，且AB＝7， AC＝ BD＝24，线段 BD 与 α 所成的角为 30°，求 CD 的长．- 3 -12．在直三棱柱 ABC—A1B1C1中， AC＝ BC＝1，∠ BCA＝90°， AA1＝2, 并取 A1B1、 A1A 的中点分别为 P、 Q.(1)求 的长；B（2）求 cos〈 ， 〉 ，cos〈 ， 〉 ，并比较〈 ， 〉与〈 ， 〉的大小；BQ→ CB1→ BA1→ CB1→ BQ→ CB1→ BA1→ CB1→ (3)求证： ⊥ .AB1→ C1P→ - 4 -1．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．3．1.5 空间向量的数量积知识梳理1．∠AOB 〈 a， b〉 互相垂直 a⊥b2．| a||b|cos〈 a， b〉 | a||b|cos〈 a， b〉 | a|24．(1) a1b1＋ a2b2＋ a3b3 (2) a·b＝0 a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝0 (3) a21＋ a2＋ a23(4) a·b|a||b| a1b1＋ a2b2＋ a3b3a21＋ a2＋ a23b21＋ b2＋ b23作业设计1．充分不必要解析 a·b＝| a||b|cos〈 a， b〉＝| a||b|cos〈 a， b〉＝1〈 a， b〉＝0，但当 a 与b 反向时，不能成立．2. 13解析 ∵| a＋3 b|2＝( a＋3 b)2＝ a2＋6 a·b＋9 b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴| a＋3 b|＝ .133．3解析 ∵ a＝(0，－1,1)， b＝(4,1,0)，∴ λ a＋ b＝(4,1－ λ ， λ )．∵| λ a＋ b|＝ ，∴16＋(1－ λ )2＋ λ 2＝29.29∴ λ ＝3 或 λ ＝－2.∵ λ 0，∴ λ ＝3.4．④解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题①错；a·b＝| a|·|b|cos〈 a， b〉 ，而 a·c＝| a|·|c|·cos〈 a， c〉 ，于是由 a·b＝ a·c 推出的是| b|cos〈 a， b〉＝| c|·cos〈 a， c〉 ，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题③错；( a－ b)·b＝ a·b－ b2＝ b2－ b2＝0，故命题④正确．5．－ 39解析 cos〈 a， b〉＝ ＝ ＝－ ，得 k＝± .又 k〈 ， 〉 ．BQ→ CB1→ BA1→ CB1→ (3)证明 ∵ ·AB1→ C1P→ ＝(－1,1,2)· ＝0，∴ ⊥ .(12， 12， 0) AB1→ C1P→