1、- 1 -3.1.1 空间向量及其线性运算课时目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义1空间向量中的基本概念(1)空间向量：在空间，我们把既有_又有_的量，叫做空间向量(2)相等向量：_相同且_相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或_，那么这些向量叫做共线向量或平行向量2空间向量的线性运算及运算律类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算： _，OB OA AB _，CA OA OC a ( R)OP 空间向量加法的运算
2、律(1)交换律：_.(2)结合律：( a b) c_.(3) (a b) a b ( R)3共线向量定理：对空间任意两个向量 a， b (a0)， b 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使_规定：零向量与任意向量共线一、填空题1判断下列各命题的真假：向量 的长度与向量 的长度相等；AB BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为_2.已知向量 ， ， 满足| | | |，则下列叙述正确的是_(写出所AB AC BC AB AC BC 有正
3、确的序号) ；AB AC BC ；AB AC BC 与 同向；AC BC - 2 - 与 同向AC CB 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，向量表达式 化简后的结果是_DD1 AB BC 4.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D 中，用向量 ， ， 来表示向量 AC1的表达式为AB AD AA1 _5.四面体 ABCD 中，设 M 是 CD 的中点，则 ( )化简的结果是_AB 12BD BC 6平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H， P， Q 分别是A1A， AB， BC， CC1， C1D1， D1A1的中点，下列结论中正确的有_(写出所有正确的序号)
4、 0； 0；EFGH PQ EFGH PQ 0； 0.GH PQ GH PQ 7.如图所示，a,b 是两个空间向量，则 与 是_向量， 与 是AC A C AB B A _向量8.在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，化简向量表达式 的结果为_AB CD BC DA 二、解答题9如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC， BD， E， F， G 分别是 BC， CD， DB 的中点，请化简(1) ，(2) ，并标出化简结果的向量AB BC CD AB GD EC 10设 A 是 BCD 所在平面外的一点， G 是 BCD 的重心求证： ( )AG 13AB AC AD - 3 -能力提
5、升11.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD交于点 F.若 a， b，则 _.AC BD AF 12证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分1在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等2共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量 a、 b，若存在惟一实数 ，使b a (a0) ab ，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合- 4 -再者向量共线不具有传递性，如 ab ， bc ，不一定有 ac ，因为当 b0 时，虽然ab ， bc ，但 a 不一定与
6、c 平行3运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止第 3 章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算31.1 空间向量及其线性运算知识梳理1(1)大小 方向 (2)方向 长度 (3)互相平行 重合2 a b a b (1) a b b a (2) a( b c)3 b a作业设计13解析 真命题；假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段2解析 由| |
7、 | | | |，知 C 点在线段 AB 上，否则与三角形两边之AB AC BC AC CB 和大于第三边矛盾，所以 与 同向AC CB 3.BD1 解析 如图所示， ， ，DD1 AA1 DD1 AB AA1 AB BA1 ，BA1 BC BD1 .DD1 AB BC BD1 4. AC1 AB AD AA1 - 5 -解析 因为 ， ，AB AD AC AC AA1 AC1 所以 .AC1 AB AD AA1 5.AM 解析 如图所示，因为 ( ) ，12BD BC BM 所以 ( )AB 12BD BC .AB BM AM 6解析 观察平行六面体 ABCDA1B1C1D1可知，向量 ，
8、， 平移后可以首尾相连，于是EF GH PQ 0.EF GH PQ 7相等 相反80解析 在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量9解 (1) .AB BC CD AC CD AD (2) E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点 ， .BE EC EF GD .AB GD EC AB BE EF AF 故所求向量 ， ，如图所示AD AF - 6 -10证明 连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为 BCD 的重心，知 .BG 23BE E 为 CD 的中点， .BE 12BC 12BD ( )AG AB BG AB 23BE AB 13BC BD ( )( )AB 1
9、3 AC AB AD AB ( )13AB AC AD 11. a b23 13解析 AF AC CF a23CD a (b a)13 a b.23 1312证明 如图所示，平行六面体 ABCDA B C D，设点 O 是 AC的中点，则 AO 12AC ( )12AB AD AA 设 P、 M、 N 分别是 BD、 CA、 DB的中点则 AP AB BP AB 12BD - 7 - ( )AB 12BA BC BB ( )AB 12 AB AD AA ( )12AB AD AA 同理可证： ( )AM 12AB AD AA ( )AN 12AB AD AA 由此可知 O， P， M， N 四
10、点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分- 1 -3.1.2 共面向量定理课时目标 1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理，并能熟练应用1共面向量的定义：一般地，能_的向量叫做共面向量2共面向量定理：如果两个向量 a、 b 不共线，那么向量 p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在有序实数组(x， y)，使得 p_.3共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量 a， b 总是共面向量，空间中三个向量 a， b， c 则不一定共面(2)空间中四点共面的条件空间点 P 位于平面 MAB 内，则存在有序实数对 x、y 使得 x y ，MP MA MB 此为空间共面向量定理，
11、其实质就是平面向量基本定理， ， 实质就是面 MAB 内平面MA MB 向量的一组基底另外有 x y ，OP OM MA MB 或 x y z (x y z1)OP OM OA OB 、均可作为证明四点共面的条件，但是更为常用一、填空题1下列说法中正确的是_(写出所有正确的序号)平面内的任意两个向量都共线；空间的任意三个向量都不共面；空间的任意两个向量都共面；空间的任意三个向量都共面2满足下列条件，能说明空间不重合的 A、 B、 C 三点共线的有_(写出所有正确的序号) ； ；AB BC AC AB BC AC ；| | |.AB BC AB BC 3在下列等式中，使点 M 与点 A， B，
12、C 一定共面的是_(写出所有符合要求的序号) 2 ；OM OA OB OC ；OM 15OA 13OB 12OC 0；MA MB MC 0.OM OA OB OC 4已知向量 a 与 b 不共线，则“ a， b， c 共面”是“存在两个非零常数 ， 使c a b”的_条件5已知 P 和不共线三点 A， B， C 四点共面且对于空间任一点 O，都有 2 OP OA OB - 2 -，则 _.OC 6三个向量 xa yb， yb zc， zc xa 的关系是_(填“共面” “不共面” “无法确定是否共面”)7.在 ABCD 中， a， b， 2 ， M 为 BC 的中点，则 _(用AB AD AN
13、 NC MN a、 b 表示)8.在四面体 O-ABC 中， a， b， c， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则OA OB OC _(用 a， b， c 表示)OE 二、解答题9设 A， B， C 及 A1， B1， C1分别是异面直线 l1， l2上的三点，而 M， N， P， Q 分别是线段 AA1， BA1， BB1， CC1的中点求证： M、 N、 P、 Q 四点共面10.如图所示，平行六面体 A1B1C1D1-ABCD， M 分 成的比为 ， N 分A1C 12 A1D 成的比为 2，设 a， b， c，试用 a、 b、 c 表示 .AB AD AA1 MN 能力提升
14、- 3 -11.如图所示，平行六面体 ABCDA 1B1C1D1中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 a， b， c，则 _(用 a， b， c 表示)A1B1 A1D1 A1A B1M 12已知 A、 B、 M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定下列各条件下，点 P是否与 A、 B、 M 一定共面(1) 3 ；OB OM OP OA (2) 4 .OP OA OB OM 向量共面的充要条件的理解1.空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在实数对（x,y） ，使 x y .MP MA MB 满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任
15、一点 P 都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面2共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组( x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有 x y z ，且OP OA OB OC x y z1 成立，则 P、 A、 B、 C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据31.2 共面向量定理知识梳理- 4 -1平移到同一平面内2x a yb作业设计12解析 由 知 与 共线，又因有一共同的点
16、B，故 A、 B、 C 三点共线AB BC AB BC 3解析 若有 x y ，则 M 与点 A、 B、 C 共面，或者 x y z 且MA MB MC OM OA OB OC x y z1，则 M 与点 A、 B、 C 共面，、不满足 x y z1，满足 x y ，故正确MA MB MC 4必要不充分解析 验证充分性时，当 a， b， c 共面且 ac (或 bc )时不能成立，不能使 ， 都非零52解析 P 与不共线三点 A， B， C 共面，且 x y z (x， y， zR)，OP OA OB OC 则 x y z1 是四点共面的充要条件6共面解析 因 xa yb， yb zc， zc
17、 xa 也是三个向量，且有 zc xa( yb zc)( xa yb)，所以三向量共面7 a b13 16解析 bMN MC CN 12 13CA b ( )12 13CB BA b ( b a)12 13 a b.13 168. a b c12 14 149证明 依题意有 2 ， 2 .BA NM A1B1 NP 又 PQ PB1 B1C1 C1Q 12BB1 B1C1 12C1C ( ) 12BC CC1 C1B1 B1C1 12C1C - 5 - ( )，(*)12BC B1C1 A， B， C 及 A1， B1， C1分别共线， 2 ， 2 .BC BA NM B1C1 A1B1 NP
18、 代入(*)式得 (2 2 ) ， ， ， 共面PQ 12 NM NP NM NP PQ NM NP M、 N、 P、 Q 四点共面10解 MN MA AA1 A1N 13CA AA1 23A1D 13AC AA1 23(A1A AD ) (a b) c ( c b) a b c.13 23 13 13 1311 a b c12 12解析 B1M B1B BM A1A 12BD c ( ) c12BA BC 12A1B1 12A1D1 a b c.12 1212解 (1)原式可变形为 ( )( )OP OM OA OP OB OP ，OM PA PB ，OP OM PA PB ，PM PA P
19、B P 与 M、 A、 B 共面(2)原式可变形为2 OP OA OA OB OA OM 2 ，OA BA MA ，表达式中还含有 ，AP AO AB AM AO P 与 A、 B、 M 不共面- 1 -3.1.3 空间向量基本定理课时目标 1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量1空间向量基本定理如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得_由此可知，如果三个向量 e1， e2， e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是_这个集合可看作是由向量 e1， e2， e3生成的，我们把_叫做空间的一
20、个基底，_都叫做基向量空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底2正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是_，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是_时，称这个基底为单位正交基底，通常用_表示3推论设 O， A， B， C 是_的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得_一、填空题1若存在实数 x、 y、 z，使 x y z 成立，则下列判断正确的是OP OA OB OC _(写出正确的序号)对于某些 x、y、z 的值，向量组 ， ， 不能作为空间的一个基底；PA PB PC 对于任意的 x、y、z 的值，向量组 ， ， 都不
21、能作为空间的一个基底；PA PB PC 对于任意的 x、y、z 的值，向量组 ， ， 都能作为空间的一个基底；PA PB PC 根据已知条件，无法作出相应的判断2.设 O-ABC 是四面体，G 1是 ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 x y z ，OG OA OB OC 则( x， y， z)为_3在以下 3 个命题中，真命题的个数是_三个非零向量 a， b， c 不能构成空间的一个基底，则 a， b， c 共面；若两个非零向量 a， b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a， b 共线；若 a， b 是两个不共线向量，而 c a b( ， R 且 0)，则 a， b， c
22、构成空间的一个基底4若 a， b， c是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是_(写出符合要求的序号) a,2b,3c； a b， b c， c a； a2 b,2b3 c,3a9 c； a b c， b， c.5已知点 A 在基底 a， b， c下的坐标为(8,6,4)，其中 a i j， b j k， c k i，则点 A 在基底 i， j， k下的坐标是_6下列结论中，正确的是_(写出所有正确的序号)若 a、 b、 c 共面，则存在实数 x， y，使 a xb yc；- 2 -若 a、 b、 c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a、 b、 c 共面，
23、b、 c 不共线，则存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a xb yc，则 a、 b、 c 共面7.如图所示，空间四边形 OABC 中， a， b， c，点 M 在 OA 上且OA OB OC OM MA， BN NC，则 _.12 MN 8命题：若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；向量 a、 b、 c 共面，则它们所在的直线也共面；若 a 与 b 共线，则存在惟一的实数 ，使 b a.上述命题中的真命题的个数是_二、解答题9已知向量 a， b， c是空间的一个基底，那么向量 a b， b c， c a 能构成空间的一个基底吗？为什么？10.如图所示，在长方
24、体 ABCDA1B1C1D1中， O 为 AC 的中点（1）化简： ；A1O 12AB 12AD (2)设 E 是棱 DD1上的点且 ，若 x y z ，试求 x、 y、 z 的值DE 23DD1 EO AB AD AA1 - 3 -能力提升11.如图所示，已知平行六面体 ABCDA B C D.求证： 2 .AC AB AD AC 12.如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别是 ABC、OBC 的重心，设 a， b， c，试用向量 a、 b、 c 表示向量 .OA OB OC GH - 4 -1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个
25、向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题31.3 空间向量基本定理知识梳理1 p xe1 ye2 ze3 p|p xe1 ye2 ze3， x， y， zR e1， e2， e3 e1， e2， e32两两互相垂直 单位向量 i， j， k3不共面 x y zOP OA OB OC 作业设计1解析 当 ， ， 共面时，则 ， ， 共面，故不能构成空间的一个基底OA OB OC PA PB PC 2( ， )1414 14
26、解析 因为 ( )OG 34OG1 34OA AG1 ( )34OA 34 2312AB AC ( )( )34OA 14 OB OA OC OA ，14OA 14OB 14OC 而 x y z ，OG OA OB OC 所以 x ， y ， z .14 14 1432解析 命题，是真命题，命题是假命题4解析 3( a2 b)3(2 b3 c)(3 a9 c)0，3 a9 c3( a2 b)3(2 b3 c)，- 5 -即三向量 3a9 c， a2 b,2b3 c 共面5(12,14,10)解析 设点 A 在基底 a， b， c下对应的向量为 p，则 p8 a6 b4 c8 i8 j6 j6
27、k4 k4 i12 i14 j10 k，故点 A 在基底 i， j， k下的坐标为(12,14,10)6解析 要注意共面向量定理给出的一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提： b、 c 是不共线向量，否则即使三个向量 a、 b、 c 共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确7 a b c12 23 13809解 假设 a b， b c， c a 共面，则存在实数 、 使得 a b (b c) (c a)， a b b a( )c. a， b， c为基底， a， b， c 不共面Error!此方程组无解 a b， b c， c a 不共面 a b， b c， c a可以作为空间的
28、一个基底10解 (1) ，AB AD AC ( ) .A1O 12AB 12AD A1O 12AB AD A1O 12AC A1O AO A1A (2) EO ED DO 23D1D 12DB ( )23D1D 12DA AB 23A1A 12DA 12AB ，12AB 12AD 23AA1 x ， y ， z .12 12 2311证明 因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 ， ，AC AB AD AB AB AA .AD AD AA 所以 AC AB AD ( )( )( )AB AD AB AA AD AA 2( )AB AD AA - 6 -又因为 ， ，AA CC AD BC
29、所以 AB AD AA AB BC CC ，AC CC AC 故 2 .AC AB AD AC 12解 ， ，GH OH OG OH 23OD ( ) (b c)，OH 23 12OB OC 13 OG OA AG OA 23AD ( )OA 23OD OA ( )13OA 23 12OB OC a (b c)，13 13 (b c) a (b c) a，GH 13 13 13 13即 a.GH 13- 1 -3.1.4 空间向量的坐标表示课时目标 1.掌握空间直角坐标系的概念，及正确表示点、向量的坐标.2.正确进行两向量的加、减法运算.3.能正确判断两向量平行及解决有关综合问题1空间向量的坐
30、标表示空间直角坐标系 Oxyz中， i， j， k分别为 x， y， z轴方向上的_，对于空间任一个向量 a，若有 a xi yj zk，则有序数组_叫向量 a在空间直角坐标系中的坐标特别地，若 A(x,y,z),则向量 的坐标为_OA 2坐标运算设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 a b_；a b_， a_ ( R)ab (a0)_，_，_ ( R)一、填空题1点 M(1,3，4)在坐标平面 xOy、 xOz、 yOz内的射影的坐标分别为_、_、_.2.已知空间两个动点 A（m,1+m,2+m） ，B（1-m,3-2m,3m）则 的最小值为AB_3.已知在
31、ABC中，A(2，-5,3)， (4,1,2)， (3，2，5)，则 C点坐标为AB BC _4.如图所示，空间直角坐标系中，正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 1，B 1E1 A1B1,则4_.1BE5已知向量 a i3 j k与向量 b4 i j k平行，则 _， _.6空间直角坐标系中， A(1,2,3)， B(1,0,5)， C(3,0,4)， D(4，1,3)，则直线 AB与CD的位置关系是_7.已知 A(1,-1,2),B（5，-6,2） ，C（1,3，-1） ， 在 上的投影为_AB AC 8已知 A(4,1,3)， B(2,3,1)， C(3,7，5)，点 P(x，1,3)
32、在平面 ABC内，则x_.二、解答题9.已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2的立方体， E、 F分别为 BB1和 DC的中点，建立如图所示- 2 -空间直角坐标系，试写出图中各点坐标10已知点 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,2)，若 DB AC， DC AB，求点 D的坐标能力提升11设 a(2,3,0)， b(3，2,1)，计算 2a3 b,5a6 b，并确定 ， 的值，使 a b与向量 b平行- 3 -12已知空间四点 A(2,3,1)， B(2，5,3)， C(10,0,10)和 D(8，4,9)求证：四边形 ABCD是梯形- 4 -1用空间向量的坐标运算解决
33、问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，要充分分析空间几何体的结构特点，选择合适的点作为原点，合适的方向和直线作为坐标轴，以有利于问题的求解为便于坐标系的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，应使可能多的点在坐标轴或坐标平面上2利用坐标解决两个向量平行的问题31.4 空间向量的坐标表示知识梳理1单位向量 (x，y，z) (x，y，z)2(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3) (a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3) (a 1，a 2，a 3) b1a 1 b 2a 2 b 3a 3作业设计1(1,3,0) (1,0，4) (0,3，4)2.31717解析 | |AB (1 2m)2 (2
34、 3m)2 (2m 2)2 ，17(m 1217)2 917| |min .AB 917 317173(9，6,10) 4. (0， 14， 1)512 6.平行1374解析 (5，6,2)(1，1,2)(4，5,0)AB - 5 -(1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，AC cos ， AB AC 0 20 042 ( 5)242 ( 3)2 ，20541在 上的投影为| |cos ， AB AC AB AB AC 4.42 ( 5)2 ( 20541)811解析 点 P在平面 ABC内，存在实数 k1，k 2，使 k 1 k 2 ，AP AB AC 即(x4，2,0)k 1(2,2，
35、2)k 2(1,6，8)，Error! 解得Error!x42k 1k 2817，即 x11.9解 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)，D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)10解 设点 D的坐标为(x，y，z)，所以 (x,1y，z)， (1,0,2)，DB AC (x，y,2z)， (1,1,0)DC AB 因为 DBAC，DCAB，所以 且 .DB AC DC AB 所以Error! 解得Error!所以点 D的坐标为(1,1,2)11解 a(2,3,0)， b(3，2,
36、1)，2 a3 b2(2,3,0)3(3，2,1)(4,6,0)(9，6,3)(5,0,3)，5a6 b5(2,3,0)6(3，2,1)(10,15,0)(18，12,6)(28,27，6) a b (2,3,0) (3，2,1)(2 3 ，3 2 ， )，且( a b) b， ， 0， R，2 3 3 3 2 2 1即 0， R 时， a b与 b平行12证明 依题意： (2,3,1)， (2，5,3)，OA OB 所以 (2，5,3)(2,3,1)AB OB OA - 6 -(4，8,2)同理 (2，4,1)， (10,1,8)，DC AD (8,5,7)BC 由 2 可知， ，| | |
37、.AB DC AB DC AB DC 又 与 无公共点，AD BC 所以四边形 ABCD为梯形- 1 -3.1.5 空间向量的数量积课时目标 1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用1两向量的夹角如图所示，a,b 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 a， b，则OA OB _叫做向量 a 与向量 b 的夹角，记作_如果 a， b ，那么向量 a， b_，记作_ 22数量积的定义已知两个非零向量 a， b，则_叫做向量 a， b 的数量积，记作 ab.即 ab_.零向量与任一向量的数量积为 0.特别地， aa| a|
38、a|cos a， a_.3数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：( a)b (ab) ( R)；ab ba；a(b c) ab ac.4数量积的坐标运算若 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则(1)ab_；(2)ab _；(3)|a| _；aa(4)cos a， b_.一、填空题1若 a， b 均为非零向量，则 ab| a|b|是 a 与 b 共线的_条件2已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么| a3 b|_.3已知向量 a(0，1,1)， b(4,1,0)，| a b| 且 0，则 _.294若 a、 b、 c 为任意向量，下列命题是真
39、命题的是_(写出所有符合要求的序号)若| a| b|，则 a b；若 ab ac，则 b c；( ab)c( bc)a( ca)b；若| a| |b|，且 a 与 b 夹角为 45，则( a b) b.25已知向量 a(2，3,0)， b( k,0,3)，若 a 与 b 成 120角，则 k_.6.设 O 为坐标原点，向量 (1,2,3)， (2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上OA OB OP 运动，则当 取得最小值时，点 Q 的坐标为_QA QB 7向量( a3 b)(7 a5 b)，( a4 b)(7 a2 b)，则 a 和 b 的夹角为_- 2 -8若向量 a， b
40、 满足| a|1，| b|2，且 a 与 b 的夹角为 ，则| a b|_. 3二、解答题9.如图，已知在空间四边形 OABC 中， OB OC， AB AC.求证： OA BC.10.在正四面体 ABCD 中，棱长为 a， M、 N 分别是棱 AB、 CD 上的点，且MB2 AM， CN ND，求 MN.12能力提升11.如图所示，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC ，线段 BD AB，且AB7， AC BD24，线段 BD 与 所成的角为 30，求 CD 的长- 3 -12在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AC BC1， BCA90， AA12, 并取 A1B1、 A1A 的中点分别
41、为 P、 Q.(1)求 的长；B（2）求 cos ， ，cos ， ，并比较 ， 与 ， 的大小；BQ CB1 BA1 CB1 BQ CB1 BA1 CB1 (3)求证： .AB1 C1P - 4 -1数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便2利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角31.5 空间向量的数量积知识梳理1AOB a， b 互相垂直 ab2| a|b|cos a， b | a|b|cos a， b | a|24(1) a1b1 a2b2 a3b3 (2) ab0 a1b1 a
42、2b2 a3b30 (3) a21 a2 a23(4) ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23作业设计1充分不必要解析 ab| a|b|cos a， b| a|b|cos a， b1 a， b0，但当 a 与b 反向时，不能成立2. 13解析 | a3 b|2( a3 b)2 a26 ab9 b216cos60913.| a3 b| .1333解析 a(0，1,1)， b(4,1,0)， a b(4,1 ， )| a b| ，16(1 )2 229.29 3 或 2. 0， 3.4解析 两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题错；ab| a|b|cos a， b ，而 ac| a|c|cos a， c ，于是由 ab ac 推出的是| b|cos a， b| c|cos a， c ，故命题错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题错；( a b)b ab b2 b2 b20，故命题正确5 39解析 cos a， b ，得 k .又 k ， BQ CB1 BA1 CB1 (3)证明 AB1 C1P (1,1,2) 0， .(12， 12， 0) AB1 C1P
