1、11.1.1 任意角学习目标 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)知识点 1 任意角的概念1角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2角的表示顶点：用 O 表示；始边：用 OA 表示，用语言可表示为起始位置终边：用 OB 表示，用语言可表示为终止位置3角的分类类型 定义 图示正角 按逆时针方向旋转形成的角负角 按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)经过 1 小时，时针转过 30.( )(2)终
2、边与始边重合的角是零角( )(3)小于 90的角是锐角( )提示 (1)，因为是顺时针旋转，所以时针转过30(2)，终边与始边重合的角是 k360(kZ)(3)，锐角是指大于 0且小于 90的角知识点 2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2【预习评价】思考 锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角知识点 3 终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S | k360， kZ，即
3、任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和【预习评价】与457角的终边相同的角的集合是( )A | 457 k360， kZB | 97 k360， kZC | 263 k360， kZD | 263 k360， kZ解析 由于4571360972360263，故与457角的终边相同的角的集合是 | 457 k360， kZ | 263 k360，kZ答案 C题型一 与任意角有关的概念辨析【例 1】 (1)下列说法中，正确的是_(填序号)终边落在第一象限的角为锐角；锐角是第一象限的角；第二象限的角为钝角；小于 90的角一定为锐角；角 与 的终边关于 x 轴对称解析 终边落在第一象
4、限的角不一定是锐角，如 400的角是第一象限的角，但不是锐角，故的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故的说法也是错误的；小于 90的角不一定为锐角，比如负角，故的说法是错误的答案 (2)如图，射线 OA 先绕端点 O 逆时针方向旋转 60到 OB 处，再按顺时针方向旋转3820至 OC 处，则 _解析 AOC60(820)760， (760720)40答案 40规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可【训练 1】 写出图(1)，(2)中的角 ， ， 的
5、度数解 题干图(1)中， 36030330；题干图(2)中， 36060150150， 36060( )36060150570题型二 终边相同的角的表示及应用【例 2】 写出终边落在直线 y x 上的角的集合 S，并把 S 中适合不等式360 720的元素 写出来解 直线 y x 与 x 轴的夹角是 45，在 0360范围内，终边在直线 y x 上的角有两个：45，225.因此，终边在直线 y x 上的角的集合：S | 45 k360， kZ | 225 k360， kZ | 452 k180， kZ | 45(2 k1)180， kZ | 45 n180， nZ S 中适合360 720的元
6、素是：452180315；451180135；45018045；451180225；452180405；453180585规律方法 解答本题关键是找到 0360范围内，终边落在直线 y x 的角：45，225，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简【训练 2】 写出终边落在 x 轴上的角的集合 S解 S | k360， kZ | k360180， kZ | 2 k180， kZ | (2 k1)180， kZ | n180， nZ.4典例迁移题型三 象限角和区域角的表示【例 3】 (1)2 017是第_象限角解析 2 0176360143，143是第二
7、象限角，所以2017为第二象限角答案 二(2)已知，如图所示分别写出终边落在 OA， OB 位置上的角的集合写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解 终边落在 OA 位置上的角的集合为 | 9045 k360， kZ | 135 k360， kZ，终边落在 OB 位置上的角的集合为 | 30 k360， kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30到 135之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为 |30 k360 135 k360， kZ【迁移 1】 若将例 3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解 在 0360范
8、围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150 225，则满足条件的角 为 |k360150 k360225， kZ【迁移 2】 若将例 3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？5解 由题干图可知满足题意的角的集合为 |k36060 k360105， kZ k360240 k360285， kZ |2k18060 2 k180105， kZ |(2k1)18060 (2 k1)180105， kZ |n18060 n180105， nZ即所求的集合为 |n18060 n180105， nZ规律方法 表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的
9、起始和终止边界第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角 和 ，写出最简区间 x| x ，其中 360第三步：起始、终止边界对应角 ， 再加上 360的整数倍，即得区域角集合课堂达标1下列说法正确的是( )A三角形的内角一定是第一、二象限角B钝角不一定是第二象限角C终边相同的角之间相差 180的整数倍D钟表的时针旋转而成的角是负角解析 A 错，如 90既不是第一象限角，也不是第二象限角；B 错，钝角在 90到 180之间，是第二象限角；C 错，终边相同的角之间相差 360的整数倍；D 正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角答案 D2378是第_象限角( )A一 B二
10、C三 D四解析 37836018，因为18是第四象限角，所以378是第四象限角6答案 D3把936化为 k360(0 360， kZ)的形式为_解析 9363360144，故936化为 k360(0 360，kZ)的形式为 144(3)360答案 144(3)3604终边在直线 y x 上的角的集合 S_解析 由于直线 y x 是第二、四象限的角平分线，在 0360间所对应的两个角分别是 135和 315，从而 S | k360135， kZ | k360315， kZ | 2 k180135， kZ | (2 k1)180135， kZ | n180135， nZ答案 | n180135，
11、nZ5已知，如图所示，(1)写出终边落在射线 OA， OB 上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合解 (1)终边落在射线 OA 上的角的集合是 | k360210， kZ终边落在射线 OB 上的角的集合是 | k360300， kZ(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是 |k360210 k360300， kZ课堂小结1象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角2 “锐角” ， “090的角” ， “小于 90的角” ， “第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是 0 90；090的角是
12、0 90；小于 90的角为 90；第一象限的角是 |k360 90 k360， kZ3关于终边相同角的认识一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S | k360， kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和注意：(1) 为任意角;(2) k360与 之间是“”号， k360 可理解为7k360( );(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍;(4) kZ 这一条件不能少基础过关1下列说法中，正确的是( )A第二象限的角都是钝角B第二象限角大于第一象限的角C若角 与角 不相等，则 与 的终边
13、不可能重合D若角 与角 的终边在一条直线上，则 k180(kZ)解析 A 错，495135360是第二象限的角，但不是钝角；B 错， 135是第二象限角， 36045是第一象限的角，但 ；C 错， 360， 720，则 ，但二者终边重合；D 正确， 与 的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差 180的整数倍，故 k180(kZ)答案 D2在160；480；960；1 530这四个角中，属于第二象限角的是( )A B C D解析 480120360是第二象限的角；9603360120是第二象限的角；1 530436090不是第二象限的角，故选 C答案 C3若 是第四象限角，则 180 是(
14、)A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析 可以给 赋一特殊值60，则 180 240，故 180 是第三象限角答案 C4角 ， 的终边关于 y 轴对称，若 30，则 _解析 30与 150的终边关于 y 轴对称， 的终边与 150角的终边相同 150 k360， kZ答案 150 k360， kZ8512 点过 小时的时候，时钟分针与时针的夹角是_14解析 时钟上每个大刻度为 30，12 点过 小时，分针转过90，时针转过7.5，14故时针与分针的夹角为 82.5答案 82.56如图所示，写出终边落在直线 y x 上的角的集合(用 0到 360间的角表示)3解 终边落在 y
15、x(x0)上的角的集合是 S1 | 60 k360， kZ，3终边落在 y x(x0)上的角的集合是 S | 240 k360， kZ，3于是终边在 y x 上角的集合是 S | 60 k360， kZ3 | 240 k360， kZ | 602 k180， kZ | 60(2 k1)180， kZ | 60 n180， nZ7已知角 2 010(1)把 改写成 k360 (kZ,0 360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求 ，使 与 终边相同，且360 720解 (1)由 2 010除以 360，得商为 5，余数为 210取 k5， 210， 5360210又 210是第三象限角， 为
16、第三象限角(2)与 2 010终边相同的角为k3602 010( kZ)令360 k3602 010720( kZ)，解得6 k3 (kZ)712 712所以 k6，5，4将 k 的值代入 k3602 010中，得角 的值为150，210，570能力提升8若 A | k360， kZ， B | k180， kZ，9C | k90， kZ，则下列关系中正确的是( )A A B C B A B C C A B C D ABC解析 由题意知集合 A 是终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合，集合 B 是终边在 x 轴上的角的集合，集合 C 是终边在坐标轴上的角的集合，故 ABC答案 D9角 与角 的终
17、边关于 y 轴对称，则 与 的关系为( )A k360， kZB k360180， kZC k360180， kZD k360， kZ解析 方法一 (特值法)：令 30， 150，则 180方法二 (直接法)：因为角 与角 的终边关于 y 轴对称，所以 180 k360， kZ，即 k360180， kZ答案 B10集合 A | k9036， kZ， B |180 180，则A B_解析 当 k1 时， 126；当 k0 时， 36；当 k1 时， 54；当 k2 时， 144 A B126，36，54，144答案 126，36，54，14411若角 的终边与 60角的终边相同，则在 0360
18、内终边与 角的终边相同 3的角为_解析 由题意设 60 k360(kZ)，则 20 k120(kZ)， 3则当 k0,1,2 时， 20，140，260 3答案 20，140，26012写出如图所示阴影部分的角 的范围10解 (1)因为与 45角终边相同的角可写成 45 k360， kZ 的形式，与18030150角终边相同的角可写成150 k360， kZ 的形式所以图(1)阴影部分的角 的范围可表示为 |150 k360 45 k360， kZ(2)同理可表示图(2)中角 的范围为 |45 k360 300 k360，kZ13(选做题)如图所示，半径为 1 的圆的圆心位于坐标原点，点 P 从点 A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知 P 点在 1 s 内转过的角度为 (0 180)，经过 2 s 达到第三象限，经过 14 s 后又回到了出发点 A 处，求 解 0 180，且 k3601802 k360270， kZ，则一定有 k0，于是 90 135又14 n360(nZ)， ，从而 90 135，n1807 n1807 n ， n4 或 572 214当 n4 时， ；当 n5 时， 7207 9007
