1、祁阳一中 2018 届高三月考测试卷（文科数学）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设 ,若 是纯虚数（其中 为虚数单位）,则 （ ）A. B. 2 C. -1 D. 1【答案】D【解析】 ,所以 ,选 D.2. 设集合 , ,则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,所以 = ,选 B.3. 设 xR，则“ x1”是“ x2+x-20”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 x2+x-20,所以“ x1”是“ x2+
2、x-20”的充分不必要条件,选 A.4. 下列函数既是偶函数又在区间 上单调递减的函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是偶函数又在区间 上单调递减; 是奇函数，在区间上单调递增； 是偶函数，在区间 上单调递增; 是偶函数，在区间 上单调递增;因此选 A5. 设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】所求概率为几何概型，测度为面积，区域 D 为正方形，面积为 ；到坐标原点的距离等于 2 为一个圆，到坐标原点的距离大于 2 的点在圆外，所以所求概率为，选 D6. 对某商店
3、一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )A. 46,45,56 B. 46,45,53 C. 47,45,56 D. 45,47,53【答案】A【解析】中位数在 45 到 47 之间，众数为 45，极差为 68-12=56，所以选 A7. 下图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是（ ）A. 15 B. 31 C. 63 D. 127【答案】C【解析】执行循环得：结束循环，输出 ，选 C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次
4、数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8. 已知在等比数列 中, ,若 ,则 （ ）A. 200 B. 400 C. 2012 D. 1600【答案】D【解析】由 ,得 ，选 D9. 下列命题正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 则C. D. 若 且 ，则 的最小值为 4.【答案】D【解析】若 ，则 ; 若 则 不恒成立，如；无解；若 且 ，则 ，所以选 D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，
5、否则会出现错误.10. 若 x， y 满足 则 的最大值是( )A. 1 B. 4 C. 1 D. 4【答案】A【解析】作可行域如图，则直线 过点 A(-1,-1)时取最大值 1,选 A点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.11. 设函数 在 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数,取函数 。当 = 时，函数 的单调递增区间为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】略12. 给出
6、以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(3,2)，则 anm( )A. (m， n m1) B. ( m1， n m) C. (m1， n m1) D. ( m， n m)【答案】A【解析】第 n 行的第 1 个数对为（1，n） ，所以第 m 个数对为(m,n-m+1),选 A点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子
7、、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 处理.二 、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。13. 设 ，向量 ， ，且 ，则 _.【答案】2【解析】因为 ，所以点睛：(1)向量平行： ， ,(2)向量垂直： ，(3)向量加减乘： 14. 函数 的定义域为_.【答案】【解析】要使函数有意义，需 解得 0x1，所以定义域为(0，115. 若 ， ，则 =_.【答案】【解析】因为 ，所以16. 设函数
8、 记 若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：令 ， ，设 ，令 ， ，发现函数 在 上都是单调递增，在 上都是单调递减，函数在 上单调递增，在 上单调递减，当时， ，函数有零点需满足 ，即 考点：函数零点【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为(1)求 的值
9、；(2)若 的面积【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将角的关系化为边的关系： 再根据余弦定理求 的值；（2）由三角同角关系求出 值，再根据三角形面积公式求面积.试题解析： 因为 ，所以 所以 所以因为 ，所以 又因为 ，所以 所以18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组 后得到如右部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图；并估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（2）用分层抽样的方法在分数段为 的学生成绩中抽取一个容量为 6 的样本，再从这 6
10、 个样本中任取 2 人成绩，求至多有 1 人成绩在分数段 内的概率.【答案】 （1）121（2）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图所有小长方形面积之和为 1，求得分数在120，130）内的频率，再除以组距得高，画出直方图；利用组中值与对应概率的积的和计算数学平均成绩（2）先根据分层抽样确定 人数，利用枚举法确定所有基本事件数，从中确定至多有 1 人成绩在分数段 内的事件数，最后根据古典概型概率公式计算概率试题解析：分数在120，130）内的频率（1）1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3，因此补充的长方形的高为 0.03。估计平均分为（2）由题意，1
11、10，120）分数段的人数与120，130）分数段的人数之比为 1：2，用分层抽样的方法在分数段为110，130）的学生成绩中抽取一个容量为 6 的样本，需在110，120）分数段内抽取 2 人成绩，分别记为 m，n；在120，130）分数段内抽取 4 人成绩，分别记为 a，b，c，d；设“从 6 个样本中任取 2 人成绩，至多有 1 人成绩在分数段120，130）内”为事件 A，则基本事件共有（m，n） ， （m，a） ， （m，b） ， （m，c） ， （m，d） ， （n，a） ， （n，b） ， （n，c） ，（n，d） ， （a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （b，c）
12、， （b，d）,（c，d），共 15 个事件 A 包含的基本事件有（m，n） ， （m，a） ， （m，b） ， （m，c） ， （m，d） ， （n，a） ， （n，b） ，（n，c） ， （n，d）共 9 个19. 设函数 ，且 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 .(1)求 的值； (2)求 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （1） 1.（2） ，1【解析】试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把 化为一次形式，但角变为 ，再运用辅助角公式化为 形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为 ，可知此函数的周期为 ，从而利用周期公式易求出 ；（2）本小题在前小题的函
13、数的基础上进行完成，因此用换元法只需令 ，利用 求出 u 的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：（1） 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为 ，又 ，所以 ，因此 .（2）由（1）知 当 时， 所以，因此 故 在区间 上的最大值和最小值分别为 考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 (单位：千元)对年销售量 (单位：t)和年利润 (单位：千元)的影响对近 8 年的年宣传费 和年销售量(i1，2，8)数据作了初步处理，得到右面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.8
14、 1.6 1469 108.8表中 ，(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润 与 的关系为 .根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】 （1）ycd 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 （2）100.668 .（3）年销售量 576.6，年利润预报值 6
15、6.32.年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大【解析】()由散点图可以判断, y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型.()令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.由于所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 .() （）由()知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值=100.6+68 =576.6,年利润 z 的预报值 =576.60.2-49=66.32.（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值=0.2（100.6+68 ）- x=-x+13.6 +20.12,当
16、 = 即 x=46.24 时 取最大值.故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.21. 设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且构成等比数列(1) 证明： ； (2)设数列 前 项和为 ，求 。【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）令 得 ，根据各项均为正数解得（2）利用和项与通项关系得递推关系： ，配方得,即得 ，根据等差数列定义以及通项公式可得.最后利用裂项相消法求和试题解析：（1）当 时， ， （2）当 时， ，,当 时， 是公差 的等差数列.构成等比数列， ， ，解得 ,由（1）可知，是首项 ,公差 的等差数列.数列 的通项公式为 .点睛：裂项相消法是
17、指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如 或 .22. 已知函数 .（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；（）若当 时， ，求 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）先求函数的定义域，再求 ， ， ，由直线方程得点斜式可求曲线 在 处的切线方程为 （）构造新函数，对实数 分类讨论，用导数法求解.试题解析：（） 的定义域为 .当 时，所以曲线 在 处的切线方程为（）当 时， 等价于令 ，则 ，（）当 ， 时， ，故 在 上单调递增，因此 ；（）当 时，令 得 ，由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减，因此 .综上， 的取值范围是考点： 导数的几何意义，函数的单调性.
