1、13.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式知识链接1初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的那么 1的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的大小是否有关？答 规定周角的 做为 1的角；它的大小与它所在圆的大小无关13602用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？答 l ， S .n R180 n R2360预习导引1弧度制(1)定义：单位圆上长度为 1 的圆弧所对的圆心角取为度量的单
2、位，称为弧度，这样的单位制称为弧度制(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零(3)角的弧度数的计算如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| | .lr2角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度 弧度化角度3602 2360180 1801 0.017451801 57.30(180 )(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度 0 1 30 45 60 90 1201351501802703602弧 0 180 6 4 3 2 23 34 56 32 23.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为 R，弧长
3、为 l， (00， l a2 r0，0 ，则Error!解得 ， .12 360 12 3604把 表示成 2 k( kZ)的形式，使| |最小的 值是_114答案 34解析 2 2(1) .114 ( 34 ) ( 34 ) .341.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180”这一关系式度数与弧度数的换算借助“度数 弧度数，弧度数 度数”进行，一些特180 180殊角的度数与弧度
4、数的对应值必须记牢3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度6一、基础达标1300化为弧度是( )A B 43 53C D 54 76答案 B2集合 A 与集合 B | k 2， k Z的关系是( ) | 2k 2， k ZA A B B ABC BA D以上都不对答案 A3已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A2 Bsin2C. D2sin12sin1答案 C解析 r ， l| |r .1sin1 2sin14下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是( )94A2 k45( kZ)B k360 (kZ)94C k
5、360315( kZ)D k (kZ)54答案 C5已知 是第二象限角，且| 2|4，则 的集合是_答案 (1.5，)(0.5，2解析 是第二象限角， 2 k 2 k， kZ， 2| 2|4，6 2，7当 k1 时，1.5 ，当 k0 时，0.5 2，当 k 为其它整数时，满足条件的角 不存在6如果一扇形的弧长变为原来的 倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面32积的_答案 34解析 由于 S lR，若 l l， R R，则 S l R l R S.12 32 12 12 12 32 12 347用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合解 (1)阴影部分内(不包
6、括边界)的角的集合为 |2k 2k ， kZ34 3(2)阴影部分内(不包括边界)的角的集合 |k k ， kZ 6 2二、能力提升8扇形圆心角为 ，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ) 3A13 B23C43 D49答案 B解析 设扇形的半径为 R，扇形内切圆半径为 r，则 R r r2 r3 r. S 内切圆 r2.rsin 6S 扇形 R2 R2 9r2 r2.12 12 3 12 3 32 S 内切圆 S 扇形 23.9下列表示中不正确的是( )A终边在 x 轴上的角的集合是 | k， kZ8B终边在 y 轴上的角的集合是 | k， kZ 2C终边在坐标轴上的角的集合是 | k ，
7、 kZ 2D终边在直线 y x 上的角的集合是 | 2 k， kZ 4答案 D解析 终边在直线 y x 上的角的集合应是 | k， kZ 410已知集合 A x|2k x2 k， kZ，集合 B x|4 x4，则 A B_.答案 4，0，解析 如图所示， A B4，0，11用 30cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为 ，半径为 r，面积为 S，弧长为 l，则有l2 r30， l302 r，从而 S lr (302 r)r12 12 r215 r 2 .(r152) 2254当半径 r cm 时， l302 15cm，152 152扇形
8、面积的最大值是 cm2，这时 2.2254 lr当扇形的圆心角为 2，半径为 cm 时，面积最大，为 cm2.152 225412.如图所示，半径为 1 的圆的圆心位于坐标原点，点 P 从点 A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知 P 点在 1s 内转过的角为 (0 )，2s 时位于第三象限，14s 时又回到了出发点 A 处，求 .解 因为 0 ，且 2k2 2k (kZ)，32则必有 k0，于是 ， 2 349又 14 2 n( nZ)，所以 ，n7从而 ，即 n ， 2n7 34 72 214所以 n4 或 5，故 或 .47 57三、探究与创新13已知一扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R.若 60， R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积解 设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ， 60 ， R10， l R (cm) 3 103S 弓 S 扇 S 10 210sin 10cos 50 (cm2)12 103 12 6 6 ( 3 32)
