1、统计物理答案统计物理答案篇一：统计物理试题及答案院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效电 子 科 技 大 学 2008 至 2009 学 年 第 1 学 期课程考试题（A 卷） （120 分钟） 考试形式： 闭卷考试日期：2008 年 12 月 28 日课程成绩构成：平时 30 分， 期中 0 分， 实验 0 分， 期末 70 分一 . 填空题（本题共 7 题，每空 3 分，总共 21 分）1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：?1?V?11?V?;?T?V?T?pTV?p?1?，则?p?T该物质的物态方程为：pVT?const。2. 1 mol 理想气体，保
2、持在室温下（T?300K）等温压缩，其压强从 1pn 准静态变为 10pn，则气体在该过程所放(来自:WWw.HnnscY.com 博文 学习 网:统计物理答案)出的热量为：RT ln 10?5.74?103 焦耳。3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（T?300K）在完成一次计算后，产生的热量是：kT ln 2?2.87?10-21焦耳。4. 已知巨热力学势的定义为 J?F?N?，这里 F 是系统的自由能，N 是系统的粒子数，?是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：dJ?SdT?pdV
3、?Nd?。 5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为?数，则粒子的平均能量为：2kT。h2m?kTh2mkT12m?p2x?py?pz?ax?bx22?2?c，其中 a,b,c 是常6. 温度 T 时，粒子热运动的热波长可以估算为：?或者?。7. 正则分布给出了具有确定的粒子数 N、体积 V、温度 T 的系统的分布函数。假设系统的配分函数为 Z，微院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效e?ES观状态 s 的能量为 Es，则处在微观状态 s 上的概率为：?s?Z。二. 简答题( 本题共 3 题，总共 30 分)1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为
4、零的原因。 (10 分)答：（1）热力学中研究的热平衡辐射系统，是一个和腔壁达到热力学平衡的系统，热力学理论可以证明，它的吉布斯函数为零。（2 分）（2）从微观角度看，平衡辐射场可以认为是光子气体，每一个单色平面波对应于一个能量和动量确定的光子，腔壁中的辐射场对应于能量和动量从零到无穷大连续取值的光子气体。辐射场和腔壁不断发生热交换，从微观角度来看，相当于交换光子，因此，腔壁中的光子数不守恒。 （2 分） （3）光子是玻色子，满足玻色分布。在确定玻色分布公式的时候，由于光子数不守恒，因此确定第一个拉氏乘子?的条件不存在，从物理上理解，这个拉氏乘子?就应该为零，因为?kT，故化学势为零。（4 分
5、） （4 ）化学势即为摩尔吉布斯函数（或者单个光子的吉布斯函数） ，光子气体的吉布斯函数等于摩尔数（或者平均分子数）乘上化学势，因此光子气体的吉布斯函数为零。（2 分）2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。 (10 分)答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态数。（3 分） （2）玻耳兹曼系统是这样的一个系统，它的各个粒子是可以分辨的，因此，要确定玻耳兹曼的微观状态，就需要确定每一个粒子的微观状态，给出玻耳兹曼系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数，但是这些粒子是哪一些粒子并没有确定。（3 分） （3）由于等概率原理，在给定的
6、宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻耳兹曼系统的最概然分布就是玻耳兹曼分布。（4 分）3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。 (10 分)院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效答：（1）作为热运动的宏观理论，热力学讨论的状态是宏观状态，由几个宏观参量表征，例如对于一个孤立系统，可以用粒子数 N、体积 V 和能量 E 来表征系统的平衡态，状态参量给定之后，处于平衡态的系统的所有宏观物理量都具有确定值。（2 分） （2）系统的微观状态是指构成系统的每一个粒子的力
7、学运动状态，显然，在确定的宏观状态之下，系统可能的微观状态是大量的，而且微观状态不断地发生及其复杂的变化，例如，对于一个没有相互作用的系统中，总能量是由 N 个单粒子能量的简单求和得到的，因此，将会有大量不同的方式选择个别粒子的能量使其总和等于总能量。（2 分）（3 ）等概率原理认为：在任意时刻，该系统处于各个微观态中的任意一个状态都是同等可能的，也就是概率是一样的。对于一个孤立系统，数学表述就是：设所有可能的微观状态的数目?是粒子数 N、体积 V 和能量 E 的函数： ?(N,V,E)，则每一个微观状态的概率为。（3 分）?（4）统计物理认为，宏观物理量是相应的微观物理量的系综平均值，要求系
8、综平均值，就必须知道系统在各个微观状态出现的概率。等概率原理给出了孤立系统的各个微观状态出现的概率，因此，只要知道总的微观状态数，就可以计算各种宏观物理量。这样，等概率原理在连接宏观物理量和相对应的微观物理量之间建立了一个可以计算的桥梁。当然，实际上，对给定的孤立系统，计算总的微观状态数一般是很困难的，但是它是分析其他问题（如分析正则分布和巨正则分布）的基础，等概率原理也称为微正则分布。（3分）三. 计算题( 本题共 4 题，总共 49 分)1. 一均匀杆的长度为 L ，单位长度的定压热容量为 cp，在初态时左端温度为 T1 ，右端温度为 T2 ，T1?T2 ，从左到右端温度成比例逐渐升高，考
9、虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。 （你可能要用到的积分公式为?ln x?dx?）(10 分) ?d?x?ln x?x?。答：设杆的初始状态是左端 l?0 温度为 T1 ，右端 l?L 为 T2 ，从左到右端，位于 l 到 l?dl 的初始温度为T2?T1Ll，达到平衡后温度为T2?T12T?T1?，这一小段的熵增加值为：T1?T22院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效T1?T2dTTlLdS?cpdlT1?T2?T1?cpdl?lnT1?2T2?T1Ll（4 分）根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为T1?T2?S?LL?dS?cpdl?lnT1?2T2?
10、T1L1T2?T1L?lL?cpdl?lnT1?T22LT?T1?cpdl?ln?T1?20L?l? ?cpL?lnT1?T22?cp?d(T2?T1LT?T1?l)?ln?T1?2L?l? ?cpL?lnT1?T22?cp?1T2?T1L?T2T1dx?ln x?cpL?lnT1?T22?cpL?1T2?T1?T2ln T2?T1ln T1?T2?T1?（6 分）2. 设一物质的物态方程具有以下形式：p?f(V)T，试证明其内能和体积无关。(10 分) 证明：以(V,T)作为自变量，则熵的全微分为：?S?S?dS?dT?dV（3 分）?T?V?V?T利用热力学基本微分方程，有：dU?TdS?
11、pdV?S?S?T?dT?T?dV?pdV?V?T?T?V?S?S?T?dT?T?p?dV?T?V?V?T?因此有：院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效?U?S?T?p（3 分） ?V?T?V?T由麦氏关系代入上式，可以得到：?U?p?T?p?V?T?T?V利用物态方程可以知：?p?f(V) ?T?V故有：?U?p?T?p?Tf(V)?p?0（4 分）?V?T?T?V得证。3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算： （1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9 分) （2）二维气体分子的最概然速率。(4分) 答：玻耳兹曼分布的经
12、典表达式是al?e?1?lh0r（2 分）在没有外场时，二维情况下的分子质心运动能量的经典表达式为?p22m?12m(px?py)22在面积 A 内，分子质心平动动量在 dpxdpy 范围内的状态数为Ah20dpxdpy因此，在面积 A 内，分子质心平动动量在 dpxdpy 范围内的分子数为Ah20?12mkT(px?py)22edpxdpy参数由总分子数为 N 的条件定出统计物理答案篇二：统计物理答案院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效电 子 科 技 大 学 2008 至 2009 学 年 第 2 学 期统计物理 课程考试题（A 卷） （120 分钟） 考试形式： 闭卷考试
13、日期：2009 年 5 月 23 日课程成绩构成：平时 30 分， 期中 0 分， 实验 0 分， 期末 70 分一. 填空题（本题共 11 题，每空 3 分，总共 39 分）1. 热力学理论中，最基本的热力学函数是 2. 理想气体的体积膨胀系数为：?1。 T3. 有如下物理量：温度，熵，压强，体积，摩尔热容量，内能，热量，广义力。在这些物理量中，是强度量的物理量是： 温度、压强、摩尔热容量和广义力 。4. 1 mol 理想气体，保持在室温下（T?300K）等温压缩，其压强从 1pn 准静态变为 10pn，则气体在该过程10?5.74?10 焦耳。 所放出的热量为 RT ln5. 对于理想气体
14、，假设在等温过程中体积膨胀为原来的 10 倍，则内能在初态和末态的比值为。 6. 一物体在等温过程（T?300K）中放出的热量为 3000 焦耳，则在该过程中物体的热容量 ?。该过程物体的熵变为 10 J/K。7. 已知巨热力学势的定义为 J?F?N?，这里 F 是系统的自由能，N 是系统的粒子数，?是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：dJ?SdT?pdV?Nd?。8. 有 100 个大小和颜色完全一样的球，放入到 100 个盒子中，每一个盒子只能放一个球，那么从统计物理的角度看，随机填充引起的熵为 0 。如果有一个人对这 100 个球都作了记号，然后再放入到这 100 个盒子，那么他
15、作记号引起的熵变为 S=kln100！。 9. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为?3122px?py?pz2?bx2?c，其中 b,c 是大于零的?2m院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效常数，则粒子的平均能量为 kT?c。10. 温度 T 时，粒子热运动的热波长可以估算为：?h2mkT或者?h2mkT。11. 设某一系统是由 N 个位置固定的谐振子构成的，圆频率都为?，那么该系统的配分函数为Z1?en?0?1?(n?)2?e。 ?1?e1?2二. 简答题( 本题共 2 题，总共 20 分)1. 请解释，室温下电子对气体热容量没有贡献的原因。 (10分)答：原子内
16、电子的激发态和基态能量之差大概是 1-10eV，即10?19?10?18J，相应的特征温度为即104?105K，通常情况下的温度和这个特征温度比较太小，因此，在一般温度下的热运动难以使得电子取得足够的能量而跃迁到激发态，因此电子冻结在基态，对热容量没有贡献。(10 分)2. 请说说你对玻色分布的理解。 (10 分)答：（1）系统各个能级中的粒子数，构成一个数列，称为分布。物理上，需要在给定的分布下，确定系统的微观状态数。（3 分） （2）玻色系统是由自旋为整数的全同粒子构成的一个系统，它是一个量子系统，各个粒子是不可以分辨的，因此，要确定玻色系统的微观状态，就需要确定每一个微观状态的粒子数，玻
17、色系统的每一个量子态的粒子数不受到任何限制。给出玻色系统的一个分布，只是确定了每一个能级的粒子数。（3 分） （3 ）由于等概率原理，在给定的宏观状态下，任何一种微观状态出现的概率是一样的。不同的分布对应的微观状态数是不一样的，因此，对应微观状态数最多的分布，出现的概率最大，这就是最概然分布。玻色系统的最概然分布就是玻色分布。（4 分）三. 计算题( 本题共 3 题，总共 41 分)1. 将质量相同而温度分别为 T1 和 T2 的两杯水在等压下绝热的混合，计算水温稳定后总的熵变。 (9 分)院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效解：两杯水等压绝热混合后，终态的温度为T1?T2,
18、 以 (T,p)为状态参量，两杯水的初态分别为 2(T1,p)和(T2,p) ，终态都为 (T1?T2,p)。（3 分） 2在压强保持不变时，焓的微分为：dH?dU?pdV, 因此热力学基本方程：dS?dU?pdVdH?（3 分） TT这样，两杯水的熵变分别为：?S1?T1?T22T1T1?T22T2CpdTTCpdTT?Cp lnT1?T2, 2T1T1?T2, 2T2?S2?总的熵变为：?Cp ln(T1?T2)2（3 分） ?S1?S2?Cp ln4T1T22.（1）计算二维空间中（面积为 A） ，在 p?p?dp 内，自由粒子的量子态的数目。 （4 分） （2 ）计算计算二维空间中（面
19、积为A）的平衡辐射的平均总光子数。 （4 分） （3）计算二维空间中平衡辐射的普朗克公式以及内能公式。 (8 分) （积分公式：答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为 L，根据周期性边界条件，二维自由粒子在 x 和 y 方向的动量分量的可能取值为：?x?2?x2dx?;?xdx?2.404） x06e?1e?1hnx;nx?0,?1,?2,? Lhpy?ny;ny?0,?1,?2,?Lpx?因此，在 px?px?dpx 内，可能的 px 的数目为：院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效dnx?在 py?py?dpy 内，可能的 py 的数目为：Ldpx hdny?2Ldpy
20、 h在面积 A?L 内，在 px?px?dpx 内，在 py?py?dpy 内，自由粒子的量子态的数目为：Ldnxdny?()2dpxdpyh采用柱坐标，将角度部分积分掉，得到在面积 A?L 内，在p?p?dp 内，自由粒子的量子态的数目为：2L()22?pdp（4 分） h（2 ） （真空中的）平衡辐射实际上可以分解为无穷多个单色平面波的叠加，设某一种单色平面波的波矢为k，圆频率为?，则对于真空中的单色平面波，有线性色散关系：?ck，这里 c 为真空中的光速。代入到上式中，考虑到单色平面波有两个偏振方向，得到在面积 A?L内，在?d?的圆频率范围内，光子的量子态的数目为：2LL?A2()22
21、?pdp?2()22?()2?d?2?d? hhc?c根据玻色分布，一个量子态上的平均光子数为：1e?1?e1?1上式中，已经考虑到光子的化学势为零。因此在面积 A 内，在?d?的圆频率范围内，光子的数目为：dN?对上式进行积分，得到平均总光子数：A?d? 2?ce?1N?A?A22d?kT（4 分） 2?22?ce?16c?（3 ）在面积 A 内，在?d?的圆频率范围内，光子的能量为：A?2U(?,T)d?dN?2?d? （4 分）?ce?1院别 班次学号 姓名密 封 线 以 内 答 题 无 效这就是二维空间中平衡辐射的普朗克公式。对上式积分，可以得到平衡辐射总的内能：U?A?2Ad?k3T
22、3?2.404（4 分）2?22?ce?1?c?3.（1 ）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为：p?这里，A 是面积。 （6 分）UA（2 ）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为 n?N 的费米能量、内能和简并压强。(10 分)A，试求 0 K 时电子气体答：（1）不妨假设二维空间为正方形，边长为 L，根据周期性边界条件，二维自由粒子在 x 和 y 方向的动量分量的可能取值为：hnx;nx?0,?1,?2,? Lhpy?ny;ny?0,?1,?2,?Lpx?因此对于非相对论的自由粒子，能量为：?nnxyp21h221h2222?()(nx?ny)
23、?(nx?ny)?aA?1 2m2mL2mA以单一指标 l 代替(nx,ny) ，上式可以记为：?l?aA?1因此当有 N 个粒子存在时，产生的压强为：p?l?lUal?(?1)aA?2al?A?1?lal?（6 分）?AAll（2 ）在面积 A?L2 内，在 p?p?dp 内，自由粒子的量子态的数目为：L()22?pdp （2 分） h2p 由于电子自旋为，因此利用自由粒子的非相对论能量动量关系?，得到在?d?m统计物理答案篇三：热力学统计物理_答案1.2 证明任何一种具有两个独立参量 T,p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数?，根据下述积分求得：lnV=?dT? T
24、dp?如果?,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以 T,p 为自变量，物质的物态方程为V?V?T,p?,其全微分为?V?V?dV?dT?dp. （ 1） ?T?p?p?T全式除以 V，有dV1?V?1?V?dT?dp. ?VV?T?pV?p?T根据体胀系数?和等温压缩系数 ?T 的定义，可将上式改写为dV?dT?Tdp. （2） V上式是以 T,p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnV?dT?Tdp?.（3 ）若?,?T?，式（3 ）可表为?11?lnV?dT?dp?. （4 ）p?T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0) 积分到 ?T,p0?，再积分到（T,p） ，相
25、应地体1 / 16积由 V0 最终变到 V，有lnVTp=ln?ln, V0T0p0即pVp0V0， ?C（常量）TT0或pV?1T1pC. T （5 ）式（5 ）就是由所给?,?T?求得的物态方程。 确定常量 C 需要进一步的实验数据。1.10 声波在气体中的传播速度为? 假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声速及?给出：a2u?u,?10a2h ?h ?-10其中 u0,h0 为常量。解：根据式（1.8.9 ） ，声速 a 的平方为a2?pv, （1）2 / 16其中 v 是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为pV?mRT, ?
26、m1RT, （2） ?m式中 m 是气体的质量，m?是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，有pv?代入式（1）得a2?m?RT. （3）以 u,h 表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓） 。由式（1.7.10） （1.7.12 ）知m?u?RT?m?u0, ?1m?h?RT?m?h0. （4） ?1将式（3）代入，即有a2u?u, ?(?1)0a2h?h0. （5） ?1式（5 ）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和?即可确定气体的比内能和比焓。1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由 T1 升至T2。 假设?是常数，试证明前者的熵增加值为后者的?倍。解：根
27、据式（1.15.8） ，理想气体的熵函数可表达为S?CplnT?nRlnp?S0.（1）在等压过程中温度由 T1 升到 T2 时，熵增加值 ?Sp 为?Sp?CplnT2.（2） T1根据式（1.15.8） ，理想气体的熵函数也可表达为S?CVlnT?nRlnV?S0.（3）在等容过程中温度由 T1 升到 T2 时，熵增加值 ?SV 为3 / 16?SV?CVlnT2. （4） T1所以?Sp?SV?CpCV?.（5）1.21 物体的初温 T1，高于热源的温度 T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到 T2 为止，若热机从物体吸取的热量为 Q，试根据熵增加原理证明，此热机所
28、能输出的最大功为Wmax?Q?T2(S1?S2)其中 S1?S2 是物体的熵减少量。解：以?Sa,?Sb 和 ?Sc 分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为?S?Sa?Sb?Sc.由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求?S?Sa?Sb?Sc?0. （1 ）以 S1,S2 分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为?Sa?S2?S1. （2）热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即?Sb?0.（3）以 Q 表示热机从物体吸取的热量，Q?表示热机在热源放出的热量，W 表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有Q?Q?W,所以
29、热源的熵变为?Sc?Q?Q?W?. （4） T2T2将式（2）（4）代入式（1 ） ，即有S2?S1?Q?W?0. （5 ） T2上式取等号时，热机输出的功最大，故Wmax?Q?T2?S1?S2?. （6 ）4 / 16式（6 ）相应于所经历的过程是可逆过程。2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：p?f(V)T,试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：故有但根据式（2.2.7 ） ，有?U?p?T?p, （3） ?V?T?T?V?p?f(V). （2 ） ?T?Vp?f(V)T,（1）所以?U?Tf(V)?p?0. （4） ?V?T这就是说，如果物质具有形式为（1 ）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度 T 的函数.2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分
