1、小学数学奥数基础教程(四年级)本教程共 30 讲最不利原则在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。例 1 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各 20 个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有 4 个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的 4 个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的 4 个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有 4 个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如
2、果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出 3 个红球、3 个黄球和 3 个蓝球，此时三种颜色的球都是 3 个，却无 4 个球同色。这样摸出的 9 个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有 4 个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出 10 个球。由例 1 看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例 1 的问题是“最少摸出几个球就可能有 4 个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4 个”。现在的问题是“要保证有 4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分
3、析问题。例 2 口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共 18 个。其中红球 3 个、黄球 5 个、蓝球 10 个。现在一次从中任意取出 n 个，为保证这 n 个小球至少有 5 个同色，n 的最小值是多少？分析与解：与例 1 类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了 3 个红球、4 个黄球和 4 个蓝球，共 11 个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有 5 个球颜色相同。因此所求的最小值是 12。例 3 一排椅子只有 15 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的
4、最少有几人？分析与解：将 15 个座位顺次编为 115 号。如果 2 号位、5 号位已有人就座，那么就座 1 号位、3 号位、4 号位、6 号位的人就必然与 2 号位或5 号位的人相邻。根据这一想法，让 2 号位、5 号位、8 号位、11 号位、14 号位都有人就座，也就是说，预先让这 5 个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为 5 人。例 4 一把钥匙只能开一把锁，现有 10 把钥匙和 10 把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解：从最不利的情形考虑。用 10 把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了 9 次，前 8 次都
5、没打开，第 9 次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第 10 把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验 8 次第九把锁只需试验 1 次，第十把锁不用再试（为什么？）。共要试验9872145（次）。所以，最少试验 45 次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。例 5 在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各 1 张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各 13 张，共计有 54 张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各 13 张，再加上 2 张王牌。这 41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一
6、种花色的 13 张牌，再抽 1 张，四种花色都有了。因此最少要拿出 42 张牌，才能保证四种花色都有。例 6 若干箱货物总重 19.5 吨，每箱重量不超过 353 千克，今有载重量为1.5 吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？分析与解：汽车的载重量是 1.5 吨。如果每箱的重量是 300 千克（或1500 的小于 353 的约数），那么每辆汽车都是满载，即运了 1.5 吨货物。这是最有利的情况，此时需要汽车19.51.513（辆）。如果装箱的情况不能使汽车满载，那么 13 辆汽车就不能把这批货物一次运走。为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。最不利的情况
7、就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。因为35341500，所以每辆车至少装 4 箱。每箱 300 千克，每车能装 5 箱。如果每箱比 300 千克略多一点，比如 301 千克，那么每车就只能装 4 箱了。此时，每车载重30141204（千克），空载 1500-1204296（千克）。注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。19500120416236，也就是说，19.5 吨货物按最不利的情况，装 16 车后余 236 千克，因为每辆车空载 296 千克，所以余下的236 千克可以装在任意一辆车中。综上所述，16 辆车可确保将这批货物一次运走。 练习 281.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、
8、蓝三种颜色的小球各 20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有 5 个小球颜色相同？2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共 20个，其中红球 4 个、黄球 6 个、蓝球 10 个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有 6 个小球颜色相同？3.一排椅子共有 18 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？4.一张圆桌有 12 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已经就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？5.口袋里有三种颜色的筷子各 10 根。问：（1）至少
9、取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？6.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各 20 只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有 2 双颜色不相同的袜子？7.一把钥匙只能开一把锁，现有 10 把锁和其中的 9 把钥匙，要保证这 9 把钥匙都配上锁，至少需要试验多少次？8.10 吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过 1 吨。为了确保将这批货物一次运走，最少要准备几辆载重量为 3 吨的汽车？答案与提示练习1.13 个。 2.15 个。 3.6 人。 4.4 人。5.（1）21 根； （2）13 根； （3）1
10、0 根。6.23 只。7.45 次。提示：第一把钥匙试验了 9 把锁，第二把钥匙试验了 8 把锁第九把钥匙试验了 1 把锁。8.5 辆。提示：因为每辆车至少能运 3 箱货物，34=0.75（吨），所以每箱货物略重于 0.75 吨，可使空载较大。假设每箱装 0.76 吨，由于10=0.7613+0.12，则可将这批货物分装在 13 只 0.76 吨和 1 只 0.12 吨的箱子中。因为每辆车只能装 3 只 0.76 吨的箱子，所以至少要 5 辆车。四年级数学运算律学案 10.2.6知识点整合1、两个数相加，交换加数的位置，结果不变，这叫做加法的交换律。用字母表示为 a+b=b+a 。2、三个数相
11、加，先把前两个数相加，再和第三个数 相加；或者先把 后两个数相加，再和第一个数相加，它们的结果不变，这叫做 加法的结合律。用字母表示为 (a+b)+c=a+(b+c)。3、两个数相乘，交换乘数的位置，结果不变，这叫做 乘法的交换律。用字母表示为 a*b=b*a。4、三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的结果不变，这叫做 乘法的结合律。用字母表示为(a*b)*c=a*(b*c)。小试牛刀1、在 内填上数，在 内填上运算符号，在横线上填上运用的运算定律。293717137（ ） 。425842（ ） 。47 28 。4273973（427 ）
12、 。3521221（ ） 。451645 1773041772、计算 6426 后，可以交换两个数的位置验算，是用了（ ）律。例题讲解例一：443756 变式：16349261 74（137326）例二：5（632）变式：3625 2512532 课后作业：二、用竖式计算下面各题，并验算。618324 7628 72818三、简便计算。249402 18935211165 48323664582157182 6552 152343522 540452 54036四、解决实际问题1、食堂买来 5 筐西红柿，每筐 24 千克，每千克 2 元，这些西红柿一共多少元？2、一只熊猫体重 75 千克，一只小象的体重比熊猫的 12 倍少 20 千克，小象的体重多少千克？3、每个书架有三层，每层大约放 20 本书。（1）三个书架大约一共放多少本书?(2)学校图书馆又新买来 550 本新书，增加几个这样的书架比较合适？
