1、1线 性 代 数 试 题 一、 填空题（每题 2 分，共 10 分）1向量组(A): 1,r 与向量组(B): 12,s 等价，且向量组(A)线性无关，则 r与s的大小关系是 . 2设矩阵 182342baA为正交矩阵，则 a ， b 。3. 若410,k则 k的取值为 。 4. 已知 21,是非齐次线性方程组 bAx线性无关的解， A为 32矩阵，且秩 )(Ar。 若 21l是方程组 的通解，则常数 lk， 须满足关系式 。5. 设10，则 n 。二、选择题（每题 2 分，共 10 分）1 行列式401xx的值等于（ ）（A） 25 ( B) 254x( C) 3x (D) 2. 设向量组
2、21,线性无关, 432,线性相关 ,则以下命题中，不一定成立的是 。(A) 1不能被 432,线性表示； (B) 2不能被 431,线性表示；(C) 4能被 1线性表示； (D) 1,线性相关.3. 设 A为 mn矩阵， B为 nm矩阵，且 n。则关于矩阵 AB正确的说法是 。(A) 秩 ()r； (B) 秩 ()rn；(C) 秩 i(),rA； （D） 0.4 ，秩且，阶 方 阵为设 3)(44, Br和 的伴随矩阵为 B和 ，2_)(BAr与 。(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 5.已知 432,是线性空间 V的一个基，以下 也是 V的基。(A) 14321 ，；(B
3、) ， ；(C) 14321， ；(D) ，。三、计算题(每题 10 分,共 60 分)1.计算 n阶行列式 1232Dn 2. 设 3 阶方阵 BA， 满足方程 EBA2，试求矩阵 B以及行列式 ，其中 10102，。3. 设 A为三阶实对称矩阵，且满足 2EA已知向量01、 102是 对应特征值 1的特征向量，310是 A对应另一个特征值的特征向量，求 nA，其中 为自然数。4.设矩阵201，矩阵 X满足 2,AEX求矩阵 。5. 已知线性空间 3R的基 321与到基 31与的过渡矩阵为 P，且01， 2， 3； 0421P试求出在基 2131,与 下有相同坐标的全体向量。 6. 解设有线
4、性方程组312()0x，3问 取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解.四、证明题(每题 10 分,共 20 分)1设 为 n维列向量，且 1T，矩阵 TEA，证明：行列式 0|A。2. 设 A是 m实矩阵, 0是 m维实列向量，证明：（1） 秩 )()Ar； （2）非齐次线性方程组 Tx有解。线性代数试题答案一、填空题（每题 2 分，共 10 分）1. rs； 2. 0,3/1ba； 3. 13或 者 ；4. lk,1为任意常数；（提示： 是导出组的一个基础解系，通解 12 )(121l） 5.0n. 二、选择题 （每题 2 分，共 10 分）1.(D) 2.(B)
5、 3.(D) 4.(A) 5.(C) 三、计算题 (每题 10 分,共 60 分) 1. 101022(2)!00Dnn 2. EAB)(2 012/02)()( 1112/|3. 0)(EA，特征值 1、1、2， 2，特征向量 (,)T，所以 10)2(01nnnnnnA)2(10)2(11)(4. 由于矩阵 X满足 ,AEX所以 ()(),AEAE而 1,矩阵 AE可逆，因此 45解设 ),(321A, ),(321B,则2013.XAEAPB。设所求向量的坐标为 x，则 Px，即 )(x， 因为 为可逆矩阵，得 0E，由 11342)(P得 Tkx与1， 故 Tk与()(32 6. 100 3()()()()1 (A,b)（1） ,3唯一解。 （2） 无解。 （3） 无穷解。四、证明题 (每题 10 分,共 20 分)1证：因为 A2，特征值的可能取值为 10与。的对角线元素之和为 nnT，(或 ATTT ,非正定)所以 0是 的一个特征值，故行列式 |2. 证:（1）因为若 0，则 0A；而当 0T时，由)(|2TTA，得 。因此齐次线性方程组 x与 x，同解，故秩 ()rT。（2）因为秩 )()()()() ArArrr TTTT 与与因此 (AArT与，故非齐次线性方程组 x有解。
