1、09届钻石卡内部资料 1 第一部分 线性方程组 内容：1、齐次线性方程组有非零解的判定 2、非齐次线性方程组有无解的判定 3、当齐次线性方程组有非零解时，求其非零解 4、当非齐次线性方程组有解时，求解 5、公共解、同解问题 难点：基础解系的选取 1、解的判定 以mn 矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组 0Ax = ，如果把A 按列分块为( )12,nA aaa= L ，它就可以表示为向量等式 1122 0nnxxxaaa+=L ，因此 0Ax = 有非零解的充要条件是 12,naaaL 线性相关，即 12()(,)nrArnaaa=L 设A是mn 矩阵， ( )12,nA aaa= L ，齐次
2、线性方程组 0Ax = 只有零解 12,naaaL 线性无关 ()rAn= A= 的列数 0A ()mn= 齐次线性方程组 0Ax = 有非零解 12,naaaL 线性相关 ()rAn 0A = ()mn=非齐次线性方程组Axb= 有解 ()(,)rArAb= b能由A的列向量线性表示 非齐次线性方程组Axb= 无解 ()(,)rArAb (,)()1rAbrA=+ 非齐次线性方程组Axb= 有无穷多解 ()(,)rArAbn= Axb= 有唯一解的充要条件是 (,) ()rAbrAA=的列数. 例1 设1231211232,3,120xAabxxax=+= I:0Ax = 只有零解，则a I
3、I:Axb= 无解，则a PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 2 例2 方程1231111112axaxax=有无穷多个解,则a = . 例3若线性方程组121232343414,.xxaxxaxxaxxa += +=+= +=有解,则常数 1234,aaaa应满足条件 . 例 4 设A是mn 矩阵， 0AX = 是非齐次线性方程组AXb= 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 (A)若 0AX = 仅有零解，则AXb= 有唯一解. (B) 若 0AX = 非零解，则AXb= 有无穷多个解. (C) 若AXb= 有无穷多个解.，则 0A
4、X = 仅有零解 (D) 若AXb= 有无穷多个解， 0AX = 非零解. 2、解的性质 性质1齐次线性方程组恒有解； 性质2若 12,xx是齐次线性方程 0Ax = 的两个解，则 1122kxkx+ ( 12,kk为任意常数)也是它的解. 性质3 ,ab为Axb= 的解，则ab 为 0Ax = 的解. 性质4 设 12,saaaL 为Axb= 的解，则 111(1)ssskkkkaa+=LL仍为Axb=的解. 3、解的结构 齐次线性方程组 0AX = 的任一解均可表为其基础解系的线性组合，即 1122 nrnrkkkhhhh=+L 其中 12,(),nrRArhhh= L 为基础解系. 若A
5、xb= 有解，则其一般解为 0xxx=+其中 0x 是Axb= 的一个特解(某一个解)；而 1122 ppxkxkxkx=+L 是 0Ax = (也称Axb= 的导出组)的一般解. ():nrA 基础解系中解向量的个数每个解向量中自由变量的个数 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 3 例 5 已知 1b ， 2b 是Axb= 的两个不同的解， 1a ， 2a 是相应齐次线性方程组 0Ax = 的基础解系， 12,kk是任意常数，则Axb= 的通解是 （A） 1211212()2kk bbaaa + ；（ B ） 1211212()2kk bb
6、aaa + （C） 1211212()2kk bbabb + ；（ D ） 1211212()2kk bbabb + 例6设A为n阶方阵， ()1rAn=， 12,aa是 0Ax = 的两个不同的解向量，则 0Ax = 的通解必定是 （A） 12aa+ （B） 1ka （C） 12()k aa+ （D） 12()k aa 例704,三设A为n阶矩阵， * 0A ，若 1234,xxxx是Axb= 的互不相等的解，则 0Ax =的基础解系 （A）不存在 （B）仅含一个非零解向量 （C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量 4、求解 （1）基础解系 （2）如何确定自由变量并赋值
7、？ 对系数矩阵作初等行变换化为阶梯型 由 ()RA确定自由变量的个数 ()nRA 找出一个秩为 ()RA的矩阵，其余的 ()nRA 列对应的就是自由变量 每次给一个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0(注意共需赋值 ()nRA 次) （3）例题： 题型一 带参数的齐次线性方程组的求解 例 8 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,axxxxxaxxxxxaxxxxxax+= += +=+=试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部
8、资料 4 例9已知线性方程组123123222123000xxxaxbxcxaxbxcx+= += +=（1） ,abc满足何种关系时，方程组仅有零解？（2） ,abc满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。 题型二 带参数的非齐次线性方程组的求解(求基础解系时，千万不能把常数项代入求解。) 例10 已知线性方程组1234512345234512345,3 30,226,543 2,xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx+= +=+=+=（1） ,ab为何值时,方程组有解? （2）方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系; （3）方程组有解时,求出方程组的全部解.
9、例11 设向量组， 123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,)TTTTabcaaab=试问 ,abc满足什么条件时， （1）b 可由 123,aaa线性表出，且表示唯一？ （2）b 不能由 123,aaa线性表出？ （3）b 可由 123,aaa线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 5 题型三 公共解、同解问题 例12已知齐次线性方程组 （i） =+=+=+,0,0532,032321321321axxxxxxxxx和 （ii） =+=+,0)1(2,03221321xcxbxcx
10、bxx 同解，求 ,abc的值. 例13设线性方程组123123212302040xxxxxaxxxax +=+= +=(1) 与方程 12321xxxa+= (2) 有公共解，求a得值及所有公共解. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 6 第二部分 线性相关、无关的证明 对于 12,saaaL 恒有 120000saaa+=L 。 12,saaaL 是否线性相关，就是问除上述情况外，能否再找到一组数 12,skkkL 使得 1122 0sskkkaaa+=L 仍能成立？如可以则相关。如若不行，则对任一组不全为 0 的数 12,skkkL 恒
11、有1122 0sskkkaaa+L ，则相关。 12,saaaL 线性相关（无关） 0Ax = 存在非零解（只有零解） ()rAs （ ()rAs= ） ia 能由其余 1s 个向量线性表出（ ia 都不能由其余 1s 个向量线性表出） 部分相关，整体相关（部分无关，整体无关） 1n + 个n维向量线性相关（无关组的延长组线性无关；正交向量组线性无关） 方法一：用定义 a同乘 例1（2008，二、三、四）设A为3阶矩阵， 12,aa为A的分别属于特征值 1,1 特征向量，向量 3a 满足 323Aaaa=+，证明 123,aaa线性无关。 例2 A是n阶矩阵， 123,XXX是n维列向量，且
12、1 0X ， 11AXkX= ， 212AXlXkX=+，323,0AXlXkXl=+，证明： 123,XXX线性无关。 例3设 12,saaaL 为线性方程组 0Ax = 的一个基础解系， 11122,ttbaa=+ 21223121,ssttttbaabaa=+=+L 其中 12,tt为实常数.试问 12,tt满足什么关系时，12,sbbbL 也为 0Ax = 的一个基础解系. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 7 例4 n维向量 12,naaaL 非零且两两正交，证明： 12,naaaL 线性无关。（题中的条件是正交，通过内容做恒等变
13、形。） 例 5 （01，四）设 12(, )(1,2,)Tiiiinaaairrna =L 是n 维实向量,且 12, raaaL 线性无关.已知 12(,)Tnbbbb = L 是线性方程组1111221211222211220,0,0,nnnnrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxax+= += +=LLLL 的非零解向量.试判断向量组 12,raaabL 的线性相关性. b重组 例6 已知 123,aaa线性无关，证明 122312323,aaaaaaa+线性无关。 例7 （用定义，同乘且重组）设 12,taaaL 是 0Ax = 的基础解系，b 不是 0Ax = 的解，证明 12,
14、 tbababa+L 线性无关。 方法二：用秩 例8 （即例5）令 112223312323,baabaabaaa=+=+，则 123,aaa与 123,bbb等价。 例9 设 121,naaaL 是 nR 中的线性无关向量组，又知向量 (1,2)j jb = 与向量121,naaaL 均正交，证明 12,bb线性相关。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 09届钻石卡内部资料 8 例10 已知n维向量 123,aaa线性无关，若 123,bbb可用 123,aaa线性表出。设( ) ( )123123, Cbbbaaa= 。证明 123,bbb线性无关 0C。 方法三：方程组 例11 证明：如果 123,bbb可由 12,aa线性表出，则 123,bbb线性相关。 方法四：反证 例12 如果b 可以由 12,saaaL 线性表出，证明：表示法唯一的充要条件是 12,saaaL 线性无关。 例13 设向量 1 0a ，证明：向量组 12,(2)m maaaL 线性相关存在某向量 (2)j ja 使得 ja 可由 121,jaaaL 线性表示。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建
