1、 1第三回合：謀深算 學系 目的 通過學游戲活動激發同學們的學思考能及對學的興趣。 比賽形式 比賽由第一回合(改頭換面)與第二回合(智能問答)組成。以小組形式進每組 5 人。時間約需一小時。 評分 第一回合要求完成四個圖形。每完成一個圖形並能找到最佳答案者(即最少次)得 10分能找到解答但答案是最佳者(即是最少次)得 5 分沒有解答或解答錯誤者得0 分。第二回合要求回答五個問題。正確回答一個問題得 5 分正確或沒有回答給分。第一第二回合得分之和即為每組之總得分。 比賽規則與內容 第一回合 改頭換面 四個圖形逐題發放。交還一題後可獲發另一圖。如此繼續比賽時限為 30 分鐘。以下是比賽的內容 將
2、2n 個銅板放在正方形的格子中如下圖所示上面一的 n 個銅板是正面(H) 朝上下面一 n 個銅板是背面(T) 朝上。最右邊有個空格備用。 H H H H H H H H H T T T T T T T T T n 2請盡以最少的次 將銅板正背面的位置對調使得上面一全為 T下面一全為H。移動正或背面的銅板到相鄰的空格移動方向可以往上往下橫向或對角線方向。 範 H H T T 解 答 H H T T 1 H H T T 2 H HT T 3 T H H T 4 3T H H T 5 T T H H 6 T T H H 共用 6 次移動。上面的步驟可簡明地表示如下 H 2 H 1 4 6 3 T 5
3、 T (注6 次移動是本題的最佳答案) 以下是比賽的四個圖形 4圖 1 H H H T T T 圖 2 H H H H T T T T 圖 3 H H H H H T T T T T 圖 4 H H H H H H T T T T T T 5第二回合智能問答 五個問題同時發給每個小組由每個小組所有成員討解答。限時 20 分鐘。 以下是比賽的五個問題 1。請以字填入下面的空位 * 中完成下的算式。 5*5*03*)5*7*)*2*+2。從 1 開始到 為止的所有相鄰的正整全部相乘起。其積被 12 整除其商又被 12 整除這樣一直做下去最後的商變成 25025。 請問從 1 開始最少要有多少個相鄰
4、的正整相乘 321 = , 25025121212 = . (提示 13117525025,321222= ) 3。箱中放置黑球白球干個。每次取出黑球 5 個白球 3 個。到某回合時白球正好沒有黑球還剩 8 個。又每次取出黑球 7 個白球 3 個黑球正好沒有時白球還剩 24個。問箱中白球有幾個 4。下圖中外側大正方形邊長為 20 公分。斜線部分面積為 104 平方公分。求最小的正方形之邊長。(提示觀察圖形注意圖形的對稱性) 620 cm5。下圖中AB 與 PQAC 與 BP 彼此垂直。AQ /QB = PC/CB = 1/2 時三角形 BRP 之面積為三角形 ARP 面積之幾倍 A Q R B
5、 P C (提示三角形面積 = (底邊長)(高)/2) 附 第一回合答案 圖1 解答 H 3 H H 1 4 5 T 2 T 6 7 T 共 用 7 次 移動 。 這 是 本 題 的 最 佳 答案 即 最 少移動次。由如下 71。 首先最右邊的 H(或 T) 必須向右移動一步。這 就是有一個 H (或 T) 至少 需要移動二次才能到達下面一的格子。而具餘的 2 個 H 和 3 個 T 每個至少 移動一步才能到達下面或上面一的格子。因此所有的 H 和 T 總共至少 需移動 7132 =+ 次才能達到 H 與 T 互換位置的目的。 2。 如上圖所示我們確實已找到一種方法能在移動 7 次後使 所有的
6、 H 與 T 互換 位置。所以 7 次 移動是 本 題 的 最 佳 答案。 對一般的 n 最 佳 答案是 2n+1 次 移動。由與本題相似。 圖2 解答 H 5 H 3 H 7 H 1 9 4 T 6 T 2 T 8 T 圖3 解答 H 5 H 7 H 3 H 9 H 1 11 6 T 4 T 8 T 2 T 10 T 圖4 解答 H 7 H 5 H 9 H 3 H 11 H 1 13 86 T 8 T 4 T 10 T 2 T 12 T 第二回合答案 1。請以字填入下面的空位 * 中完成下的算式。 5*5*03*)5*7*)*2*+解答 572510031)572274)523+2。從 1
7、開始到 為止的所有相鄰的正整全部相乘起。其積被 12 整除其商又被 12 整除這樣一直做下去最後的商變成 25025。 請問從 1 開始最少要有多少個相鄰的正整相乘 321 = , 25025121212 = . (提示 13117525025,321222= ) 解答 9= 321 13 3。箱中放置黑球白球干個。每次取出黑球 5 個白球 3 個。到某回合時白球正好沒有黑球還剩 8 個。又每次取出黑球 7 個白球 3 個黑球正好沒有時白球還剩 24個。問箱中白球有幾個 解答 x = 白球個 y = 黑球個 x = 3m y = 5m + 8 x = 3n + 24 y = 7n n = 24
8、 , x = 96 4。下圖中外側大正方形邊長為 20 公分。斜線部分面積為 104 平方公分。求最小的正方形之邊長。(提示觀察圖形注意圖形的對稱性) 20cm解答 外側大正方形面積 = 400 , 斜線部分面積為 104 = (1/4) (外側大正方形面積) + 4 , 由圖形的對稱性可知 (1/4)(最小的正方形面積) = 104 - 100 = 4 , 最小的正方形面積 = 16 , 最小的正方形之邊長 = 4 (公分) . 105。下圖中AB 與 PQAC 與 BP 彼此垂直。AQ /QB = PC/CB = 1/2 時三角形 BRP 之面積為三角形 ARP 面積之幾倍 A Q R B
9、 P C (提示三角形面積 = (底邊長)(高)/2) 解答妨設 三角形 ABP 面積 = 1. 三角形 ARP 面積 + 三角形 RCP 面積 = 三角形 ACP 面積 = 1/3 三角形 ARP 面積 + 三角形 RAQ 面積 = 三角形 PQA 面積 = 1/3 三角形 RCP 面積 = 三角形 RAQ 面積 . 三角形 BRP 面積 = 3 ( 三角形 RCP 面積) = 3 (三角形 RAQ 面積) , 三角形 BRA 面積 = 3 ( 三角形 RAQ 面積) = 3 (三角形 RCP 面積), 5 (三角形 RCP 面積) = 三角形 ABC 面積 = 2/3 , 三角形 RCP 面積 = 2/15 , 三角形 BRP 面積 = 3 ( 三角形 RCP 面積) = 2/5. 三角形 ARP 面積 = (三角形 ACP 面積) - (三角形 RCP 面積) = 1/3 - 2/15 = 1/5 , (三角形 BRP 面積)/ (三角形 ARP 面積) = 2 . (答案)
