1、2014年第3期 中学数学教学 ， ” “ “ “、 聚 焦f + ；新课程； + + + 基于教材的教学延伸策略 以人教A版第二章圆锥曲线与方程的教学为例 福建省泉州第五中学 杨苍洲 (邮编：362000) 福建省南安第一中学 林少安 (邮编：362300) 摘要 叶圣陶先生说：“教材无非是个例子”教学流程的安排、学习情景的呈现等，都是对课本 素材的选取、改造、加工的结果要创造性地应用教材，必须深度解读教材，领会编者的意图，洞悉学科 的知识结构，了解学生的认知规律本文从基于章首图片，深入解读定义；基于典型例题，拓展延伸定 义；基于阅读材料，提炼应用性质；基于课后习题，理论联系实际等四个方面系
2、统阐述基于教材的教学 延伸策略 关键词 用教材；教学；延伸；圆锥曲线与方程 “用教材”而不应该“教教材”这一教学理念 得到普遍认同“教教材”即教师单纯地把教材上 的内容传授给学生；而“用教材”即教师把教材当 作素材，根据实际情况对教材进行灵活的调整、 重组、拓展而后组织教学前者显得“呆板”，后者 显得“灵动”；前者固守“教条”，后者彰显“智慧”； 前者囿于教材因“材”施教，后者以人为本因“才” 施教；前者是“匠”，后者可为“师”“用教材”就是 基于教材又不囿于教材的一种教学主张，它不仅 可开阔学生的学习视野、丰富课程内涵，还可有 效地培养学生的数学素养 下面笔者以人教A版第二章圆锥曲线与方 程
3、的教学为例，谈如何基于教材进行教学延伸 的感想与体会 1 基于章首图片。深入解读定义 细心的老师、同学当能发现：在教材中，每一 章目录的旁边都设置了一幅与本章相关的图片， 同时，这幅图片作为章首图片放置在章首这幅 图片或形象生动地描绘了本章的主要研究对象， 或提纲挈领地概括了本章的主要知识本质，或扼 要深刻地揭示了本章的主要思想方法因此， 教师要善于利用章首图片实现知识延伸 案例1 人教A版选修21分别在教材的 封面和第二章圆锥曲线与方程的章首位置展 示了平面截圆锥的图片(如图)，同时配备了文字 说明，简明扼要地介绍了圆锥曲线的由来，圆锥 曲线在生活实践中的应用以及圆锥曲线的主要 研究方法 学
4、习本章伊始，可以引导学生学习章首图 片，让学生总揽本章的主要研究对象及其研究方 法但是，在教学中如何挖掘章首图片的深层次 内涵呢?笔者在完成椭圆定义的教学后，结合 椭圆中的“探究与发现为什么截口曲线 是椭圆”进行教学，运用了椭圆的定义对截口曲 线的形状进行验证同时，针对此性质选择典型 的例题对知识和方法进行巩固 题1 已知水 平地面上有一半径 为4的篮球(球心 O )，在平行光线 的照射下，其斜投A 影的边缘的轨迹为C(如图)，在平面直角坐标系 中，AB中点0为原点，AB所在直线为 轴，篮球 与地面的接触点为H，且0H一3，则C的方程 为 投影的边缘的轨迹可视为圆柱面与平面的 交线，求解过程中
5、可在截面的下方再作一个与圆 柱、截面都内切的球，仿照课本的方法，可证明该 截口曲线为椭圆选用本题的目的在于迁移应用 数学家Germinal Dandelin的方法，对采用“双球 模型”求轨迹的方法进行巩固练习 题2 如下图，AB是平面a的斜线段，A为 2 中学数学教学 2014年第3期 斜足，若点P在平面口内运动，使得XABP的面 积为定值，则动点P的轨迹是( ) A圆 C一条直线 由上例可知：用一 个与圆柱的母线斜交的 平面截圆柱，得到一条 截口曲线，该截口曲线 是椭圆教材中把这一问 B椭圆 D两条平行直线 题留给我们思考、探究本题中容易发现：点P在 空间中的轨迹是以线段AB为轴的圆柱面，又
6、因 为点P在平面a内运动，所以P为圆柱面与平面 a的交线，又因为AB是平面a的斜线段，所以点 P的轨迹是椭圆选用本题的目的在于深化内化 椭圆的截面定义，并熟练应用，形成技能 “平面截圆锥的图片”深入地介绍了圆锥曲 线本质问题，“圆锥曲线”之所以叫“圆锥曲线”， 是因为“圆锥曲线”是平面截圆锥曲面所得的交 线基于此进行知识的拓展延拓，有利于拓宽学 生知识视野，同时可以亲历圆锥曲线的发现过 程，体会数学家的创造性工作 2 基于典型例题。拓展延伸定义 例题是数学知识、思想、方法的重要载体教 材上的例题，一般都具有典型性，或是对某概念 定义、公式的应用，从而夯实基础知识；或是对某 解题技巧、规律的介绍
7、，从而熟练解题技能；或是 对某数学思想、方法的渗透，从而提升数学素养 我们发现，一些曾经出现于大纲教材的定 义、公式、定理，也常以例题、习题的方式在新课 标教材进行呈现因此，教师要以例题为蓝本进 行适当的归纳总结，作为课堂的有效延伸 案例2 人教A版选修21第二章圆锥曲 线与方程在例题、探究、信息技术应用等栏目零 零散散地介绍了圆锥曲线的第二定义、第三定 义第二定义、第三定义都曾经在大纲教材中明 确以定义的形式出现，但在新课标中已经被边缘 化，仅供探究之用系统地学习完本章内容后，笔 者对其进行适当归类，帮助学生形成知识系统 (一)探究课本中下述两个问题，你能得到椭 圆与双曲线的一个一般性质吗?
8、 (1)第22节例6：点M(z，Y)到定点F(4， 0)的距离和它到直线f：z一 的距离的比是常 数，求点M的轨迹 (2)第23节例5：点M( ，Y)到定点F(5， o)的距离和它到直线z：z一 的距离的比是常 数，求点M的轨迹 由上述两个例题归纳、猜测并证明可得： 椭圆与双曲线的第二定义：点M( ，Y)到定 ， 2 点F(f，0)的距离和它到直线Z：z= 的距离的 比是常数P一 ， (1)当01时，点M的轨迹是双曲线，点F 为双曲线的一个焦点，直线z为其对应的准线，其 方程为 一 一1 在学习抛物线的定义之后笔者以课本中的 上述两个例题为引例，结合第22节“信息技术应 用用几何画板探究点的轨
9、迹：“椭圆”、第 24节“阅读与思考(二)圆锥曲线的离心率 与统一方程”适时进行补充拓展，总结归纳圆锥 曲线的统一定义，整合课本中的零散知识，形成 知识网络，使学生知识更加系统 (二)探究课本中下述两个问题，你能得到椭 圆与双曲线的又一个一般性质吗? (1)第22节例3：设点A、B的坐标分别为 (一5，0)，(5，0)直线AM、BM相交于M，且他们 的斜率之积是一，求点M的轨迹方程 (2)第23节探究：设点A、B的坐标分别为 (一5，0)，(5，O)直线AM、BM相交于M，且他们 的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点 M轨迹方程判断轨迹的形状与22例3比较，你 有什么发现? 由课本的例题和
10、探究可得： 2014年第3期 中学数学教学 3 椭圆的第三定义：设点A、B的坐标分别为 (一a，0)，(“，0)(或(0，一口)，(0，n)，直线AM、 2 BM相交于M，他们的斜率之积是一 (或一 ，2 2 1，2 )则点M的轨迹是椭圆，其方程为 + 一 0 0 、，2 2 1(za)(或 +=H_一l( )；1 2 0 n一 口 双曲线的第三定义：设A、B的坐标分别为 (一“，0)，(口，0)(或(0，一n)，(0，n)直线AM、 2 门2 BM相交于M，且他们的斜率之积是 (或 )， 一0。 2 1 J 2 则点M的轨迹是双曲线，其方程为 -7一 一1( n 0 、，2 2 “)(或 一
11、 7 21(zo) n D 上述的两个命题常被称为圆锥曲线的“第三 定义”笔者在对其性质进行归纳证明之后，对两 个性质进行了比较，从合情推理的角度介绍圆锥 曲线内的常见类比方法近年的高考也屡屡涉及 该性质的考查，因此，笔者结合近几年的高考试 题进行举例，对其考查方式进行归类展示，如：对 椭圆第三定义的考查(2OLO年高考山东卷)，对双 曲线第三定义的考查(2ol1年高考江西卷)，第三 定义推广的考查(2Ol1年高考北京卷)等 通过对上述性质的归纳学习，我们不仅系统 地学习了这些曾经“辉煌一时”的定义、性质，同 时，也学习并掌握圆锥曲线的一种重要研究方法 “合情推理”由于新旧课标对知识掌握程度
12、要求的不同而产生的教材差异，大纲教材的部分 定义、定理、公式(如三垂线定理、和差化积公式、 积化和差公式等)在新课标教材中是以习题、例 题的形式出现的，可以感受到教材编写者对这部 分知识的依依不舍，但是在教材中又显得零零碎 碎，不成系统，因此，我们有必要对其进行适当的 归纳延伸，形成系统 3 基于阅读材料，提炼应用性质 高中数学教科书设置了：观察与猜想、阅读 与思考、探究与发现、信息技术应用等拓展性栏 目，这些栏目集知识性、趣味性、思想性于一体， 其内容或是渗透数学文化，弘扬数学精神；或是 延伸教材内容，完善知识体系；或是联系生活实 践，开阔学生视野教师应当正确认识到教材 中阅读材料的地位与作
13、用，挖掘其深层次内涵， 发挥其应有的教育教学功能 案例3 人教A版选修21第二章圆锥曲 线与方程在第24节“阅读与思考(一)一圆 锥曲线的光学性质及其应用”介绍了三种圆锥曲 线的光学性质实际上，在教材的例题中已经两 次涉及了圆锥曲线的光学性质：第22节例5涉 及了椭圆的光学性质，第24节例2涉及了椭圆 的光学性质虽然这些例题都涉及了圆锥曲线的 光学性质，但是课本并没有作必要说明，学生不 知道其所以然，甚至一些教师也不知道光线为什 么这样走，更不知道光学性质的解题应用在本 章的复习回顾中，笔者基于阅读材料，联系教材 中的两个例题进行了“圆锥曲线光学性质及其应 用”的教学 (一)圆锥曲线的光学性质
14、 (1)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发 出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆 的另一个焦点上 (2)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点 射出的光线，经双曲线反射，其反射光线的延长 线过双曲线的另一个焦点 (3)抛物线的光学性质：从抛物线焦点射出 的光线，经抛物线反射，其反射光线平行于抛物 线的对称轴 (二)圆锥曲线光学性质的证明 下面我们来证明椭圆的光学性质： 证法一 (反证法) 已知椭圆两焦点分别为 F 、F。，直线MN为椭圆 的切线，P为切点，F P 为人射光线，作F 关于 切线MN的对称点R，只 需证F 、P、R三点共线 假设F。、P、R三点不共线，设F R的连线交切线 MN于
15、点Q，则RF 一RQ+QF。一QF +QF z 2口，又RF2b0)，两焦点分别为F (一C，0)、F (c， 4 中学数学教学 2014年第3期 0)，设P( 。，Y。)为c上一点，则Y 一6 一 ， 而过P的切线方程为z：b z o +a Y。Yn。b ， 直线PF 的方程为Y。z一( 。+C) +cy。一O，直 线PF2的方程为y o 一(z oC) 一cy。一0因为 切线z与直线PF 的夹角为它们法向量(6 z。， 口 Y。)与( 。，一(z。+C)的锐夹角 ，切线z与 直线PF 的夹角为它们法向量(6 。， Y。)与 ( 。，一(z。一f)的锐夹角 2，可求得cos0 ： cosU
16、2一_ ，可得 1一 2，所以直线 一_=二= 侍 一 ，所以且线 6 z +n Y PF 、PF 与过P点的法线的夹角相等，从椭圆 的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射 光线交于椭圆的另一个焦点上 同理可证双曲线的光学性质以及抛物线的 光学性质 (三)圆锥曲线光学性质的应用一类最 值问题的求解 光的种种性质被有“业余数学之王”之称的 费马(Pierre de Fermat)归结为一个简单的法 则，那就是光在任意介质中从一点传播到另 一点时，总是沿所需时问最短的路径传播又称 最小时间原理或极短光程原理因此，结合圆锥 曲线的光学性质可以求解一类最值的问题 2 1，2 题1 已知椭圆c： +
17、，_一1，F 、F。分别 厶 为其左右焦点，点Q(1，3)，P是椭圆C上的一 动点，求f F P f+l PQ f的取值范围 利用“椭圆的光学性质”及“费马原理”可以 让光线帮助我们找到1 F P I+l PQ l的最小值， 进而应用P F P 的周长为定值4口，即可找到 I F P 1+1 PQ I的最大值在上述的解题中，我们 利用的是光线的自然选择，相信自然的选择! 题2 已知P为双曲线 一Y 一1上一点， F(2，O)，Q(22，2)，求l PF I+l PQ l的最 小值 本题可以直接应用“双曲线的光学性质”进 行解题，因为点Q在双曲线内，由“双曲线的光学 性质”及“费马原理”可得：从
18、Q射出被双曲线反 射后经过点E的光线所经过的路程是最短的作 双曲线的左焦点E，连接EQ，交双曲线右支于点 P，点P即为所求这样的解题过程，其计算量和 思维量明显地小于其他解法 1 题3 已知抛物线C：y一 ，F是其焦点， 凸 点Q(2，4)，P是抛物线C上的一动点，求l PF I +PQ l的最小值 由“抛物线的光学性质”可知：从抛物线焦点 射出的光线，经抛物线反射，其反射光线平行于 抛物线的对称轴，根据“费马原理”可得，当光线 从FPQ反射时，I PF l+l PQ l最短 教科书中只告诉我们光是按这样的路进行 反射，至于为什么这样反射，书本并没有交代，很 多老师也轻描淡写地说：“圆锥曲线具
19、有这样的 光学性质”，学生学得一头雾水，知其然不知其所 以然其实学生渴望“为什么圆锥曲线会有这有 趣的光学性质”这一问题能在这里得到解决因 此，基于阅读材料提炼性质、应用性质，对提高学 生的学习兴趣，开阔学生数学视野，甚至于提高 教师的教学教研能力都有着非凡的意义 4 基于课后习题。理论联系实际 课后习题是教材的重要组成部分，它紧扣所 在章节的教学内容，为教学评价与反馈提供载 体，教师常通过布置课后习题作为作业，并藉此 了解、检测学生对所学知识的掌握情况此部分 内容或围绕定义，为夯实基础知识服务；或配套 例题，为形成解题技巧服务；或联系实践，为培养 创新能力服务在课后习题的讲评课上，教师 不妨
20、借题发挥，借助一题多解、多题一法等教学 手段，帮助学生掌握解题规律、掌握解题方法，同 时培养学生发散与收敛的思维方式 案例4 人教A版选修21第二章圆锥曲 线与方程习题22A组第7题和习题23A组第5 题分别设置了利用椭圆定义与双曲线求轨迹的 两个例题讲评课时，笔者从这两个题目出发进 行解题方法总结，并基于此介绍“折纸中的数 学”，用数学解释生活，用实践验证数学，从而激 趣课堂，正如本册导引所言：使同学们加深对数 学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联 系，学会用数学知识和方法解决一些实际问题 (一)课后习题展示与评讲 题1 习题22A组第7题：如图，圆。的半 径为定长r，A为圆0内一个定点
21、，P是圆上任意 一点，线段AP的垂直平分线Z和半径0P相交于 2014年第3期 中学数学教学 5 Q，当点尸在圆上运动时，点Q的轨迹是什 么?为什么? L | O 、，_ 本题可设z和A_P相交于点M，连结AQ，由 + 此可得l AQ Il QP I，所以I Q0 i+l QA l= + + l Q0 l+l QP Jl OP Ir，又i OA fr，根 l I 据双曲线的定义可得，点Q轨迹是以()、A为焦 点，实轴长为r的双曲线 (二)折纸中的圆锥曲线 上述两个问题中隐含着这样一个事实：直线 z为所求轨迹椭圆(或双曲线)的包络，即为椭圆 (或双曲线)在点P处的切线如果我们能在纸上 折出直线族
22、z，那么直线族 所围成的图象将是一 个椭网(或双曲线)如果能用一张纸折叠出各种 圆锥曲线，无疑是一件既有趣又有意义的事，下 面让我们见证这神奇的时刻吧! DA： 、 (1)折椭圆：取一个圆纸片，圆心为0在圆 内取定一点A将圆片的边缘向定点A折叠，使 圆片边缘上的一点P与定 hA重合每取一点P 折一次就得一折痕当点P在圆周上取得足够 多且密时，所得的众多折痕就显现出一个椭圆的 轮廓了 (2)折双曲线：取一个纸片，画一个圆，圆心 为0在圆外取定一点A将圆的边缘向定点A 折叠，使圆片边缘上的一点P与定点A重合每 取一点P折一次就得一折痕当点P在圆周上 取得足够多且密时，所得的众多折痕就显现出一 个双
23、曲线的轮廓了 (3)折抛物线：取一个纸片，作一直线a和直 线外一点F将直线的边缘向定点F折叠，使直 线边缘上的一点P与定点F重合每取一点P 折一次就得一折痕当点P在直线上取得足够 多且密时，所得的众多折痕就显现出一个抛物线 的轮廓了 (三)折纸原理探究 仿照课本习题的解题过程进行探究 在课本习题的讲解过程中，很多人会对习题 进行变式训练、归类总结、误区分析等工作，却很 少去挖掘数学与生活实践的联系“数学是有用 的、数学是自然的”，我们要学习用数学去解释生 活，用实践去验证数学结合生活实践的拓展延 伸不仅能增加数学学习的趣味性，而且能帮助学 生更好地理解数学，学会用数学的眼光和数学的 思维方式去看待、分析与解决实际问题，从而体 会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学 的价值 认真研读教材的内容后，我们发现教材的每 一个角落都可能成为拓展延伸的落脚点挖掘教 材背后的故事，基于教材进行适度的拓展延伸无 疑是提高学生能力的最佳选择，因此，我们倡议， 让教材成为教学延伸的起点! 参考文献 1 中华人民共和国教育部制定普通高中数学课程标准 I-M北京：人民教育出版社，2003 2 人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材 研究开发中心普通高中课程标准实验教科书(数学) 选修2一l(A版)M北京：人民教育出版社，2012 (收稿日期：20140402)
