1、1.2变量可分离方程从本节开始，我们介绍一些方程的解法。称为变量可分离方程。或一阶方程：dyyNdxxMygxfdxdy)()()1()()(=K, xydxdyxydxdy=例如：)2()()(),(0)()(分离变量且连续，则有。上连续，在区间设Kdxxfygdydcyygbxaxf=。满足的解，则是如果)2()()1()( xyyxyy =)4()()()3()()(:)2(CxHyGCdxxfygdyx+=+=或积分得两边对满足的隐函数方程。此为)(xyy =分。的隐式通解，称为通积称为的解。是。即求导，即得则两对或满足，反之，如果对任意常数)1()4()1()()()(),4()3(
2、)(xyyygxfdxdyxxyyC=的解，称为常数解。也是。则如果)1(0)(00yyyg =为任意常数。原函数，的和分别为。记CxfygdxxfxHygdyyG )()(1)()()()(=。解方程：例xydxdy=.1是一个特解。显然，0=y解：。方程可以写成：时xdxydyy = , 0:积分得两边对x,ln1Cxy=. 1CexyC=,|ln|ln1Cxy +=, 1Cexy=.0 , = CCxy方程的通解为：. , RCCxy =为：最后得到方程的所有解2211:.2xydxdy=解方程例.1是方程的两个特解显然，=y解：分离变量得时，当 1 y2211 xdxydy=. arc
3、sinarcsin Cxy +=积分得方程的通解：)sin(arcsin Cxy +=不含在通解中。特解1 =y或.1)0( 0)0(21:32的解及满足初值条件求方程例= yyydxdy，时，有dxydyy21112=解：, )1111( dxdyyy=+积分得：.1111xxeCeCy+=,111xeCyy=+方程的通解为：1=C1=C1=C0=C, 1 ,0)0( 1= Cy得令.11xxeey+=得特解：，得令0 ,1)0( 1= Cy1. =y特解：得.0)1()1(.422=+ dyxydxyx解方程：例方程可以写成：时， 0)1)(1( 22 yx.11均为方程的特解和= yx解：.)1)(1( 22Cyx =1221ln1ln Cyx =+方程的所有解为：,01122=+dyyydxxx积分得：.1:.52xxydxdy +=解方程例,12xdxudu=+解：.0,12 2=+ CCxu，则，做变换xuxyyuxyu1 :+=+=).21(, ln12ln211+=+ uCxu化简得：积分得：.210 = uC对应特解6. 3.(1,3), 2.(1,2), 1.(3,4), 14，作业P最后得方程的所有解为：212 Cxxy =+
