1、年第卷第期中北大学学报（自然科学版）（总第期）（）（）文章编号：（）具有常数移入的结核病模型稳定性分析宋妮，薛亚奎，何志木（中北大学理学院，山西太原；中国建筑技术集团有限公司，北京）摘要：在结核病传播的数学模型的动力学系统基础上，利用判据和复合矩阵理论，讨论了具有常数移入的结核病传播的数学模型的动力学性质，研究了具有常数移入的结核病模型的地方病平衡点的局部和全局渐近稳定性，得到了具有常数移入的结核病模型的地方病平衡点是局部和全局渐近稳定的充分条件关键词：结核病；基本再生数；稳定性；平衡点中图分类号：文献标识码：，（，；，）：，：；结核病是通过空气传播的一种慢性疾病，它是由结核杆菌感染引起的慢性
2、传染病，又称为“痨病”年科霍首先发现了结核病的病原菌，但由于没有有效的治疗药物，结核病在全球广泛流行自世纪年代以来，不断发现有效的抗结核病药物，使流行得到了一定的控制但是，近年来，由于不少国家减少了财政投入，再加上人口的增长和流动、爱滋病的传播、多耐药病例增加等因素，使结核病疫情下降缓慢，有的国家和地区有所回升目前，全球大约有燉的人感染了结核病，现有病人多万，每年有新发病例约万，死亡万，其中的病人年龄在岁岁，的病人集中在发展中国家，如不采取有效的控制措施，到年，全球将新增多万病人我国目前有近半数人口感染过结核病菌，发展为临床肺结核病人万，每年还有新发肺结核病人万人根据结核病的发病机理，本文考虑
3、了一类具有常数移入的结核病模型模型分析爳（牠）表示牠时刻易感者的数量；爠（牠）表示牠时刻潜伏者的数量；爤（牠）表示牠时刻染病者的数量；收稿日期：基金项目：山西省自然科学基金资助项目（）；教育厅科技攻关项目（）作者简介：宋妮（），女，硕士生主要从事应用数学研究爴（牠）表示牠时刻治愈者的数量建立模型爳（牘）爛犝爳爠犝爳爤犨爳，爠牘爛犝爳爠犝爳爤牜爠犨爠，爤牜爠牑爤牆爤犨爤，爲牑烅烄烆爤犨爲（）式中：犨是自然死亡率；牆是因病死亡率；牜是潜伏者变成染病者的比例；牑是染病者的治愈率；犝，犝分别表示潜伏者和染病者的治愈率；（牘）爛，牘爛分别表示新移入易感者和潜伏者的数量设犳犨牠，犝犝燉犨，犝犝燉犨，犞犞燉
4、犨，牑牑燉犨，牅爛燉犨，牆牆燉犨用爫爠爤爲代替爳，则系统（）转化为爠犳牘牅（犝爠犝爤）（爫爠爤爲）犠爠，爤犳犞爠犽爤，爲犳牑爤爲，爫犳烅烄烆牅爫牆爤（）式中：犠犞；犽牑牆出于生物意义考虑，在紧集爴（爠，爤，爲，爫）：爠爤爲爫牅爛犨中研究系统（），易知爴是正向不变集若犝犝，则潜伏者是由外界进入的，系统（）变为线性非齐次方程组爠犳牘牅犠爠，爤犳犞爠犽爤，爲牠牑爤爲，爫牠烅烄烆牅爫牆爤（）则知该系统的平衡点爠爠牘牅犠，爤爤犞牘牅犠犽，爲爲犞牑牘牅犠犽，爫爫牅（犠犽牆犞牘）犠犽在犝，犝时，期望得到一个平衡状态下的解，使其满足爠爠，爤爤，爲爲，爫爫由系统（）可得牘牅（犝爠犝爤）（爫爠爤爲）犠爠，犞爠犽爤
5、，牑爤爲，烅烄烆牅爫牆爤（）将爫牅牆爤代入牘牅（犝爠犝爤）（爫爠爤爲）犠爠，得到二次方程爢（爤）（犝犽犝犞）犠犽爤犞犠犽牅（犝犽犝犞）爤犞牘牅，（）对于式（），若牘，则有一根为爤，另一根为爤犞牅（犝犽犝犞）犠犽犠犽（犝犽犝犞），当且仅当牅（犝犽犝犞）犠犽时，爤为正根；若牘，则有一个正根和一个负根，此时无病平衡点（即当牘时，爤的点）变成负根（无生物意义）正根为爤犞犲犞犲牘牅犠犽（犝犽犝槡犞）犠犽（犝犽犝犞），式中：犲牅（犝犽犝犞）犠犽而犲爤犞（犲燏犲燏）犠犽（犝犽犝犞）（犲）犞牅（犝犽犝犞）犠犽犠犽（犝犽犝犞）烅烄烆（犲）中北大学学报（自然科学版）年第期因此，犲是一个阈值点，这就得到了基本再生数
6、爲牅（犝犽犝犞）犲犽牅犝犽犲犽牅犝犞犲犽全局稳定性分析定理若爲，当牘时，在正向不变集爴内，无病平衡点是全局渐近稳定的系统（）仅有一个地方病平衡点爮（爠，爤，爲，爫）定理对于系统（），若爲，则当牘时，地方病平衡点爮是局部渐近稳定的证明系统（）在点爮（爠，爤，爲，爫）的矩阵为（牘）（牔牘牅牕）犝牕犠（牔牘牅牕）犝牕牕牕犞犽牑烄烆烌烎牆，式中：牔犠犽犝犽犝犞；牕犝爠犝爤其特征方程是（犧（爮），是单位矩阵，并且爫爠爤爲犠爠牘牅犝爠犝爤，爠犽犞爤，爲牑爤因此特征方程变为（犧）（犧牃犧牃犧牃）其中牃犽牕犠牘牅犝牕牔犝犽牕牘牅犝牕犠犞犝犝犽犝犞，牃犽牕（犠犽）牘牅犝牕（犽）犞牘牅犝牕犠犞犝犝犽犝犞，牃牕犠犽
7、犽牘牅犝牕犞牘牅犝牕通过计算可得牃牃牃依据判据，地方病平衡点爮是局部渐近稳定的为了证明这个平衡点全局稳定性，设系统（）中的系数牆，并且定义新的变量牀犨爛爳，牁犨爛爠，牂犨爛爤，爲犨爛爲应用这些新的变量，系统（）变为牀犳（牘）牅犝牀牁牅犝牀牂牀，牁犳牘牅犝牀牁牅犝牀牂犞牁牁，牂犳犞牁牂牑牂，爲犳牑牂爲烅烄烆（）且令爫（牠）牀（牠）牁（牠）牂（牠）爲（牠），则爫（牠）对应的方程为爫犳爫当犳时，爫现将牀牁牂爲代入系统（），做变量替换牨牁牂爲，牪牁，牫牂，则可得牨犳牘牨牅（犝牪犝牫）牨，牪犳牘牅（犝牪犝牫）牨犞牪牪，牫犳烅烄烆犞牪牫牑牫（）（总第期）具有常数移入的结核病模型稳定性分析（宋妮等）令爫（牠
8、）牨（牠）牪（牠）牫（牠），则爫对应的方程是爫犳爫牑牫此时系统（）的可行域为牰（牨，牪，牫）：牨，牪，牫，牨牪牫爫设爠（牨，牪，牫）是系统（）的唯一正平衡点系统（）的矩阵为牃牅犝牨牅犝牨牃牅犝牨犞牅犝牨熿燀燄燅犞牑，（）式中：牃牅（犝牪犝牫）；牃牅（犝牪犝牫）运用和的几何逼近方法，可以得到地方平衡点爠是全局渐近稳定的充分条件设开集爟牕，对牨爟，牨燏牊（牨）是爞函数考虑微分方程牨牊（牨），（）设牨（牠，牨）代表方程（）满足条件牨（，牨）牨的解做基本假设（）方程（）在爟内存在一个紧吸引集牑爟；（）方程（）在爟内有唯一平衡点牨爟平衡点牨在爟内被称为全局稳定，如果它局部稳定而且在爟内的全部轨线收敛于牨
9、利用判据，当牕，可以排除系统（）的周期解当牕时，条件牆牏牤牊（牨）在爞下关于牊在每一点牨的局部扰动是鲁棒的判据在高维系统中是爞鲁棒的也被讨论（见文献）一个点牨爟是被称为系统（）的一个游荡点，若存在牨的一个邻域爺及爴，使得对一切牠爴，爺牨（牠，爺），显然，平衡点，极限集，均不是游荡点定理的全局稳定性原理是和在有限次自治系统中建立的定理若条件（）和（）成立，对系统（）进一步假设满足判据，该判据对系统（）的任何非平衡点和非游荡点牨，牊在该点处的爞局部扰动是鲁棒的，则牨的局部稳定蕴含全局稳定判据由文献给出设牨燏爮（牨）是一个牕槏槕牕槏槕矩阵函数，且对牨爟它是爞的假设爮（牨）存在且在牨爦上是连续的，爦是
10、一个紧的吸收集定义牚牠牨爦牠牠犨（爜（牨（牞，牨）牞，（）其中爜牊牊牨，（）式中：牊是把矩阵的每一个元素牘牏牐，用牘牏牐沿牊的方向导数牘牏牐牨牊牘牏牐牠燏（）取代得到的矩阵；犨（犝）是矩阵测度，文献定义为犨（犝）牎爤牎爜牎文献给出，如果爟是单连通的，条件牚能排除系统（）出现任何闭轨道，包括周期轨道，同宿轨道和异宿轨道特别是定理的全局稳定性结果，和在文献中给出了证明定理若爟是单连通区域，且条件（）和（）成立，则当牚时，系统（）唯一平衡点牨在爟内是全局渐近稳定的下面研究地方病平衡点的全局稳定性，得到定理定理若爲，且犞牅犝（牘），则系统（）的地方病平衡点爠是全局渐近稳定的证明系统（）的矩阵的第二加性
11、复合矩阵牄牅犝牨牅犝牨犞牄牅犝牨牄牄熿燀燄燅，（）式中：牄犞牅犝牨牅（犝牪犝牫）；牄牑牅犝牪；牄牅犝牪；牄犞牑牅犝牨中北大学学报（自然科学版）年第期设函数（牨，牪，牫）牪熿燀燄燅牪牪，则牊牫牫，牪牪，牪牪，并且式（）中的矩阵牊牊牨可以写成分块矩阵爜爜爜爜，这里爜牫牫犞牅犝牨牅（犝牪犝牫），爜，牅犝牨牫牪，爜犞牪牫，犞牪牫，爜牪牪牑牅犝牨牅（犝牪犝牫）牅犝牨犞牪牪熿燀燄燅牑犞令（牣，牤，牥）表示槏槕牕中的向量，其范数定义为（牣，牤，牥）燏牣燏，燏牤燏燏牥燏，相应于范数的测度是犨（爜），利用文献的估值方法得犨（爜）牋，牋其中牋犨（爜）燏爜燏，牋燏爜燏犨（爜）燏爜燏，燏爜燏是相应于牓向量范数的矩阵范
12、数，犨是相应于牓范数的测度因此犨（爜）牫牫犞牅犝牨牅（犝牪犝牫），燏爜燏牅犝牨牪，燏爜燏犞牪牫下面计算犨（爜），把爜的每一列的非对角矩阵取绝对值，然后加到相应列的对角元素上，再取所得矩阵的两个对角元素的最大值，则有犨（爜）牪牪牑犞牅犝牨，由系统（）可得牨牘，牪牪牘牪牅犝牨牅犝牨牫牪犞，牫牫犞牪牫牑因此，有牋牪牪牫牫牘，牋牪牪牫牫犞牅犝（牘）选取足够大的牠，对所有的牠牠，犨（爜）牪牪牫牫牄，这里常数牄牘，犞牅犝（牘）犞牅犝（牘）对于（牨（），牪（），牫（）牰的系统（），牰是紧的吸引集，沿着系统（）的每一个解（牨（牠），牪（牠），牫（牠），有牠牠犨（爜）牞牠牠犨（爜）牞牠牠牠犨（爜）牞牠牠犨（爜）牞牠牪（牠）牪（牠）牠牫（牠）牫（牠）牄再由式（）可得牚牄所以原结论成立参考文献：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：（总第期）具有常数移入的结核病模型稳定性分析（宋妮等）
