1、数学试卷（文）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 （ ）A. B. （0，4） C. D. 【答案】C【解析】由题意可得： ，结合交集的定义可知 ，本题选择 C 选项.2. 若函数 的定义域2，4） ，则 （ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B.结合题中所给的定义域有： ，则 .本题选择 B 选项.3. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数图像的平移性质可知，平移后函数的解析式为：.本题选
2、择 D 选项.4. 在等比数列 中， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由等比数列的通项公式有： ，整理可得： ，即 .本题选择 A 选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性” ，题目“小而巧”且背景不断更新解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混5. 在边长为 6 的正 中， 边上的一点，且 ，则 （ ）A. -24 B. 24 C. -20 D. 20【答案】A【解析】由题意可得：本题选择 A 选项.6. 函数 在 上的图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、函数的解析式满足 ，则函数为奇函数，排除 CD 选项，由 可知： ，排除 A 选项.本题选择 B 选项.7. 若 ，则 （ ）A. B. C. 2 或 3 D. -2 或-3【答案】C【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得： ，整理可得： ，求解关于 的方程可得： 或 .本题选择 C 选项.8. 已知 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，绘制函数 , 和 的图像，三个方程的根为图中点 ，的横坐标，观察可得： ，即有 .本题选择 D 选项.9. 已知函数 ，若恰好存在 个整数 ，使得 成立，则 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】构造函数：
4、 ,则 ，由 可得 ，则函数 的极小值为 ，绘制函数 的图像如图所示，当 时，满足 的自变量的值为 ；当 时，满足 的自变量的值为 ;综上可得： .本题选择 C 选项.10. 某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司 2016 年全年投入的研发资金为 100 万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元年年份是（ ） （参考数据：）A. 2022 年 B. 2023 年 C. 2024 年 D. 2025 年【答案】C【解析】设从 年后，第 年该公司全年投入的研发资金开始超过 万元，由题意可得： ，即 ，两边
5、取对数可得： ，则 ，即该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元年年份是 年.本题选择 C 选项.11. 若函数 在（2，3）上有极大值，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】对函数求导可得：，由题意可得：方程 必有一根 ，则 ，令 ，当 时， ，当 时， ，故当 ，且 ，即 时，函数 在区间 上有极大值.本题选择 B 选项.12. 在数列 中， ，且 ，记 ，则（ ）A. 能被 41 整除 B. 能被 43 整除 C. 能被 51 整除 D. 能被 57 整除【答案】A【解析】由数列的递推公式可得：结合 可得：,则数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则 ，故
6、 ，据此可得： 能被 41 整除.本题选择 A 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数 的周期为 4，当 时， ，则 _.【答案】2【解析】由题意结合函数的周期性可得 .14. 已知向量 ，其中 且 与 共线，则 的最小值为_.【答案】2【解析】由向量共线的充要条件
7、有： ，则： ，结合二次函数的性质可得当 时， .15. 若曲线 在 处的切线斜率为 ，则数列 的前 项和_.【答案】【解析】结合函数的解析式求导可得： ，则： ，故通项公式： ，裂项求和可得： .16. 若函数 恰有 2 个零点，则 的取值范围为_.【答案】【解析】原问题等价于函数 与函数 恰有 个零点，当 时， ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且： ；当 时，分类讨论：若 ，则 ，若 ，则 ，据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像观察可得 的取值范围为 .点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并
8、不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的一半，再将所得曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 的图象.(1)求 在 上的单调递减区间；（2）设函数 ，求 的最小值.【答案】(1) ， ；(2)-8.【解析】试题分析：(1)由题意可得 ，结合正弦函数的性质可得 的单调递减区间为 ，.(2)函数的解析式 ，则 的最小值为 .试题解析：（1）由题意可得 ，当 ，即 ， 单调递减；当 ，即 ， 单调递减；故 的单调递减区间为 ， .(2)则 的最小值为 .18
9、. 已知正项等比数列 满足（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2)【解析】试题分析：(1)由题意结合等比数列的性质可得(2)结合通项公式的特点错位相减可得试题解析：（1）设公比为 ， ， ，(2)即故点睛：一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解19. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）求 ；（2）设 为 边上一点，且 ，若 的面积为 24，求线段 的长.【答案】 （1） .(2)【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理
10、和二倍角公式可得 .(2)由题意可得 ，结合余弦定理计算可得试题解析：（1） ， ， ， .(2) ， 为锐角，又 ，则 的面积为 又20. 已知向量 ，其中 ，且（1）若向量 在向量 方向上的投影不小于 ，求正数 的最小值；（2）若函数 在 上有零点，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：(1)由题意结合投影的定义得到关于实数 x 的不等式，求解不等式可知正数 的最小值为 ；(2)计算可得 ，则 ，换元计算可得 的取值范围是试题解析：（1）向量 在向量 方向上的投影 ， ，即正数 的最小值为 ；(2) ， ，令 ，在 上递增， ，即 ，21. 已知函数（1）讨论 的单调性
11、；（2）若直线 与曲线 都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个平行四边形，并计算该平行四边形的面积.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析，面积为 12.【解析】试题分析：(1)首先求解导函数，然后分类讨论有：当 时， 上递增.当 时， 在 上递减，在 上递增；当 时， 在 上递减，在 上递增.(2)令 得 则 的极大值为 ，极小值为 .据此可得四个交点分别为（0，0） ， （3，0） ， （-1，-4） ， （2，-4）即这四个交点可以构成一个平等四边形，且其面积为试题解析：（1）令 ，得 或当 时， 则 上递增.当 时， ， 在 上递减，在 上递增；当 时， ， 在 上递减，在
12、上递增.(2)证明：令 得令 得 ；令 的极大值为 ，极小值为 . ,令 或 3；令这四个交点分别为（0，0） ， （3，0） ， （-1，-4） ， （2，-4）3-0=2-（-1）=3这四个交点可以构成一个平等四边形，且其面积为22. 已知函数 的导函数为 ，函数（1）当 时，求曲线 在原点处的切线方程；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)利用导函数研究切线的斜率，利用点斜式可得切线方程为 .(2)结合恒成立的条件分类讨论可得 的取值范围为 .试题解析：（1）当 时，故曲线 在原点处的切线方程为 .(2)当 时， 若 ，则 在（0，1）上递增，从而若 令 ，当 时，当 时， ， ，则 不合题意.故 的取值范围为 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
