1、荆州中学 2018 届高三 4 月考文科数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ，则A. B. C. D. 【答案】C.故选 C.2. 已知复数 ，则在复平面上对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】复数对应的点在复平面内的坐标为故选 D.3. 某商场在一天的促销活动中，对这天 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 11 时至 12 时的销售额为 20 万元，则 10 时到
2、11 时的销售额为（ ）A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元【答案】B【解析】组距相等频率之比即为销售额之比又10 时到 11 时的频率为 ，11 时到 12 时的频率为 0.410 时到 11 时的销售额为 （万元）.故选 B.4. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】画出可行域如图所示：联立 ，解得 ，则 .表示可行域内的点 与 连线的斜率，从图像可以看出，经过点 时，有最大值 .故选 B.点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移
3、三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 ，求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.5. 如图，半径为 的圆 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为 ，这四个小圆都与圆 内切，且相邻两小圆外切，则在圆 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设小圆的半径为，则大圆的半径为 ，阴影部分恰好合为三个小圆，面积为，大圆的面积为 .所求概率为故选 C.6. 张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺
4、，今一月日织九匹三丈 ”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390 尺布，记该女子一月中的第 天所织布的尺数为 ，则 的值为（ ）A. 55 B. 52 C. 39 D. 26【答案】B【解析】因为从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，所以该女子每天织的布构成一个等差数列 ，其中 。所以。故选 B。【点睛】将每天织的布构成一个等差数列，根据条件求出公差，将要求的 a14+a15+a16+a17转化为公差与首项来求。7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 1，则所有输入 的取值的和
5、是（ ）A. 0 B. C. 4 D. 6【答案】C【解析】程序框图表示函数 ，若函数值等于 1，则有 得 （舍）或 得 ，由韦达定理得 .所有输入 的取值的和是 4故选 C.8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰三角形，则该几何体中的最长棱的长为（ ）A. B. C. 3 D. 【答案】C【解析】还原三视图可得，几何体为一个三棱锥，如图所示：其中 ， 平面 ，等腰三角形 的高为 ，则 ，.最长棱为故选 C.9. 设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 ，得
6、 ，即 ，即 . ，即 .当 时，易得 .“ ”是“ ”的充要条件.故选 C.10. 已知函数 ，将函数 先向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位后，得到 的图象，关于 的说法，正确的是：A. 关于点 成中心对称 B. 关于直线 成轴对称C. 在 上单调递减 D. 在 上的最大值是 1【答案】D【解析】由题意， .对于 A，当 时， ，则 关于 轴对称，不关于 成中心对称，故错误；对于 B，当 时， ，则 关于 成中心对称，不关于 成轴对称，故错误； 选项 C，D，当 时， ，从而 在 单调递增；于是 . 故选 D.点睛：由 的图象，利用图象变换作函数 的图象，要特别注意：当周期变换和相位变
7、换的先后顺序不同时，原图象沿 轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是 个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是 个单位11. 已知 是椭圆 的左焦点，设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，则直线（ 为原点）的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由椭圆方程 ，可求得 ，由 ，得 ，过 作 轴垂线与椭圆交于 ，则 在弧 上时，符合题意， 斜率的取值范围是 ，故答案为,故选 C.【方法点晴】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的斜率及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和几
8、何性质来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.12. 在三棱锥 中， ， ， 面 ，且在三角形 中，有（其中 为 的内角 所对的边） ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为 .在三角形 中， （其中 为 的内角 所对的边）.根据正弦定理可得 ，即 .由正弦定理， ，得三角形 的外接圆的半径为 . 面该三棱锥外接球的表面积为故选 A.点睛：本题考查正弦定理解三角形及三棱锥外接球的表面积，解答时要认真审题，注意球的性质的合
9、理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的表面积.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知函数 （为自然对数的底数） ，则 在点 处的切线方程为_。【答案】【解析】函数又 ， 在点 处的切线方程为 ，即 .故答案为 .14. 已知向量 ， ， 的夹角为 ，则 _.【答案】2【解析】 ， 的夹角为故答案为 2.15. 若函数 为奇函数，
10、，则不等式 的解集为_。【答案】【解析】函数 为奇函数 ，即 ，当 时, ，解得 ；当 时, ，解得 .不等式 的解集为故答案为 .16. 已知双曲线 的左焦点为 ，圆 与双曲线的渐近线在第二象限相交于点 （ 为坐标原点） ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的离心率为_。【答案】【解析】双曲线 的左焦点为 ，且双曲线 的渐近线方程为 .圆 与双曲线的渐近线在第二象限相交于点联立 ，得 .直线 的斜率为 ，即 .故答案为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 为必考题，每个考生都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60
11、 分17. 已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .（1）求证：（2）若锐角 满足 ，且 ，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将 边化角，可得，再根据三角形三角关系，化简即可证明 ；（2）根据三角恒等变换可得 ，从而可得 的值，再由余弦定理可得， ，即可求得 的面积.试题解析：（1）由正弦定理易得： ，从而，即： . ，即 . （2）.故 . 为锐角 . 由余弦定理，可得 ，从而 . 的面积为 18. 四棱锥 中， 交于点 ,且 ，。（1）若 为 中点，求证： 。（2）当三棱锥 的体积最大时，求三棱锥 的体积，并证明： 。【答案】(1)见解析;(2)
12、见解析.【解析】试题分析：（1）由 ，推出 在 的垂直平分线上，同理 在 的垂直平分线上，从而推出 ，且 为 中点，再根据 ， 为 中点，即可推出，可证 ，即可证明 面 ；（2）根据 及，可推出当 与底面垂直时，三棱锥 的体积最大，此时可证，从而证明 ，且可算出 ，再根据 ，即可算出三棱锥 的体积.试题解析：（1）证明： 在 的垂直平分线上，同理 在 的垂直平分线上. 即为 的垂直平分线 ，且 为 中点 ， 为 中点三角形 中， （2）由题知 ，显然 .故当 与底面垂直时，三棱锥 的体积最大，此时可得 . ，此时 三棱锥 的体积为 2 19. 2017 年 11 月、12 月全国大范围流感爆发
13、，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院 11 月到 12 月间的连续 6 个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:日期 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周昼夜温差 x(C)10 11 13 12 8 6就诊人数 y(个) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验。()求选取的 2 组数据恰好是相邻两个星期的概率；()若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的 4 组数据,求出 关于 的线性回归方程
14、；()若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(参考公式: )参考数据： 1092， 498【答案】() ;()见解析;()见解析.【解析】试题分析：()用列举法列出所有的基本事件，再找出相邻两个星期的数据的事件个数，利用古典概型的概率公式即可求得；()根据所给数据分别算出 ， ，再根据求线性回归方程系数的方法求得 ，把 ， 和 代入到求得公式，求出，即可求出线性回归方程；()根据所求的线性回归方程，将 和 代入求得 ，再同原来表中所给的 和 对应的值做差，差的绝对值不超过 ，即可得到线性回归
15、方程理想试题解析：()将连续六组数据分别记为 ，从六组中任意选取两组，其基本事件为： ，共 15 种情况.其中两组是相邻的为 ，共 5 种情况.设抽到相邻两个星期的数据为事件 ，则抽到相邻两个星期的数据的概率为 . ()由数据求得 ，由公式求得 ，再由 . 关于 的线性回归方程为 ()当 时, , ； 同样, 当 时, , .该小组所得线性回归方程是理想的 20. 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得弦 的长为 4。（1）求动圆圆心的轨迹 的方程；（2）设 ，过点 斜率为 的直线交轨迹 于 两点， 的延长线交轨迹 于两点。若 的面积为 3，求 的值。记直线 的斜率为 ，证明： 为定值，并求出这个定
16、值。【答案】(1) ;(2) 2. 2.【解析】试题分析：（1）设圆心 ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，根据 ，根据两点之间的距离公式化简即可，需验证 ，即可得出圆心的轨迹的方程；（2）设直线的方程为 ， ，联立直线与曲线 的方程，结合韦达定理得出 ， ；表示出 ，化简即可解出 ；设，表示出 ， ，根据 共线，即可求出 与 的关系，同理可得 的坐标，从而表示出 ，即可得到 为定值.试题解析：（1）设圆心 ，过点 作 轴，垂足为 ，则 . ，化简为： .当 时，也满足上式.动圆圆心的轨迹 的方程为 。 （2）设直线的方程为 ， ，由 ，得 ， ， . ，解得 . 设 ，则 ， . 共线 ，即 ，
17、解得： （舍）或 . ，同理 ， （定值） 点睛：圆锥曲线中的定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关， （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数 。（1）若 ，试判断 的零点的个数。（2）若 恒成立，求 的取值范围。【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）若 ，对函数 求导，根据导函数的正负，可得函数 的单调性，从而可判断 的零点的个数；（2）法一： 恒成立等
18、价于 恒成立，令 ，设 ，则 ，再令 ，利用导数研究的单调性，从而可得到 的单调性，即可求得 的取值范围；法二：构造令 ，得到 ，令 ，利用导数研究 的单调性，即可得 的最小值，从而可得 的取值范围.试题解析：（1）若 ， ， .当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增. .函数 的零点个数为 0 （2）若 ，变形得到： .法一：令 ，得到 .设 ，则 .令 ，则 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减. ，则 . 在 上单调递减 当 ， ，则 . . 法二：令 ，得到 ，令 ，则 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增. ，即 在 上单调递增当 时， ，即 ，点睛：导数问题经常会遇见恒成立
19、的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;（3）若 恒成立，可构造新函数 ，转化为 .（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程： 在直角坐标系 中，过点 的直线的参数方程为 （为参数） 。以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。（1）求直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线与曲线 相交于 ， 两点，求 的值。【答案】(1)见解析;(2) .【
20、解析】试题分析：（1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将曲线 的极坐标方程两边同乘以 利用 即可得曲线 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程 （为参数）代入曲线 的直角坐标方程，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可得结果.试题解析：（1）由已知得： ，消去得 ，化为一般方程为： ，即： .曲线 ： 得， ，即 ，整理得 ，即： ： .（2）把直线的参数方程 （为参数）代入曲线 的直角坐标方程中得：，即 ，设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，则 ， .23. 选修 4-5：不等式选讲： 已知函数 。（1）求不等式 的解集；（2）当 时， 恒成立，求实数的取值范围。【答案】(1) ;2) .【解析】试题分析：（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式 的解集；（2）分三种情况讨论当 时， ；当时， ；当 时， ，综上，实数的取值范围为 .试题解析：（1）当 时， ， ，故 ；当 时， ， ，故 ；当 时， ， ，故 ；综上可知： 的解集为 .（2）由（1）知： ，【解法一】如图所示：作出函数 的图象，由图象知，当 时， ，解得： ，实数的取值范围为 .【解法二】当 时， 恒成立， ，当 时， 恒成立， ，当 时， 恒成立， ，综上，实数的取值范围为 .
