1、华中师大一附中 2017-2018 学年度上学期高三期中检测数学试卷（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由题意得，集合或 ，所以 ，所以 C.2. 已知 是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为 时， ，即充分性成立， 时，可能 ，所以必要性不成立，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A考点：
2、1、充分条件与必要条件；2、复数的运算【方法点睛】本题主要考查复数的运算及充分条件与必要条件，属于中档题判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题3. 已知 是两相异平面， 是两相异直线，则下列错误的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】在 A 中，若 ，则由直线与平面垂直的判定定理得 ，所以是正确的；在 B 中，若 ，则由平面与平面平行的判定定理得 ，所以直
3、正确的；在 C 中，若 ，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，所以是正确的；在 D 中，若 ，则 与 平行或异面，故是错误的，故选 D.4. 两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于 的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为 ，向上的点数之差的绝对值为 包含的基本事件有：共 8 个，所以向上的点数之差的绝对值为 的概率为 ，故选 B.5. 等差数列 的前 项和为 ，已知 .则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 设等差数列 的公差为 ，又 ，所以 ，解得 ，所以 ，故选 C.6. 已知 为区域 内的任
4、意一点，当该区域的面积为 时， 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由 作出可行域，如图，由图可得， ， ，由 ，得 ， ，化目标函数为 ，当 过 A 点时，z 最大， .考点：线性规划.7. 设 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意 ，所以 ，所以 ，故选 A.8. 执行如下图的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m= =0.5,S=S-m=0.5, =0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S
5、=“S-m“ =0.25, =0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=“S-m“ =0.125, =0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625, =0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=“S-m“ =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，执行第 6 次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,
6、=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出n=7，故选 C.考点：程序框图9. 如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为 4）中心，所以半径为 ，表面积为 ，选 C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何
7、体已知量的关系，列方程(组)求解.10. 若向量 满足 ，则 在 方向上投影的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意 ，所以 ，设 的夹角为 ，则 ，所以 ，所以 在 方向上投影为 ，因为 ，所以 ，故选 B.11. 已知双曲线 与函数 的图象交于点 ，若函数 的图象在点 处的切线过双曲线的左焦点 ，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：双曲线离心率的计算12. 若对于任意的正实数 都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由 ，可得 ，设 ，则可设 ，则 ，所以 ，所以 单调递减，又 ，所以 在 单调
8、递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 的值为_【答案】【解析】 由题意得 .14. 已知 ，点 在 内且 .若，则 _【答案】【解析】 如图所示，过 分别作 ，并分别交 于 ，则 ，所以 ，为等腰直角三角形，所
9、以 ，即 ，所以 .15. 已知函数 ，把 的图象按向量 平移后，所得图象恰好为函数 的图象，则 的最小值为_【答案】【解析】 由题意得，图象按向量 平移后，得到函数 ，函数 ，因为两个函数的图象相同，所以 ，所以 的最小值为 .点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及三角函数的图象变换，三角函数的向量平移、以及导数的计算等知识的综合应用，解答中熟记三角函数的图象变换和导数的运算时解答的关键，试题比较基础，属于基础题.16. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积取最小值时有 _【答案】【解析】 由正弦定理 ，即为 ，又 ，即 ，由于 ，即有 ，即有 ，由 ，即
10、有 ，解得 ，当且仅当 ，取得等号，当 取得最小值 ，又 （ 为锐角） ，则 ，则 .点睛：本题主要考查了解三角形问题的综合应用，其中解答中涉及解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的运用等知识点的综合考查，着重考查了学生的运算能力和分析问题、解答问题的能力，熟记公式、合理运用是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列 的前 项和为 ，且 为等差数列，且 .（1）求数列 和 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）根
11、据数量 和 的关系，即可求解数列 的通项公式，再利用等差数列通项公式，即可求解数列 的通项公式；（2）由（1）可知 ，利用乘公比错位相减法，即可求解数列 的和.试题解析：（1）当 时， ，当 时， ，经验证当 时，此时也成立，所以 ，从而 ，又因为 为等差数列，所以公差 ，故数列 和 通项公式分别为： .（2）由（1）可知 ，所以 得 -得：数列 的前 项和 .18. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成 组第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，第 组 ，得到的频率分布直方图如图所示，已
12、知第 组有 人.（1）求该组织的人数；（2）若在第 组中用分层抽样的方法抽取 名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这 名志愿者中随机抽取 名志愿者介绍宣传经验，求第 组至少有 名志愿者被抽中的概率.【答案】 （1） （2）应从第 组中分别抽取 人， 人， 人. （3）【解析】试题分析：（1）由题意第 组的人数为 ，即可求解该组织人数.（2）根据频率分布直方图，求得第 组，第 组， ，第 组的人数，再根据分层抽样的方法，即可求解再第 组所抽取的人数.（3）记第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，列出所有基
13、本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率.试题解析：（1）由题意第 组的人数为 ，得到 ，故该组织有 人.（2）第 组的人数为 ，第 组的人数为 ，第 组的人数为，所以第 组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在 名志愿者中抽取 名志愿者，每组抽取的人数分别为：第 组 ；第 组 ；第 组 .所以应从第 组中分别抽取 人， 人， 人.（3）记第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，第 组的 名志愿者为 ，则从 名志愿者中抽取 名志愿者有 ，共 有种.其中第 组的 名志愿者 至少有一名志愿者被抽中的有，共 有种.则第 组至少有 名志愿者被抽中的概率为 .19
14、. 如图，四棱锥 中，底面 是菱形，其对角线的交点为 ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）设 是侧棱 上的一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用直线与平面垂直的判定定理，容易判断 平面 ，而又是等腰三角形底边 上的高，所以 ，从而证明 平面 ；. （2）连 ，求出点 到面 的距离为 ，利用 和椎体的体积公式，即可求解几何体的体积.试题解析：（1）证明： 底面 是棱形， 对角线 ，又 平面 平面 ，又 为 中点， 平面 .（2）连 平面 平面 ，平面 平面 ，在三角形 中， 是 的中点， 是 的中点，取 的中点 ，连 ，则 底面 ，且 ，在直
15、角三角形 中， ，在直角三角形 中， ， ，.点睛：本题主要考查了直线与平面的垂直的判定与证明和几何体的体积的计算问题，其中解答中涉及直线与平面垂直的判定定理、椎体的体积公式和直角三角形的性质等知识点的综合考查，其中熟记判定定理和直角三角形的性质的应用是解答的关键，同时着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.20. 已知椭圆 的离心率为 ，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线 相切（ 为常数）.（1）求椭圆 的标准方程；（2）如图，若椭圆的 左、右焦点分别为 ，过 作直线 与椭圆分别交于两点 ，求的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：
16、（1）由椭圆离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径与直线相切，列出方程组求出 的值，由此能求出椭圆 的方程；（2）当直线 的斜率不存在时，推导出 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解 的取值范围.试题解析：（1）由题意故椭圆 .（2）若直线 斜率不存在，则可得 轴，方程为 ，故 .若直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，由 消去 得 ，设 ，则 .，则代入韦达定理可得由 可得 ，结合当 不存在时的情况，得 .点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线
17、与椭圆的位置关系的应用，同时考查了向量的数量积的运算，解答时要认真审题，注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用，审题有一定的难度，属于中档试题.21. 函数 .（1）若函数 ，求函数 的极值；（2）若 在 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ，没有极小值（2）【解析】试题分析：（）当 时分析函数 的单调性，确定函数的最大值；（）在 恒成立，通过变量分离转化为 在恒成立，进而构造新函数求最值即可试题解析：解：（1）当 时，由 得 ；由 得 ，在 递增，在 递减所以，当 时， 的最大值为当 时， 的最大值为（2） 在 恒成立在 恒成立设则当 时， ，且当 时，设 ，则 在 递增又使得
18、时， 时，时， 时，函数 在 递增，在 递减，在 递增由 知 ，所以又又 当 时，即 的取值范围是 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 参数方程为 （ 为参数） ，直线 的极坐标方程为 .（1）写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；（2）求曲线 上的点到直线 的最大距离，并求出这个点的坐标.【答案】 （1） ， （2） ，【解析】试题分析：（1）消去参数可得曲线 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线 的直角坐标方程；（2）在 上任取一点 ，求得曲线 上的点到直线 的最大距离，即可并求出这个点的坐标.试题解析：（1）曲线 的方程为 ，直线 的方程为 .（2）在 上任取一点 ，则点 到直线 的距离为 ，当 时， ，此时这个点的坐标为 .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） 或 （2） 或试题解析：（1） 等价于 或 或解得 或 故不等式 的解集为 或 （2）因为 （当 时等号成立） ，所以 ，由题意得 ，解得 或 考点：绝对值不等式的求解及应用
