1、1第 2 讲 一元二次不等式的解法本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。【知识梳理】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式 0 0 0二次函数y ax2 bx c(a0)的图象一元二次方程ax2 bx c0(a0)的根有 两 相 异 实 根x1,x2(x1 x2)有 两 相 等 实 根x1 x2b2a 无实根ax2 bx c0(a0)的解集xx2 x b2a一切实数ax2 bx c0(a0)的解集x1 x x2 无解 无解 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于
2、零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式【高效演练】1.下列哪个不等式是一元二次不等式（ ）Ax 2+ x1 Bx 2+ +10Cx 2+ +10 Dx+10【解析】只有 是一元二次不等式，而 +10 含有根式，没有定义次数，0 是分式不等式，不定义次数，x+10 是一元一次不等式故选：A2【答案】A2不等式 230x的解集是（ ）A 或 1B 2x或 1C x D 【解析】由 230，可得； 230()0xx，所以原不等式的解集为 1。【答案】C3.一元二次不等式 ax2+bx+c0 的解集为 R，则必有（ ）ABCD【分析】由题意，结
3、合图象与二次函数的性质得到答案4.一元二次不等式 2kx2+kx 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围是（ ）A 30k B 30C D k或 【分析】由二次项系数小于 0，对应的判别式小于 0 联立求解【解答】解：由一元二次不等式 2kx2+kx 0 对一切实数 x 都成立，则 ，解得3k0综上，满足一元二次不等式 2kx2+kx 0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是 30k3【答案】A【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”的结合解题。5.已知二次函数 y=x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次不等式
4、x 2+2x+m0 的解集为 【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与 x 轴的另一个交点，再写出 x 轴下方部分的 x 的取值范围即可【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与 x 轴的另一个交点坐标6.解下列不等式：(1)x27 x120； (2)x22 x10；(3) x22 x30； (4)x22 x20.【解析】(1)方程 x27 x120 的解为 x13， x24.而 y x27 x12 的图象开口向上，可得原不等式 x27 x120 的解集是 x3 或 x4.(2)方程 x22 x10 有两个相同的解 x1 x
5、21.而 y x22 x1 的图象开口向上，可得原不等式 x22 x10 的解集为无解(3)不等式两边同乘以1，原不等式可化为 x22 x30.方程 x22 x30 的解为 x13， x21.而 y x22 x3 的图象开口向上，可得原不等式 x22 x30 的解集是3 x14(4)因为 0，所以方程 x22 x20 无实数解，而 y x22 x2 的图象开口向上，可得原不等式 x22 x20 的解集为一切实数。7.已知一元二次不等式 x2axb0 的解集是 1x3；（1）求实数 a，b 的值；（2）解不等式 【分析】 （1）由题意可得 1 和 3 是 x2axb=0 的实数根，利用韦达定理求
6、得 a 和 b 的值（2）不等式即 1，即 0，即（x3）（x+7）0，解一元二次不等式，求得 x 的范围【解答】解：（1）因为不等式 一元二次不等式 x2axb0 的解集是 1x3；1 和 3 是 x2axb=0 的实数根，1+3=a，13=b，即 a=4，b=3（2）不等式 1，即为 1，即 0，即（x3）（x+7）0，x3，或 x7，故原不等式的解集为 x3 或 x7【点评】本题主要考查一元二次不等式、分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题8不等式 x2 ax b0 的解集为.【解析】由题意知 2,3 是方程 x2 ax b0 的解，Error! Error!不等式 bx2 ax10 为6 x25 x10,6 x25 x10， 解集为 13-9.解关于 x 的不等式： ax2( a+1)x+10【解析】若 a=0，原不等式 x+10 x1；若 a0，原不等式 2(1)1()10xxaa或 ；若 a0，原不等式 xa，其解的情况应由 与 1 的大小关系决定，故（1）当 a=1 时，原不等式 无解；（2）当 a1 时，原不等式 1xa；5
