1、复习提问,简述梅公式逊,第三章 控制系统的时域分析法,建立了系统的数学模型以后，就可求得已知输入信号作用下系统的输出响应，据此，对系统的性能作出定性的分析和定量的计算。,对线性定常系统，常用的方法有时域法、根轨迹法和频率法。本章讨论的时域分析法。,第一节 典型输入信号,第二节 一阶系统的时间响应,第五节 控制系统的稳定性分析,第六节 基于MATLAB的时域分析,第三节 二阶系统时间响应,第四节 控制系统的误差分析,第三章 控制系统的时域分析法,1阶跃信号,数学表达式：,拉氏变换：,当 R0 =1 时，称为单位阶跃函数:1(t),R0,阶跃信号,r(t)=,0,t0,R0,t0,3.1 典型输入
2、信号,2斜坡信号,数学表达式：,拉氏变换：,斜坡信号,当0=1 时，称为单位斜坡函数。,1,r(t)=,0,t0,t0,3.1 典型输入信号,抛物线信号,3抛物线信号,数学表达式：,拉氏变换：,当a0=1 时，称为单位抛物线函数。,1,r(t)=,0,t0,t0,3.1 典型输入信号,4. 脉冲信号,数学表达式：,脉冲信号,理想脉冲信号,r(t)=,0, t0,0t,单位理想脉冲函数：,H=1,0,t0,t=0,拉氏变换：,R(s)=1,理想脉冲函数特点：,3.1 典型输入信号,5正弦信号,数学表达式：,拉氏变换：,r(t)=,0,t0,Asint,t0,3.1 典型输入信号,第三章 控制系统
3、的时域分析法,第二节 一阶系统的时间响应,根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。,3.2.1 一阶系统的数学模型,3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应,3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应,3.2.4 一阶系统的重要特性,3.2.1 一阶系统的数学模型,时间常数,一阶系统的动态结构图,闭环传递函数为,当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.,拉氏反变换：,3.2.2单位阶跃响应,系统在单位阶跃信号作用下的输出响应.,一阶系统单位阶跃响应:,单位阶跃响应:,c(t)=1-e-t/T,单位阶跃响应曲线,1,T,2T,3T,4T,0.
4、98,0.632,0.86,0.95,一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:,ts = 3T,(2%),ts = 4T,(5%),第二节 一阶系统的时间响应,3.2.3单位斜坡响应,c(t)=t-T+Te-t/T,单位斜坡响应为:,单位斜坡响应曲线,c(t),r(t),T,系统的误差：,e(t)= r(t) -c(t),=t-(t-T+Te-t/T ),=T(1-e-t/T ),=T,第二节 一阶系统的时间响应,3.3.4 单位脉冲响应,单位脉冲响应为:,R(s)=1,单位脉冲响应曲线,第二节 一阶系统的时间响应,系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型
5、信号的响应，就可推知于其它。,根据一阶系统三种响应的输入输出信号:,可知:,c(t)=1-e-t/T,c(t)=t-T+Te-t/T,r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=(t),3.2.5 线性定常系统的重要特性,例 一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间t s (5%),如果要求 t s= 0.1s，求反馈系数。,Kk= 100,KH= 0.1,解：,闭环传递函数,得:,t s=3T=30.1,=0.3,若要求:,t s=0.1 s,则:,t s=30.01/KH=0.1,KH =0.3,第二节 一阶系统的时间响应,例 试分析液位控制系统参数与系统性能之间的关系。,解：,闭环传递函数
6、,系统的单位阶跃响应：,h(t)=K(1-e-t/T ),系统的稳态误差：,单位阶跃响应曲线,4T,ess,1,t,系统的调节时间：,第二节 一阶系统的时间响应,作业习题：,3-2,3-3,第二节 一阶系统的时间响应,第三章 控制系统的时域分析,第三节 二阶系统的时间响应,3.3.1 二阶系统的数学模型,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。,系统的典型结构:,阻尼比,无阻尼自然振荡频率,3.3.1 二阶系统的数学模型,求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。,第三节 二阶系统的时间响应,例如：RL
7、C电路的传递函数为,得：,二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。,3.3.1 二阶系统的数学模型,值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。,C(s)=(s)R(s),3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,第三节 二阶系统的时间响应,1. 1 过阻尼,两不相等 负实数根,c(t)=A1+A2es1t+A3es2t,系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。,单位阶跃响应曲线,1,1,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,2.=1 临界阻尼,两相等负实数根,输出响应无振荡和超调。=1时系统的响应速度比1 时快。,单位阶跃响
8、应曲线,1,=1,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,3. 01 欠阻尼,令：, 阻尼振荡频率,则：,单位阶跃响应：,另：,得：,拉氏反变换：,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,S1,S2,0,系统参数间的关系:,根据:,得:,单位阶跃响应曲线,1,1,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,4. =0 无阻尼,单位阶跃响应:,单位阶跃响应曲线,1,=0,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,从以上结果可知:值越大，系统的平稳性越好；值越小，输出响应振荡越强。,不同值时系统的单位阶跃响应,1,=0,1,=1,1,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响
9、应.,解：,1,拉氏反变换,c(t)=1-2e-t+e-2t,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,例 已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响应.,解：,=0.25,得：,=1-1.03e-0.5tsin(1.9t+75o),将参数代入公式:,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论和计算。其单位阶跃响应曲线：,1,tr,tp,%,ts,ess,性能指标有：,性能指标求取如下,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,1. 上升时间tr,2. 峰值时间tp,3. 超调量%,4. 调节时间ts,5. 稳态误差ess,第三节 二阶系统的时间响应,=1,1. 上升时
10、间tr,即,根据定义有,则,1,tr,得:,其中:,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,2. 峰值时间tp,根据定义有,即,1,tp,则,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,3. 超调量%,代入公式：,1,tp,%,另,则,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,4. 调节时间ts,可用近似公式：,5%误差带,2%误差带,当大于上述值时，可用近似公式计算：,ts =3T,0.68,0.76,1,ts,ts =4T,误差带,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,5. 稳态误差ess,根据稳态误差的定义,欠阻尼二阶系统的稳态误差:,1,r(t)=I(t),ess= 1-1=0,e(t)= r(t) -c
11、(t),3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,以上为欠阻尼二阶系统在单位阶跃输入作用下性能指标的求取。过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。,c(t)=A1+A2es1t+A3es2t,稳态误差的计算：,调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：,设,|s1|s2|,ts3T1,5%误差带,ts4T1,2%误差带,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：,主要由决定。,1）平稳性：,%平稳性越好。, = 0 时,系统等幅振荡,不能稳定工作。,2）快速性：,太小或太大,快速性均变差。,当 0.707之后又有 ts。,综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取
12、= 0.707为最佳。,3）准确性：,的增加和n的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪 斜坡信号的稳态误差增加。,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,例 已知系统的闭环传递函数 ，当K = 2, K = 4 时，求系统的单位阶跃响应和性能指标% ,ts 。,解：,(1) K = 2,=1.061,c(t)=1-2e-t+e-2t,1,系统性能指标,ts=3T1=3,(2) K = 4,=0.751,=1-1.5e-1.5t sin(1.32t+41.4o),=2.8%,=2.67,3,2.67,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,例 已知随动系统的结构如图, 试计算在不同参数下, 系统的
13、动态性能指标。,设,F=34.5,则,下面求取不同K时系统的性能指标。,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,解：,闭环传递函数,(1) K=1000,=0.545,=0.12,=0.17,=13%,随动系统响应曲线,1,(2) K=7500,=0.2,=0.037,=0.17,=52.7%,(3) K=150,=1.41,ts=3T1=0.59,0.17,0.59,3.3.3 二阶系统的瞬态响应指标,作业习题：,3-7,3-8,第三节 二阶系统的时间响应,输出信号,第三章 控制系统的时域分析,第四节 控制系统的误差分析,系统误差,43,1）静差表示系统的静态精度，只有稳定系统才谈得上静差 2）
14、静差与输入信号有关，用一些典型输入信号作为标准,第六节 控制系统的误差分析,稳态误差（静差）：,系统的开环传递函数：,=0， 0型系统 =1，型系统 =2，型系统 型以上的系统很少见,第六节 控制系统的误差分析,3.4.1 控制系统的分类,3.4.2 误差与偏差,Y0 (s):被控量的期望值,Y(s)：被控量的实际值,系统误差,系统偏差,当系统偏差等于零时，系统输出信号与输入信号相等，故有,第六节 控制系统的误差分析,3.4.3 偏差传递函数,稳态误差：,根据终值定理得:,由于偏差易于测量、便于工程应用，所以进行系统误差分析时，分析、计算的是系统的偏差。,1静态位置误差系数Kp,设,r(t)=
15、R0 1(t),3.4.4 稳态偏差的计算,设静态位置误差系数:,=0,Kp=K,Kp=,essr=0,1,阶跃输入时不同型别系统响应曲线,(a)= 0,(b) 1,r(t),c(t),r(t),c(t),essr=0,ess,ess=0,3.4.4 稳态偏差的计算,2静态速度误差系数K,设,设静态速度误差系数:,可得：,=0,essr=,=1, 2,essr=0,3.4.4 稳态偏差的计算,r(t),c(t),斜坡输入时不同型别系统响应曲线,(a)= 0,(b)= 1,r(t),c(t),essr=,ess,ess,(c) 2,r(t),c(t),essr=0,ess,3.4.4 稳态偏差的
16、计算,3静态加速度误差系数Ka,设,设静态加速度误差系数,1,可得：,Ka=0,essr=,=2,Ka=K, 3,Ka=,essr=0,3.4.4 稳态偏差的计算,r(t),c(t),r(t),c(t),抛物输入时不同型别系统响应曲线,(a)1,essr=,ess,(b)= 2,ess,3.4.4 稳态偏差的计算,I型,0型,II型,0,0,0,根据前面的分析可得出典型结构的系统，稳态误差与系统输入和型号的关系为：,输入的阶次越高，稳态误差越大。系统的型号越高，稳态误差越小。,3.4.4 稳态偏差的计算,结论：减小和消除由输入信号作用引起的稳态误差的方法：1）提高系统的开环放大倍数2）增加积分
17、环节,例 已知系统的结构如图所示。求系统的稳态误差。,解：,开环传递函数为,=,ess1=0,ess2=0.2,=5,essr=ess1+ess2,=0.2,3.4.4 稳态偏差的计算,3.4.5 扰动信号作用下的稳态误差,D(s)作用下的系统结构图,R(s)=0,当,远远大于1时：,结论：扰动作用下产生的稳态误差，主要取决于扰动点作用以前的环节,例 已知系统的传递函数， 求系统的稳态误差。,H(s)=2,r(t)=2t,d(t)=0.51(t),解：,系统的开环传递函数为,=0.1,=-0.25,ess=essr+essd,=0.1-0.25=-0.15,3.4.5 扰动信号作用下的稳态误差
18、,3.4.6 动态误差,1.具有相同稳态偏差系数的不同系统,其稳态偏差系数：,用稳态误差反映的是系统的终值误差，不能反映误差随时间的变化规律，动态误差可以研究误差的瞬态分量随时间的变化规律。,3.4.6 动态误差,2.动态误差系数,将系统的误差传递函数在s=0按泰勒级数展开：,式中ki即为动态误差系数。故,3.4.6 动态误差,例：已知某单位反馈系统的开环传递为,试求动态误差系数，并求在参考输入x(t)=a0+a1t+a2t2作用下系统的稳态误差。,解：系统的误差传递函数为,小结与作业,小结：,1.控制系统的分类,2.误差与偏差,3. 偏差传递函数,4.稳态偏差的计算,5. 扰动信号作用下的稳
19、态误差,6 . 动态误差,作业：,3-10,3-11,3-12,3-14,分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。,3.5.1 稳定性的基本概念,3.5.2 系统稳定的条件,3.5.3 劳斯稳定判据,第三章 控制系统的时域分析法,第五节 控制系统的稳定性分析,右图是塔科马峡谷 的首座大桥，开 通于1940年7月 1日。只要有风， 这座大桥就会晃 动。,第五节 控制系统的稳定性分析,3.5.1 稳定性的基本概念,4 个月之后，一 阵风吹过，引起 桥的晃动，而且 越来越大，直到 .,同理，不要在桥上齐步走！,3.5.1 稳定性的基本概念,例 麦克风和扬声器,增大功率,
20、减小距离,尖叫,3.5.1 稳定性的基本概念,(a) K=5，k=0.1110 1.5 15 2 20 (b) K=5, k=0.21 (c) K=10, k=0.11,G(s)=K/（1-K*k） 拾音器正反馈,例 麦克风和扬声器,3.5.1 稳定性的基本概念,稳定性：,稳定,不稳定,3.5.1 稳定性的基本概念,如果处于某平衡状态系统受到扰动后，偏离原来的平衡状态而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到到原来的平衡状态，则称系统是稳定的。,传递函数的一般表达式：,nm,3.5.2. 系统稳定的条件,系统输出拉氏变换：,1）系统闭环极点为不相等的实数根,c(t)=A0+A1es1t+Anesnt,
21、稳定的系统其瞬态分量应均为零。,即：,lim esit0,系统单位脉冲响应：,C(s),系统稳定的充分与必要条件：系统闭环极点为不相等的负实数根,2）特征根有重根,3.5.2. 系统稳定的条件,系统单位脉冲响应中有 分量,tiesnt,3）特征根有复数根,系统单位脉冲响应中有 分量,Asin(it+i)eit,系统稳定的充分与必要条件：系统特征根的实部为负实数,系统稳定的充分与必要条件：系统特征根为负实数根,结论：系统所有特征根的实部小于零,即特征方程的根位于S左半平面。,根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。,劳斯稳定判据是根据
22、闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。,下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。,3.5.3 劳斯稳定判据,根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：,设系统的特征方程为,a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0,a0 a2 a4 ,a1 a3 a5 ,b42,sn-3,s0,sn,sn-1,sn-2,b31,b32,b33,b31=,a1a2,-a0a3,a1,b41,b32=,a1a4,-a0a5,a1,b41=,b31a3,-b32a1,b31,b42=,b31a5,-b33a1,b31,b43,bn+1,系统稳
23、定的条件：,(1) 特征方程式各项系数都大于零。,(2) 劳斯表中第一列元 素均为正值。,第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。,3.5.3 劳斯稳定判据,例 已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。,解：,s4+2s3+3s2+4s+5=0,劳斯表如下：,1 3 5,s1,s0,s4,s3,s2,b31,b32,b41,b51,2 4,b31=,2*3,-1*4,2,=1,1,b32=,2*5,-1*0,2,= 5,5,b41=,1*4,-2*5,1,=-6,-6,b51=,-6*5,-1*0,-6,= 5,5,有两个正实部根，系统不稳定。,3.5.3 劳斯稳定判据,例 系统如图所示
24、，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。,闭环传递函数,特征方程:,s3+14s2+40s+40K=0,解：,劳斯表:,1 40,s3,s2,14 40K,s1,b31,b31=,14*40,-1*40K,14,s0,b41,40K,系统稳定的条件:,0,560-40K0,40K0,14K0,3.5.3 劳斯稳定判据,如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。,下面举例说明:,该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。,此时，可用一个接近于零的很小的正数来代替零，完成劳斯表的排列。,3.5.3 劳斯稳定判据,例 已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。
25、,劳斯表为:,系统有一对纯虚根,s3+2s2+s+2=0,解：,1 1,s3,s2,2 2,s1,b31,=0,s0,b41,2,通过因式分解验证:,s3+2s2+s+2=0,(s+2)(s2+1)=0,s1=-2,s2.3=j,b31=,2*1,-2*1,2,=2,b41=,-2*0,不稳定,3.5.3 劳斯稳定判据,例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定 方程的根在s平面上的分布。,解：,s3-3s+2=0,方程中的系数有负值，系统不稳定。,劳斯表为:,1 -3,s3,s2,0 2,s1,b31,b31=,s0,b41,2,通过因式分解验证:,s3-3s+2,=(s-1)2(s+2)=0
26、,s1.2=1,s3=-2,第一列元素的符号变化了两次,有一对不稳定根。,3.5.3 劳斯稳定判据,如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。,下面举例说明:,此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。,3.5.3 劳斯稳定判据,例 已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。,由为零上一行的元素组成辅助多项式：,s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0,解：,劳斯表为:,1 8 20 16,s6,s5,2 12 16,s4,2,s3,0,16,12,P(s)=2s4+12s2+16,=8s3+24s,代入,0,8,24,s2,16,6,8/3,s1,s0,16,劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。,系统有虚根,不稳定。,3.5.3 劳斯稳定判据,作业习题：,3-5,3-6,3.5.3 劳斯稳定判据,
