1、四边形的有关计算 四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.2015 年计算量和难度都有所下降20112015 年北京中考知识点对比题型年份 2011 2012 2013 2014 2015题型 梯形有关计算四边形有关计算四边形有关证明及计算四边形有关证明及运算四边形有关证明与计算12015北京 如图 Z51，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE AB 于点 E，点 F 在边CD 上， DF BE，连接 AF， BF.(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；(2)若 CF3， BF4， DF5，求证： AF 平分
2、DAB.图 Z5122014北京 如图 Z52，在 ABCD 中， AE 平分 BAD，交 BC 于点 E， BF 平分 ABC，交 AD 于点 F， AE 与 BF 交于点 P，连接 EF， PD.(1)求证：四边形 ABEF 是菱形；(2)若 AB4， AD6， ABC60，求 tan ADP 的值图 Z5232013北京 如图 Z53，在 ABCD 中， F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使CE BC，连接 DE， CF.12(1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形；(2)若 AB4， AD6， B60，求 DE 的长图 Z5342012北京 如图 Z54，在四边形 ABCD
3、 中，对角线 AC， BD 交于点 E， BAC90， CED45， DCE30， DE ， BE2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积2 2图 Z54一、以特殊平行四边形为背景图形12015顺义一模 如图 Z54，平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，且 CE BD于点 F，将 DEC 沿从 D 到 A 的方向平移，使点 D 与点 A 重合，点 E 平移后的点记为 G.(1)画出 DEC 平移后的三角形；(2)若 BC2 ， BD6， CE3，求 AG 的长5图 Z5522015东城一模 如图 Z56，在 ABC 中， BCA90， CD 是边 AB 上的中线，分别过
4、点 C， D 作 BA， BC 的平行线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE.(1)求证：四边形 ADCE 是菱形；(2)若 AC2 DE，求 sin CDB 的值图 Z5632015海淀一模 如图 Z57，在 ABCD 中， BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，连接 BE， F45.(1)求证：四边形 ABCD 是矩形；(2)若 AB14， DE8，求 sin AEB 的值图 Z5742015朝阳一模 如图 Z58，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 D 作DE AC 且 DE AC，连接 CE， OE，连接 AE 交 OD
5、 于点 F.12(1)求证： OE CD；(2)若菱形 ABCD 的边长为 2， ABC60，求 AE 的长图 Z5852015西城一模 如图 Z59，在四边形 ABCD 中， BD 垂直平分 AC，垂足为 F， E 为四边形 ABCD 外一点，且 ADE BAD， AE AC.(1)求证：四边形 ABDE 是平行四边形；(2)如果 DA 平分 BDE， AB5， AD6，求 AC 的长图 Z59二、以一般四边形为背景图形12014海淀一模 如图 Z510，在 ABC 中， ACB90， ABC30， BC2 ，以 AC 为边在 ABC 的外部作等边三角形 ACD，连接 BD.3(1)求四边形
6、 ABCD 的面积；(2)求 BD 的长图 Z51022014顺义一模 如图 Z511，在四边形 ABCD 中， B D90， C60，BC4， CD3，求 AB 的长图 Z51132014石景山一模 如图 Z512，在四边形 ABCD 中， AB2， A C60，DB AB 于点 B， DBC45，求 BC 的长图 Z51242014昌平一模 已知：如图 Z513， BD 是四边形 ABCD 的对角线， AB BC， C60， AB1， BC3 ， CD2 .3 3(1)求 tan ABD 的值；(2)求 AD 的长图 Z513三、以三角形为背景图形12015平谷一模 如图 Z514， BD
7、 是 ABC 的角平分线，点 E， F 分别在 BC， AB 上，且 DE AB， EF AC.(1)求证： BE AF；(2)若 ABC60， BD12，求 DE 的长及四边形 ADEF 的面积图 Z51422015延庆一模 如图 Z515，点 O 是 ABC 内一点，连接 OB， OC，并将AB， OB， OC， AC 的中点 D， E， F， G 依次连接，得到四边形 DEFG.(1)求证：四边形 DEFG 是平行四边形；(2)如果 OBC45， OCB30， OC4，求 EF 的长图 Z51532015海淀二模 如图 Z516，已知：在 ABC 中， D 是 BC 上的一点，且 DAC
8、30，过点 D 作 ED AD 交 AC 于点 E， AE4， EC2.(1)求证： AD CD；(2)若 tanB3，求线段 AB 的长图 Z51642015大兴一模 已知：如图 Z517，在 ABC 中， C90， AC BC ，将2ABC 绕点 A 顺时针旋转 60到 AB C的位置，连接 CB.(1)请你判断 BC与 AB的位置关系，并说明理由；(2)求 BC的长图 Z517参考答案北京真题体验1.证明：(1)四边形 ABCD 为平行四边形， DC AB，即 DF BE.又 DF BE，四边形 DEBF 为平行四边形又 DE AB，即 DEB90，四边形 DEBF 为矩形(2)四边形
9、DEBF 为矩形， BFC BFD90. CF3， BF4， BC 5，32 42 AD BC5， AD DF， DAF DFA. CD AB， DFA FAB， DAF FAB，即 AF 平分 DAB.2解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， AD CB. AE 平分 BAD， BF 平分 ABC， BAE DAE， ABF CBF. AD BC， DAE BEA， EBF AFB， ABF AFB， BAE AEB， AB BE， AB AF， AF BE. AF BE，四边形 ABEF 为菱形(2)如图，过点 P 作 PH AD 于点 H. ABC60， AB B
10、E， ABE 为等边三角形， AE AB4， AEB60. AD BC， DAE60.四边形 ABEF 为菱形， P 为 AE 的中点， AP2.在 Rt APH 中， AHP90， PAH60， AP2， AH1， PH .3 AD6， DH5，tan ADP .PHDH 353解：(1)证明：在 ABCD 中， AD BC，且 AD BC. F 是 AD 的中点， DF AD.12又 CE BC，12 DF CE，且 DF CE，四边形 CEDF 是平行四边形(2)如图，过点 D 作 DH BE 于点 H.在 ABCD 中， B60， DCE60. AB4， CD AB4， CH2， DH
11、2 .3在 CEDF 中， CE DF AD3，则 EH1.12在 Rt DHE 中，根据勾股定理知 DE .DH2 EH2 （ 2 3） 2 1 134解：如图，过点 D 作 DH AC 于点 H. CED45， DH EC， DE ，2 EH DH1.又 DCE30， HC ， DC2.3 AEB45， BAC90， BE2 ，2 AB AE2， AC21 3 ，3 3 S 四边形 ABCD 2(3 ) 1(3 ) .12 3 12 3 3 3 92北京专题训练一、以特殊平行四边形为背景图形1解：(1)如图所示(2)四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC.由平移可知点 C 平移到点
12、B，且 DEC AGB， BG CE， BG CE. CE BD， CE3， BG3， GBD90.在 Rt GBD 中， BD6， BG3. DG3 .5又 BC2 ，5 AD2 ，5 AG DG AD .52解：(1)证明： DE BC， CE AB，四边形 DBCE 是平行四边形， CE BD.又 CD 是边 AB 上的中线， BD AD， CE DA.又 CE DA，四边形 ADCE 是平行四边形 BCA90， CD 是斜边 AB 上的中线， AD CD，四边形 ADCE 是菱形(2)过点 C 作 CF AB 于点 F.由(1)可知 BC DE.设 BC x，则 AC2 x.在 Rt
13、ABC 中，根据勾股定理可求得 AB x.5 ABCF ACBC，12 12 CF x.ACBCAB 2 55 CD AB x，12 52sin CDB .CFCD 453解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， DAF F. F45， DAE45. AF 是 BAD 的平分线， EAB DAE45， DAB90.又四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形(2)如图，过点 B 作 BH AE 于点 H.四边形 ABCD 是矩形， AB CD， AD BC， DCB D90. AB14， DE8， CE6.在 Rt ADE 中， DAE45， DEA DAE
14、45， AD DE8， BC8.在 Rt BCE 中，由勾股定理得 BE 10.BC2 CE2在 Rt AHB 中， HAB45， BH ABsin457 .2在 Rt BHE 中， BHE90，sin AEB .BHBE 7 2104解：(1)证明：在菱形 ABCD 中， OC AC.12 DE AC，12 DE OC.又 DE AC，四边形 OCED 是平行四边形 AC BD， OCED 是矩形， OE CD.(2)在菱形 ABCD 中， ABC60， ABC 为等边三角形， AC AB2， AO AC1.12在矩形 OCED 中， CE OD .AD2 AO2 3在 Rt ACE 中，
15、AE .AC2 CE2 75解：(1)证明： ADE BAD， AB ED. BD 垂直平分 AC，垂足为 F， BD AC， AF FC.又 AE AC， EAC DFC90， AE BD，四边形 ABDE 是平行四边形(2)如图，连接 BE 交 AD 于点 O. DA 平分 BDE， ADE1.又 ADE BAD，1 BAD， AB BD， ABDE 是菱形 AB5， AD6， BD AB5， AD BE， OA AD3.12在 Rt OAB 中， OB 4.AB2 OA2 S ABD ADOB BDAF，12 12645 AF，解得 AF4.8. BD 垂直平分 AC， AC2 AF9.
16、6.二、以一般四边形为背景图形1解：(1)在 ABC 中， ACB90， ABC30， BC2 ，3cos ABC ， AC AB， BAC90 ABC903060，BCAB 12 AB 4， AC 42.BCcos ABC 2 3cos30 12 ACD 为等边三角形， AD CD AC2， DAC60.如图，过点 D 作 DE AC 于点 E，则 DE ADsin DAC2sin60 ，3 S 四边形 ABCD S ABC S ACD ACBC ACDE12 12 22 212 3 12 33 .3(2)如图，过点 D 作 DF AB 于点 F. DAF180 BAC DAC1806060
17、60， DF ADsin DAF2sin60 ，3AF ADcos DAF2cos601， BF AB AF415. DF AB，在 Rt BDF 中， BD2 DF2 BF2( )25 228，3 BD2 .72解：如图，延长 BA， CD 交于点 E. B90， C60， BC4， E30， CE8， BE4 .3 CD3， DE5， AE ，DEcosE 5cos30103 3 AB BE AE4 .3103 3 23 33解：如图，过点 D 作 DE BC 于点 E. DB AB， AB2， A60， BD ABtan602 .3 DBC45， DE BC， BE DE BDsin45
18、 .6 C A60， DEC90， CE ，DEtan60 2 BC .2 64解：(1)如图，过点 D 作 DE BC 于点 E.在 Rt CDE 中， C60， CD2 ，3 CE ， DE3.3 BC3 ，3 BE BC CE3 3，3 3 DE BE3，在 Rt BDE 中， EDB EBD45. AB BC， ABC90， ABD ABC EBD45，tan ABD1.(2)如图，过点 A 作 AF BD 于点 F.在 Rt ABF 中， ABF45， AB1， BF AF .22在 Rt BDE 中， DE BE3， BD3 ，2 DF BD BF3 ，222 5 22在 Rt A
19、FD 中， AD .DF2 AF2 13三、以三角形为背景图形1解：(1)证明： DE AB， EF AC，四边形 ADEF 是平行四边形， ABD BDE， AF DE. BD 是 ABC 的角平分线， ABD DBE， DBE BDE， BE DE， BE AF.(2)如图，过点 D 作 DG AB 于点 G，过点 E 作 EH BD 于点 H. ABC60， BD 是 ABC 的平分线， ABD EBD30， DG BD 126.12 12 BE DE， BH DH BD6，12 BE 4 ，BHcos30 3 DE BE4 ，3四边形 ADEF 的面积为 DEDG24 .32解：(1)
20、证明： D， G 分别是 AB， AC 的中点， DG BC， DG BC.12 E， F 分别是 OB， OC 的中点， EF BC， EF BC，12 DG EF， DG EF，四边形 DEFG 是平行四边形(2)过点 O 作 OM BC 于点 M.在 Rt OCM 中， OCM30， OC4. OM OC2，12 CM2 .3在 Rt OBM 中， OBM BOM45， BM OM2， BC22 ，3 EF1 .33解：(1)证明： ED AD， ADE90.在 Rt ADE 中， DAE30， AE4， DEA60， DE AE2.12 EC2， DE EC， EDC C.又 EDC
21、C DEA60， C30 DAE， AD DC.(2)如图，过点 A 作 AF BC 于点 F. AFC AFB90. AE4， EC2， AC6.在 Rt AFC 中， AFC90， C30， AF AC3.12在 Rt AFB 中， AFB90，tan B3， BF 1，AFtanB AB .AF2 FB2 104解：(1) BC与 AB互相垂直理由：如图，连接 BB，延长 BC交 AB于点 D. ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AB C， AB AB， BAB60， ABB是等边三角形， AB BB. AC BC， AC B C.在 ABC和 B BC中，AB B B，AC B C ，BC BC ， ) ABC B BC( SSS)， ABC B BC， BD AB.(2) C90， AC BC ， AB2， AB2.2由(1)知 BD AB且 D 为 AB的中点， C D 21.12在 Rt ABD 中， ABD ABB30， AB2， BD2 ，12 32 3 BC BD C D 1.3
