2019年高考数学一轮复习 第01章 集合与常用逻辑用语讲测练（打包9套）理.zip

1第 01 节 集合的概念及其基本运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．1． 【2018 四省名校三模】设集合 ，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【名师点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系以及全称命题和特称命题的特征等，属于易错题．错误的主要原因是没有弄懂全称命题和特称命题的定义．2． 【2018 陕西一模】已知集合 2A|30 ,24xxB，则 AB ( )A．  B． |xR C． |1 D． x【答案】B【解析】 2|30|x2,|4|2,xB或 AB|xR，故选 B．3． 【2018 重庆一中模拟】已知 1,34， 5,678y，则 xy可表示不同的值的个数为（ ）A．2 B．4 C．8 D．15【答案】D【解析】从 x中取数有 4种取法，从 y中取数有 4种取法，共有 416种取法，其中 3846，165种，故选 ．4． 【2018 海南二模】设集合 {|}Ax， {|lg}Byx，则 AB（ ）A． 0, B． 0, C． R D． ,02【答案】B【解析】集合 |{|0}Axyx， |lgByxR，则 |0,ABx．故选 B．5． 【2018 商丘二模】已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为 ，又因为 ，所以 ，所以 ，选 B．6． 【2018 太和中学模拟】已知集合 ，集合 ，若 的概率为 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B7． 【2018 梅河口模拟】设集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】 ， ，所以 ，选 A．8． 【2018 山东烟台二模】已知集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出集合 A，求出 A，B 的交集即可．3详解： ={0，1，2}，B={﹣3，0，1}，则 A∩B={0，1}，故选 C．【名师点睛】本题主要考查了集合的描述法和集合的交集运算，属于基础题.9． 【2018 广东模拟】已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得： ，又 ，，∴ ，∴ ，故选 D。10． 【2018 江西联考】已知集合 UR， 2{|5}AxZ， 20Bx，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A． 2 B． 1, C． 0,2 D． 0,12【答案】C【解析】图中阴影部分表示的集合为 UBA．∵ 2{|5}AxZ， 20x，∴ 2,10,， ,0,2B，∴0,UCB．故选 C．11． 【2018 郴州二模】已知 2log3Axyx， 24Byx，则 RCAB（ ）A． 12,3 B． 12,3 C． , D． 1,【答案】A412． 【2018 重庆二模】设集合 22,|3sin3cos1,AxyyR，,|3410Bxy，记 PB，则点集 P所表示的轨迹长度为（ ）A． 25 B． 7 C． 2 D． 43【答案】D【解析】由题意得圆 223sincos1xy的圆心 3sin,cos在圆 29xy上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合 A 表示的区域是如图所示的环形区域．由于原点 0,到直线 3410xy的距离为 21034d，所以直线 3410xy恰好与圆环的小圆相切．所以 PAB表示的是直线 3410xy截圆环的大圆 216xy所得的弦长．故点集 所表示的轨迹长度为 23．选 D．点睛：解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合 A和 PB的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．513． 【2018 上海模拟】设集合 1|,2xMyR， 1| 12,Nyxmx   ，若 N，则实数 m的取值范围是_________．【答案】 1,014． 【2018 河北邯郸一模】已知集合 1{|}2Mx， 32{|10}AxMxa，{|20}BxMa，若集合 AB的子集的个数为 8，则 a的取值范围为__________．【答案】 51,,8【解析】作函数 3211,,2,hxxgx图像，因为集合 AB的子集的个数为 8，所以集合 AB的子集的元素为 3，因此 51128ahaf且 ，即 a的取值范围为 51,,28．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶6性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15． 【2018 金华十校模拟】记 {|sinAfx为偶函数， 是正整数 }，{|10}Bxa，对任意实数 a，满足 AB中的元素不超过两个，且存在实数 a使A中含有两个元素，则 的值是__________．【答案】4、5、6【解析】由题意得 |1Bxa．∵ {|sinAfx为偶函数， 是正整数 }，∴ 21{|,*}|,*}2kAkZNZN ，∵对任意实数 ，满足 A中的元素不超过两个，且存在实数 a使 AB中含有两个元素，∴ 中任意相邻的两个元素的间隔必小于 1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于 1．∴21{ ，解得 2，又 *N，∴ 4,56．答案： 4,56．16． 【2018 福建期末考试】给定集合 12,nSx （ 2,kxR且 0,1kn） ，定义点集{,|,}ijijTxyS，若对任意点 AT，存在 ，使得 2OA ( 为坐标原点）．则称集合 具有性质 P，给出一下四个结论：① 5,其有性质 ；② 214具有性质 ；③若集合 S具有性质 P，则 S中一定存在两数 ,ijxy，使得 0ijx；④若集合 具有性质 ． ix是 中任一数，则在 S中一定存在 j，使得 ijx．其中正确结论有___________(填上你认为所有正确结论的序号)【答案】①③7取 1,2S，易知集合 S具有性质 P，显然不满足 ix是 S中任一数，则在 S中一定存在 jx，使得0ijx，故④不正确；故答案为：①③．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 17． 【2018 重庆綦江期末考】 （本小题 10 分）已知集合 1 21|28 ,|log,,3 48xAByx．（1）求集合 ,B；（2）若 |12 Cxm， CA，求实数 m的取值范围．【答案】 （1） ,83,5A；（2） 3【解析】试题分析：（1）利用指数函数的单调性可求出集合 ，利用对数函数的单调性可求出集合 B；（2）若 C，则 1，可得 ，若 C，根据包含关系列不等式组，解不等式组可得3m，综合两种情况可得实数 m的取值范围．818． 【2018 浙江宁波统考】 （本小题 12 分）已知集合 ={|3}Axa， R，{|34,}ByxA， 2{|,}Czx．（Ⅰ）若 0a，求 B；（Ⅱ）若 ，且 ，求 a的取值范围．【答案】(Ⅰ) {|30}x；(Ⅱ) 34．【解析】试题分析：(Ⅰ)当 0a时， |Ax， {|5}By．则 {|30}ABx．(Ⅱ)由题意可知 CB，其中 |34a，而 3时， 2|Cza．求解不等式234结合题意可得 34a．9点睛：(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．19． 【2018 新余模拟】 （本小题 12 分）已知命题 p： {1}Axa，命题 q：2430Bx．（1）若 ,ABR，求实数 a的值；（2）若 p是 q的充分条件，求实数 的取值范围．【答案】(1)2；(2) 实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞） ．【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合 B化简后，由 ,ABR，借助于数轴列方程组可解 的值；（2）把 p是 q的充分条件转化为集合 和集合 之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解 a的取值范围．20． 【2018 豫南九校期末考】 （本小题 12 分）已知全集 UR，集合 3{|0log1}Ax，集合{|21}Bxm．（1）当 时，求 AB， UC；（2）若 ，求实数 的取值范围．【答案】(1) A∪ B＝{ x|－2 x3}， 2,1U；(2)(－∞，－2]．【解析】试题分析：（1）求解集合 A，B 根据集合交并补的定义求解即可；10（2）由 A∩ B＝A，得 A⊆B，从而得12{ 3m，解不等式求解即可．试题解析：（1）由题得集合 A＝{ x|0＜ 3log＜1}={ x|1＜ ＜3}．当 m＝－1 时， B＝{ x|－2 x2}，则 A∪ B＝{ x|－2 x3}． |1}|2}2,1UC或．（2）由 A∩ B＝A，得 A⊆B．．解得 m≤－2，即实数 m 的取值范围为(－∞，－2]．21． 【2018 山东济南三模】 （本小题 12 分）已知 321,log1xABx．（1）求 AB及 RC；（2） 若集合 xa，满足 BC，求实数 a的取值范围．【答案】 （1） 1， 10RAx（2） a．【解析】试题分析：（1）利用指数函数的性质与对数函数的性质分别化简集合 ,AB，由此根据并集的定义、补集的定义一、与交集的定义能求出 ,RBC和 A；（2）由|2,|,BxCxa，得 ，由此列不等式能求出实数 a的取值范围．试题解析：（1）集合 10Ax，3log10312xxx，∴ AB， RC，∴ 10RCABx．（2）∵ 2,xxa，∵ ，∴ C，∴ a，即 的取值范围是 ．1第 01 节 集合的概念及其基本运算A 基础巩固训练1． 【2018 湖北 5 月押题】设集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图．2． 【2018 浙江 5 月考试】已知集合 ， ，若 ，则A． B． C．D． 【答案】B【解析】分析：由 可得 是方程 的两根，再根据韦达定理列方程求解即可．详解： ，由 ，可得 是方程 得两根，由韦达定理可得 ，即 ，故选 B．【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意划归思想的应用，常常转化为方程问题以及不等式问题求解．3． 【2018 云南玉溪一模】已知集合 ， ，2则 的元素个数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【名师点睛】本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题．4． 【2018 三明一中模拟】设集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：化简集合 ，根据交集的定义计算 ．详解：因为集合 ，化简 ，所以 ，故选 D．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合．5． 【2018 浙江台州模拟】设全集 是实数集 ， 或 ， ，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：首先解一元二次不等式，求得集合 N，应用补集的定义求得集合 M，再结合交集定义求得，从而求得结果．详解：由于 ，所以 ， ，所以，故选 C．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对3应集合中元素的特征，从而求得结果．B 能力提升训练1． 【2018 安庆一中模拟】已知全集 ，集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：求出函数 的值域可得集合 ，解不等式 可得集合 ，然后可求出 ．详解：由题意得 ， ．∴ ．图中阴影部分所表示的集合为 ，∴ ．故选 B．【名师点睛】本题考查函数值域的求法、不等式的解法和集合的运算，解答的关键是正确理解图中阴影部分所表示的集合的含义．2． 【2018 河北衡水押题】已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合 A，B，之后根据交集的定义写出．详解：集合 ， ，则 ，故选 B．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．3． 【2018 河南押题】已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．4【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合 Q 和集合 ，然后进行交集运算即可求得最终结果．详解：因为 ， ，所以 ．即 ．本题选择 C 选项．【名师点睛】本题主要考查集合的交并补混合运算及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4． 【2018 广东江门一模】已知 ， ，若 ，则实数的取值范围是 ．【答案】【名师点睛】解答本题注意两点：一是弄清两个集合的含义，二是要借助数形结合的方法解决问题．解题时将两集合间的包含关系转化为圆与直线相离或相切处理，然后根据圆心到直线的距离大于或等于半径来解决．5． 【2018 内蒙古呼和浩特一模】已知集合 ，集合 ，集合，若 ABC，则实数 m的取值范围是______________．【答案】1,2【解析】由题意， {|12}x＜ ＜ ，∵集合 {|0}CxmABC＞ ， ，①110202m＜ ， ＜ ， ， ， ＜ ；②m  时，成立；③1010mxm＞ ， ＞ ， ， ， ＜ ，5综上所述， 12m，故答案为12m．C 思维拓展训练1． 【2018 郑州模拟】已知全集 ，集合 ，，则 中元素的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【名师点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图．2． 【2018 重庆二诊】设集合 22,|3sin3cos1,AxyyR， ,|3410Bxy，记 PB，则点集 P所表示的轨迹长度为（ ）A． 25 B． 7 C． 2 D． 43【答案】D【解析】由题意得圆 223sincos1xy的圆心 3sin,cos在圆 29xy上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合 A 表示的区域是如图所示的环形区域．6由于原点 0,到直线 3410xy的距离为 21034d，所以直线 3410xy恰好与圆环的小圆相切．所以 PAB表示的是直线 3410xy截圆环的大圆 216xy所得的弦长．故点集 所表示的轨迹长度为 23．选 D．【名师点睛】解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合 A和 PB的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．3． 【2018 福建莆田模拟】设非空集合 满足：当 时，有 ．给出如下三个命题：①若 ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ．其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】分析：先根据非空集合 满足：当 时，有 得到 且 ，然后对三个命题一一进行验证即可．详解：由定义设非空集合 ，满足 时，有 知，符合定义的参数 的值，一定大于等于 或小于等于 ，惟如此才能保证 时，有 即 ，符合条件的 的值一定大于等于 ，小于等于 ，惟如此才能保证打 时，有 即 ，正对各个命题进行判断：对于① ，故必有 ，可得 ；② ，则 ，解之可得 ，7对于③，若 ，则 ，解之得 ，正确命题有 个，故选 D．【名师点睛】本题主要考查元素与集合、不等式的解法以及转化与划归思想的应用，属于难题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．本题中，将集合问题转化为不等式问题是解题的根据．4． 【2018 上海普陀二模】设集合 1|,2xMyR， 1| ,Nyxmxm，若 NM，则实数 m的取值范围是_________．【答案】 1,0【解析】  1|,2xMyR 0,， N， 1yxmxm在 1,2 上恒为正，设 1fxm 2x，则 0{ f，即0{ 1m，得 { 1,0，即 0，实数m的取值范围是 1,0，故答案为 1,．5． 【2018 河北邯郸一模】已知集合 {|}2Mx， 32{|10}AxMxa， {|20}BxMa，若集合 AB的子集的个数为 8，则 a的取值范围为__________．【答案】 1,,88【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．- 1 -第 01 节 集合的概念及其基本运算【考纲解读】命题角度 考 纲 内 容 5 年 统 计 命 题 分 析 预 测1． 集合的表示、集合间的基本关系1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．2018 课标 II，22017 课标III，12．集合的基本运算1． 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子 集的补集．3．能使用韦恩(Venn) 图表达集合的关系及运算．2018 课标I，2；III，12017 课标I，1；II，22016 课标I，III，1；II，22015 课标Ⅱ，12014 课标I，II，11.分 析预测 从近五年的全国卷的考查情况来看,本讲是全国卷的必考内容,题目稳定,难度较低,主要考查集合的含义和基本运算,一般在试卷第 1 题或第 2 题的位置,分值 5 分.预计 2019 年高考命题方式和考查内容不会有太大变化.2.学科素养 本讲主要以函数、方程、不等式等为载体,以集合的语言和符号为表现形式,考查考生的分类讨论思想和数学运算能力.【知识清单】1．元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作 a；若 b 不属于集合 A，记作 b．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．（4）常见数集及其符号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集- 2 -符号 N N*或 N＋ Z Q R对点练习：【2018 课标 II 理 2】已知集合 2,3,,Axyxy，则 A中元素的个数为 （ ）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，也说集合 A 是集合 B 的子集．记为或 ．（2）真子集：对于两个集合 A 与 B，如果 ，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则称集 合 A 是集合 B 的真子集．记为 ．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有 n 个元素，则子集个数为 2n个，真子集个数为 21n．对点练习：【2018 山东实验中学二模】若集合 ， 则下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合 B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．详解：求解二次不等式 可得： ，则 ．据此可知： ，选项 A 错误；，选项 B 错误；且集合 A 是集合 B 的子集，选项 C 正确，选项 D 错误．- 3 -本题选择 C 选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．3．集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示运算自然语言 符号语言 Venn 图交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合A∩ B＝{ x|x∈ A 且x∈ B}并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合A∪ B＝{ x|x∈ A 或x∈ B}补集由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 ∁UA＝{ x|x∈ U 且 x∉A}（2）三种运算的常见性质 A，  ， B ， ， ，B．(C)U， U， UC．A， ABA， ()UUCBAC， ()UUB．对点练习：【2018 课标 III 理 1】已知集合 10Ax， 12B,，则 AB（ ）A． 0B． 1C． , D． 012,【答案】C【解析】试题分析：由题意先解出集合 A，进而得到结果．试题解析：由集合 A 得 1,2x,，故选 C．【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生- 4 -熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【重点难点突破】考点 1 集合的概念【1-1】 【2018 山西高三一模】已知单元素集合 2|10Axax，则 a（ ）A．0 B．-4 C．-4 或 1 D．-4 或 0【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即 2240,4aa，故选D．【1-2】 【2018 豫南九校联考一】已知集合 1,A，则集合 {,|,}BxyA中元素的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】集合 B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共 4 个．故选 D．【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【触类旁通】【变式一】 【上海市黄浦区 2018 届高三 4 月模拟（二模） 】已知集合 ，若，则非零实数 的数值是_________．【答案】【解析】由题，若 则 此时 B 集合不符合元素互异性，故 若 则符合题意；若 则 不符合题意．故答案为 2．【变式二】 【2018 江西二模】设集合 ， ， - 5 -，则 中的元素个数为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素 的互异性确定集合 M，最后确定其元素的个数即可．详解：结合题意列表计算 M 中所有可能的值如下：2 3 41 2 3 42 4 6 83 6 9 12观察可得： ，据此可知 中的元素个数为 ．本题选择 C 选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．考点 2 集合间的基本关系【2-1】 【2018 福建莆田模拟】已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇．【2-2】 【2018 安徽江南十校二模】设集合 ， ，则下列关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】C- 6 -【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合 A、B，再验证各选择支结论是否成立．详解：由题意 ， ，∴ ，只有 C 正确．故选 C．【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合．本题还考查的集合 间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键．【2-3】 【2018 豫南九校联考二】已知集合 {|12}Axkk， {|14}Bx，则能使 AB成立的实数 k的取值范围是__________．【答案】 ,2【领悟技法】1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．【触类旁通】【变式 1】设集合 10{|}Pm＝ － ， 24{| 0Qmx＝ ＋ － 对任意实数 x 恒成立，且}mR，则下列关系中成立的是( )A． Q B． P C． ＝ D． PQ＝【答案】A【解析】 10{|}Pm＝ － ， 20,:160,m或 ＝ ．∴ － ．∴ {|}＝ － ．∴ PQ．【变式 2】已知集合 ,4kMxZ，集合 ,84kNxZ，则( )- 7 -A． MN B． N C． M D． N【答案】B【解析】 (2)2, ,8484knxkZxkZ，4N或 (1),，所以 MN．考点 3 集合的基本运算本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度：命题角度一 集合的交、并、补运算【3-1】 【2018 河南郑州调研】设集合 ， ，则 的真子集的个数为（ ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合．命题角度二 利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】 【2017 课标 II】设集合 1,24A， 240xm．若 1A，则（ ）A． 1,3 B． ,0 C． 1,3 D． ,5【答案】C【解析】由 1得 ，即 1x是方程 240xm的根，所以140,3m， ,B，故选 C．【3-3】已知集合 27{|}Ax， 12{| }Bx ，且 B，若- 8 -AB，则实数 m的取值范 围是( )A． 34 B． 34 C． 24m D． 24m【答案】D【解析】由于 A，所以 ，又因为 B≠ ，所以有1,27,解得24m，故选 D．【领悟技法】1．集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用．2．涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．【触类旁通】【变式一】 【2018 河南洛阳三模】设集合 ， ，则 的子集个数为（ ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】分析：求出集合 A，B，得到 ，可求 的子集个数．详解： ， 的子集个数为 故选 C．【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题．【变式 2】 【2018 福建三明二模】设全集 ，集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．【答案】A- 9 -【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ，本题实质求满足属于集合 且 不属于集合 的元素的集合．【易混易错】易错典例 1：设集合 {| }1|AxaxR＝ － ， ， 1{}5|BxxR＝ ， ，若 AB，则a的取值范围为________．易错分析：忽视端点．正确解析：由 ||1xa－ 得 1xa－ － ，∴ 1xa－ ＋ ，由 AB得 15a，∴24a．又当 ＝ 时， 3|x＝ 满足 AB， 4＝ 时， 3|x＝ 也满足 ，∴．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例 2：设集合 2|,|2AxaBx，若 AB，则实数 a的取值范围是_______．易错分析：遗忘空集．正确解析：由 AB，所以当 A时，满足 B，此时不等式 2xa无解，所以 0a，当 即 0a时， |,0xa，由 A可知24，综上可知实数 的取值范围是 4．温馨提示：在 ABAB,,,中容易忽视集合 这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【学科素养提升之思想方 法篇】化抽象为具体——数形结合思想- 10 -数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：（1）利用 Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系．（2）利用 Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合 23AxR，集合 20BxmxR，且1,ABn，则 m________， n________．【答案】 1【解析】 由题意，知 51x． 1,An，20xR，结合数轴（如图） ，得 m．- 1 -第 02 节 命题及其关系、充分条件与必要条件班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的． ）1． 【2018 江西模拟】方程2143yxm表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A． 30 B． 或  C． 3m D． 3【答案】D【解析】由题意知， 3404，或 ，则 A，C 均不正确，而 B 为充要条件，不合题意，故选 D．2． 【2018 北京丰台期末考】 “ 1x”是“ 2x”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A3． 【2018 滨海新区模拟】已知集合 |145Ax，集合22|logBxyx，则“ ”是“ B”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意 求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可．详解：利用绝对值不等式的求法求得 |05Ax，利用对数式有意义，真数大于零求得|02Bx，因为 B是 的真子集，故“ ”是“ xB”的必要不充分条件，故选 B．【名师点睛】分别求出题中所给的集合 A，B，结合集合的包含关系判断即可．- 2 -4． 【2018 山西太原期末考】已知 a， b都是实数，那么“ 2ab”是“ 2”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 :2abp； 2:qab， ab与 没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件” ．5． 【2018 山西平遥中学模拟】设 0且 1，则“ log1a”是“ 1a”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 1a时， log1laab，所以 1ba；当 0时， ，所 以 0．所以是必要不充分条件，故选 B．6． 【2018 福建福州三中模拟】若 2x是 2xa的充分不必要条件，则 a的取值范围是（ ）A． 02a B． a C． 0a D． 【答案】D【解析】求解不等式 2x可得： 12x，即 12x是 xa的充分不必要条件，据此可知： a的取值范围是 a．故选 D．7． 【2018 广东佛山二模】已知函数 ，则“ ”是“ ”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为 ，所以 ，因此函数 为 上单调递增函数，从而由“ ”可得“ ”，由“ ”可得“ ”，即“ ”是“ ”的充分必要条件，选 C．8． 【2018 江西新余二模】 “ ”是“函数 在区间 上无零点”的A．充 分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A- 3 -【解析】函数 f（x）=3 x+m﹣3 在区间[1，+∞）无零点，则 3x+m＞3 ，即 m+1＞ ，解得m＞ ，故“m＞1“是“函数 f（x）=3 x+m﹣3 在区间[1，+∞）无零点的充分不必要条件，故选A．9． 【2018 衡水信息卷四】设 p： 3402x， q： 2210xmx，若 p是q的必要不充分条件，则实数 m的取 值范围为（ ）A． 2,1 B． 3,1 C． ,,1 D． 2,0,【答案】D10． 【2018 湖北华师一附模拟】 “ ”是直线 与圆 相切的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径 ，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于 的方程，求出 方程的解可得到 的值，即可得出结论．详解：由圆 ，可得圆心为 ，半径 ．∵直线 与圆 相切，∴ ，∴ ，∴“ ”是直线 与圆 相切的充要条件，故选 C．【名师点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，考查四种条件．直线和圆的位置关系分相交，相离，相切三种状态，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，当直线与圆相切时，圆心到 直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．- 4 -11． 【2018 河北衡水中学模拟】下面几个命题中，假命题是（ ）A． “若 ，则 ”的否命题B． “ ，函数 在定义域内单调递增”的否定C． “ 是函数 的一个周期”或“ 是函数 的一个周期”D． “ ”是“ ”的必要条件【答案】D【解析】分析：对 ，利用否命题的定义可判断；对 ，利用指数函数的单调性即可得出；对 ，利用正弦函数的单调性与“或命题”的定义可判断；对 ，利用实数的性质和充分必要条件可判断．详解：对 ． “若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”， 是真命题；对 ， “ ，函数 在定义域内单调递增”的否定为“ ，函数在定义域内不单调递增”正确，例如 时，函数 在 上单调递减， 为真命题；对 ， “ 是函数 的一个周期” ，不正确， “ 是函数 的一个周期”正确，根据或命题的定义可知， 为真命题；对 ， “ ” “ ”反之不成立，因此“ ”是“ ”的充分不必要条件， 是假命题，故选 D．【名师点睛】本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题” “否命题” “逆否命题” ，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除．12． 【2018 华大新高考联盟模拟】设函数 则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不允分又不必要条件【答案】A【解析】分析：由“ ”可以得到“ ”，但由“ ”不一定得到“”，故“ ”是“ ”的充分不必要条件．- 5 -详解：当 时， ，但当 时，故“ ”是“”的充分不必要条件．故选 A．【名师点睛】本题考查充分不必要条件的判定，比较基础．二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． ）13． 【2018 山东模拟】已知命题 1:4pa＞ ， 2:,10qxRax＞ ，则 p成立是 q成立的_____． （选“充分必要” ， “充分不必要” ， “既不充分也不必要”填空） ．【答案】充分不必要14． 【2018 江苏南师附中模拟】 “ ”是“函数 为奇函数”的____条件． （填“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分也不必要” ）【答案】充分不必要【解析】分析：根据充分必要条件判断即可．详解：当 时，函数 = ，此时有 故函数为奇函数，反之当函数 为奇函数时，可令 a=-1，此时 f（x）= 仍为奇函数，故反之 a=1 就不一定了，所以必要性不成立，故答案为充分不必要．【名师点睛】考查充分必要的定义和判断，对 a 的适当取值是解题关键．属于基础题．15． 【2018 广东中山模拟】设命题 1:2px；命题 2:10qxax，若p是 q的必要不充分条件，则实数 的取值范为_____________．【答案】 10,2【解析】命题 q等价于 10xa，解得 1ax，另： p是 q的必要而- 6 -不充分条件等价于 q是 p的必要而不充分条件，即 ,pq可得1{ 2a，解得 102a，故答案为 10,2．16． 【2018 河南豫南九校模拟】下列结论：①若 ,xy，则“ 2xyx”成立的一个充分不必要条件是“ 2x，且 1y”；②存在 10a，使得 loga；③若函数 4213fxx的导函数是奇函数，则实数 3a； ④平面上的动点 P到定点 ,F的距离比 P到 y轴的距离大 1 的点 P的轨迹方程为 24yx．其中正确结论的序号为_________．(填写所有正确的结论序号）【答案】①②③【解 析】①若 0,xy，则“ 2xyx”成立的充要条件是 2,xy故充分不必要条件是“ 2，且 1”．故正确．②存在 ,ax，使得 logxa，当 a=1．1，x=1．21 时，满足 ax＜log ax，故∃a＞1， x＞0，使得 ax＜log ax，故正确；③若函数 4213f x的导函数是奇函数，32,0.f fa 故正确．④设 P（x，y） ，由 P 到定点 F（1，0）的距离为 21xy，P 到 y轴的距离为|x|，当 x≤0 时，P 的轨迹为 y=0（x≤0） ；当 x＞0 时，又动点 P 到定点 F（1，0）的距离比 P 到 y 轴的距离大 1，列出等式： 21y﹣|x|=1，化简得 y2=4x（x≥0） ，为焦 点为 F（1，0）的抛物线．则动点 P 的轨迹方程为 y2=4x 或 { 0x，故选项不正确．故答案为：①②③．【名师点睛】这个题目考查的知识点比较多，重点总结平面解析求轨迹 的问题，一般是求谁设谁的坐标，然后根据题目等式直接列出数学表达式，求解即可，而对于直线与曲线的综合问题- 7 -要先分析题意转化为等式，例如 0NAB，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细．三、解答题 （本大题共 4 小题，共 40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 17． 【2019 四川乐山四校模拟】（1）已知命题 :,243pxRx对 任 何 ．请写出该命题的否定．（2）不等式 210xa成立的一个充分不必要条件是 21,x求 a的取值范围．【答案】 （1） 0,x（2） a 【解析】试题分析：(1)全程命题的否定为特称命题，据此可得原命题的否定为0,243xRx；(2)由题意设 {|10} Axa， 2,1B，满足题意时， B 是 A 的真子集，据此可得关于实数 a 的不等式，求解不等式有 .18． 【2018 湖南郴州二模】设 :P实数 x、 y满足： 0{2 xy， :q实数 x、 y满足21xym，若 p是 q的充分不必要条件，求正实数 m的取值范围．【答案】 0,【解析】∵ p是 q的充分不必要条件，∴ q是 p的充分不必要条件， 21xym表示以 1,0为圆心， m为半径的圆面，当圆面与直线 0xy相切时，圆面最大，2，∴ 1，∴正实数 的取值范围是 1,2，故答案为： ,2．- 8 -19． 【2018 重庆綦江模拟】设命题 :p实数 m使曲线 224610xym表示一个圆；命题 :q实数 m使曲线21xya表示双曲线．若 p是 q的充分不必要条件，求正实数 a的取值范围．【答案】 0,7【解析】试题分析：（1）根据圆的性质先求出命题 p成立时 m的取值范围，根据双曲线的性质求出命题 q成立时，根据 p是 q的充分不必要条件列出不等式，解不等式即可．20． 【2018 河北保定模拟】设 p：实数 x满足 22430ax，其中 a； q：实数 x满足 260x．（1）若 a，且 q为真，求实数 x的取值范围；（2）若 是 p的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．【答案】 （1） ,3；（2） 0,1．【解析】试题分析：（1）根据题意先求出命题 p 和 q 的不等式解集，然后根据 pq为真，则命题都为真，求交集即可；（2）若 q是 的充分不必要条件则 q解析：(1)由 x2－4ax＋3a 20，所以当 a＝1 时，由 q 为真时，实数x 的范围是  x 3，若 p∧q 为真，则 p 真且 q 真，所以实数 x 的取值范围是(1，3)．- 9 -(2) p：x≤a 或 x≥3a， q：x3，由 q是 p的充分不必要条件，有2{3 0a，得 0 p   q，即 a 的取值范围为(0，1]．