1、12016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）文科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合 ， ，则1Ax20BxAB（A
2、） （B） （C） （D）2112x0x答案：D解析：集合 A ，集合 B ，所以， 。1x 2x0AB01x（2）已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 所对应的点在3iziz（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限答案：D解析： ，对应坐标为（2，1） ，在第四象限。()12izi （3）已知函数 则 的值为,1xf2f（A） （B） （C） （D）251512答案：C解析： 426， ，选 C。f（ ） (2)(61ff（4）设 是 所在平面内的一点，且 ，则 与 的面积之比是PABC2PABP（A） （B） （C） （D）323342答案：B解析：依题意，得：CP2
3、PA，设点 P 到 AC 之间的距离为 h，则 与 的面积之比为 =PAC12BACPS（5）如果函数 的相邻两个零点之间的距离为 ，则 的值为cos4fx06（A）3 （B）6 （C）12 （D）24答案：B解析：依题意，得：周期 T ， ，所以， 6。32（6）执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出 的值为3xk（A）6 （B）8 （C）10 （D）12答案：C解析：第一步：x9，k2；第二步：x21，k4；第三步：x45，k6；第四步：x93，k8；第五步：x189，k10；退出循环，故 k10。（7）在平面区域 内随机投入一点 ，则点 的坐标 满足,012yxy， P,xy的概率为
4、2y（A） （B） （C） （D）1422334答案：A解析：画出平面区域，如图，阴影部分符合 ，其面积为： ，正方形面积为 1，故所求概率yx14为： 143（8）已知 ，若 ，则sin6fx3sin5212f（A） （B） （C） （D）72101007210答案：B解析：因为 ，所以， ，3sin524cos5= =12fi()sin()1642incos210（9）如果 ， ， 是抛物线 ： 上的点，它们的横坐标依次为 ， ，PnC2yx1x2，nx是抛物线 的焦点，若 ，则FC1210nxx 12nPFPF（A） （B） （C） （D）10 020答案：A解析：由抛物线的焦点为（1,
5、0） ，准线为 1，由抛物线的定义，可知 ，x1|x，故2|1PFx12nPFPF 0（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A） （B） （C） （D）2053556答案：D解析：六棱柱的对角线长为： ，球的体积为：V 2153424（11）已知下列四个命题：若直线 和平面 内的无数条直线垂直，则 ； 1pll：若 ，则 ， ；22xfxRfxf：若 ，则 ， ；310,01f：在 中，若 ，则 4pABCsiniAB其中真命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4答案：B解析：p 1 错误，因为无数条直线不一定是相
6、交直线，可能是平行直线；p 2 正确；p 3 错误，因为由，得 x0，故错误；p 4 正确，注意前提条件是在 中。x AB（12）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（A） （B）826826（C） （D） 14答案：A解析：该几何体为如图中的三棱锥CA 1C1E，ECEA 1 ，A 1C 4 ，2561 3三角形 EA1C 的底边 A1C 上的高为：2 ，2表面积为：S 2 4 2 4 4 4 2 4 8246第卷5本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第22 题第 24 题为选考题，考生根据要
7、求做答二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分（13）函数 的极小值为 3fx答案：2解析：求导，得： ，得 ，当 =1 时，函数 f(x)取得极小值2。2()0fx1x（14）设实数 ， 满足约束条件 则 的取值范围是 xy3,yx， 3zxy答案： 6,15解析：画出不等式表示的平面区域，在点（3，0）处， 取得最小值6，在点23zxy（3,3）处取得最大值 15。（15）已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，点 ，且C21xyab0,bAF0,Bb，则双曲线 的离心率为 0BAF答案： 512解析：设 F（c，0） ，又 A（ ，0） ，由 ，得：（ ，b） （c，b）0，a0B
8、AFa所以，有： ，即 ，化为 ，可得离心率 e 。2b2c21ca 512（16）在 中，点 在边 上， ， ， , ，则BCDC53CDBA的长为 AD答案：5解析：因为 BD2AD，设 ADx，则 BD2x，因为 ，所以，BC ，B245在三角形 ACD 中，cosA ，7103x在三角形 ABC 中，cosA ，29()6所以， ，解得： 5，所以，AD 5。275103x2759(45)30xx三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.na24a32a4（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的
9、前 项和 .2log1nnbnbnT解析：解：（）设数列 的公比为 ，aq因为 ，所以 ， 1 分24a342因为 是 和 的等差中项，所以 2 分32 324aa即 ，化简得 244qq20q因为公比 ，所以 4 分0所以 （ ） 5 分224nnaq*N（）因为 ，所以 n2log1nnba所以 7 分1则 ， 23152nnnT. 9 分234 1127得，10 分23 122nnnT，111463nnn所以 12 分1623nnT（18） （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区
10、间 ， ， 内的频率之比为5,6,75,84:21（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；75,8（）用分层抽样的方法在区间 内抽45,7取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取 2 件产品，求这 2件产品都在区间 内的概率45,解析：解：（）设区间 内的频率为 ，7,8x则区间 ， 内的频率分别为 和 1 分5,6542依题意得 ，3 分0.4.120.9.310x质量指标值0.0120.0040.0190.030 15 25 35 45 55 65 75 850频率组距8解得 0.5x所以区间 内的频率为 4 分7,80.5（）由（）得，区间 ， ， 内的频率依次为
11、， ， 4,6,750.32.1用分层抽样的方法在区间 内抽取一个容量为 6 的样本，7则在区间 内应抽取 件，记为 ， ， 5, 0.3211A23在区间 内应抽取 件，记为 ， 6B在区间 内应抽取 件，记为 6 分,703C设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间 内”为事件 M，45,6则所有的基本事件有： ， ， ， ， ， ，1,A13,1,AB121,A23,， ， ， ， ， ， ， ，21,AB2,2C23,C2B1C，共 15 种8 分C事件 M 包含的基本事件有： ， ， ， ， ，12,A13,1,A12,3,A， ， ， ， ，共 10 种10 分21
12、,AB2,3B32B所以这 2 件产品都在区间 内的概率为 12 分45,6015（19） （本小题满分 12 分）如图，四棱柱 的底面 是菱形， ， 底面 ，1ABCDABCDBO1ABCD21（）证明： 平面 ；1O（）若 ，求点 到平面 的距离60BADC1BA BCDO1A11D9解析：（）证明：因为 平面 ， 平面 ，1AOBCDABCD所以 1 分1BD因为 是菱形，所以 2 分AC因为 ， ， 平面 ，1O1ACO1A所以 平面 3 分BD（）解法一：因为底面 是菱形， ， ， ，BDBO21A60BD所以 ， 4 分1O3AOC所以 的面积为 5 分BC1322BS因为 平面
13、， 平面 ，1ADD所以 ， 6 分O211AO因为 平面 ，1BC所以点 到平面 的距离等于点 到平面 ABCD 的距离 7 分D11AO由（）得， 平面 1A因为 平面 ，所以 1A1CB1因为 ，所以 8 分BD所以 的面积为 9 分1O1 1212OBS设点 到平面 的距离为 ，Cd因为 ，11OBBCV所以 10 分113OSADD=g10所以 132OBCSAd所以点 到平面 的距离为 12 分132解法二：由（）知 平面 ， BD1ACO因为 平面 ，BD1所以平面 平面 4 分1ACO1连接 与 交于点 ，连接 ， ，1因为 ， ，所以 为平行四边形AC1/1CA又 ， 分别是
14、 ， 的中点，所以 为平行四边形O1 1O所以 6 分因为平面 与平面 交线为 ，1AC1BD1过点 作 于 ，则 平面 8 分1HOHBD因为 ， 平面 ，所以 平面 1AAC1OABC因为 平面 ，所以 ，即 为直角三角形10 分CBD11所以 132OH所以点 到平面 的距离为 12 分C1B（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，左顶点为 ，左焦点为 ，点xA120F，A BCDO1A1B1C1DHO11在椭圆 上，直线 与椭圆 交于 ， 两点，直线 ， 分别2B,C0ykxCEFAEF与 轴交于点 ， yMN（）求椭圆 的方程；（）在 轴上是否存在
15、点 ，使得无论非零实数 怎样变化，总有 为直角？若存在，xPkMPN求出点 的坐标；若不存在，请说明理由解析：（）解法一：设椭圆 的方程为 ，C21(0)xyab因为椭圆的左焦点为 ，所以 1 分10F， 4设椭圆的右焦点为 ，已知点 在椭圆 上，2， B,C由椭圆的定义知 ，1Ba所以 2 分234a所以 ，从而 3 分2b所以椭圆 的方程为 4 分C184xy解法二：设椭圆 的方程为 ，2(0)ab因为椭圆的左焦点为 ，所以 1 分10F， 24因为点 在椭圆 上，所以 2 分2B,C2ab由解得， ， 3 分ab所以椭圆 的方程为 4 分2184xy（）解法一：因为椭圆 的左顶点为 ，则
16、点 的坐标为 5 分CA2,0因为直线 与椭圆 交于两点 ， ，(0)ykx2184xyEF设点 （不妨设 ） ，则点 0,E0,Fx联立方程组 消去 得 2,184ykxy221k12所以 ， 6 分021xk021ky所以直线 的方程为 7 分AE2xk因为直线 与 轴交于点 ，yM令 得 ，即点 8 分0x21k20,1k同理可得点 9 分2,Nk假设在 轴上存在点 ，使得 为直角，则 10 分x(,0)PtMPN0PN即 ，即 11 分22211kkt240t解得 或 t故存在点 或 ，无论非零实数 怎样变化，总有 为直角,0P,kMPN12 分解法二： 因为椭圆 的左端点为 ，则点
17、的坐标为 5 分CA2,0因为直线 与椭圆 交于两点 ， ，(0)ykx2184xyEF设点 ，则点 0(,)E0,)F所以直线 的方程为 6 分A02yx因为直线 与 轴交于点 ，yM令 得 ，即点 7 分0x02x0,2yx同理可得点 8 分0,2yN假设在 轴上存在点 ，使得 为直角，则 x,PtMPN0PN即 ，即 （）9 分2002yt208ytx13因为点 在椭圆 上，0(,)ExyC所以 ，即 10 分218422008x将 代入（）得 11 分2200xy24t解得 或 t故存在点 或 ，无论非零实数 怎样变化，总有 为直角,P,0kMPN12 分解法三：因为椭圆 的左顶点为
18、，则点 的坐标为 5 分CA2,0因为直线 与椭圆 交于两点 ， ，(0)ykx2184xyEF设点 （ ） ，则点 6 分2cos,inEcos,in所以直线 的方程为 7 分A2si2coyx因为直线 与 轴交于点 ，M令 得 ，即点 8 分0x2sinco1ysin0,c1同理可得点 9 分i,sN假设在 轴上存在点 ，使得 为直角，则 10 分x(,0)PtMPN0PN即 ，即 11 分2sin2ico1t240t解得 或 t故存在点 或 ，无论非零实数 怎样变化，总有 为直角,0,kM12 分（21） （本小题满分 12 分）已知函数 .eln1xfm（）当 时，求曲线 在点 处的切
19、线方程；1yfx1f，14（）当 时，证明： .1m1fx解析：（）解：当 时， ，()eln所以 1 分()exf所以 ， . 2 分1(1)ef所以曲线 在点 处的切线方程为 yxf， (e1)(1)yx即 .3 分e（）证法一：当 时， .1m()eln1elxxf要证明 ，只需证明 .4 分()fx20以下给出三种思路证明 .elx思路 1：设 ，则 .()ng1()exg设 ，则 ，exh21()e0xh所以函数 在 上单调递增6 分()+（ ， ）因为 ， ，12e0g(1)e0g所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .8 分()x+（ ， ） 0x1,2因为 时，所以 ，即 .9 分
20、0()g01ex0ln当 时， ；当 时， .0,x()0,()0gx所以当 时， 取得最小值 10 分gxgx故 0 01()=eln2gx综上可知，当 时， .12 分1mfx15思路 2：先证明 5 分e1xR设 ，则 hexh因为当 时， ，当 时， ，0x0x0hx所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增x所以 hx所以 （当且仅当 时取等号） 7 分e10x所以要证明 ， ln2x只需证明 8 分下面证明 l10x设 ，则 np1xpx当 时， ，当 时， ，0x0p所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增1px1xpx所以 0px所以 （当且仅当 时取等号）
21、10 分ln1x由于取等号的条件不同，所以 el20x综上可知，当 时， .12 分1m1fx（若考生先放缩 ，或 、 同时放缩，请参考此思路给分！）lneln思路 3：先证明 .2x因为曲线 与曲线 的图像关于直线 对称，eylyxyx设直线 与曲线 ， 分别交于点 ， ，点 ， 到直线xt0elnAByx的距离分别为 ， ，1d216则 12ABd其中 ， 1etlnt0t设 ，则 the1th因为 ，所以 0te0t所以 在 上单调递增，则 ht,01ht所以 1e2td设 ，则 lngtt01tgt因为当 时， ；当 时， ，01ttt0gt所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增t
22、lngtt1tlngtt所以 1gt所以 2ln2td所以 122ABd综上可知，当 时， .12 分m1fx证法二：因为 ，()elnxf要证明 ，只需证明 .4 分1x20x以下给出两种思路证明 .elxm思路 1：设 ，则 .()ngx1()exgm设 ，则 eh21()e0xh所以函数 在 上单调递增 6 分x+，17因为 ， ，1122ee0mmg1e0gm所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .8 分()x0+， 0x,12因为 ，所以 ，即 9 分0g01exm0lnlm当 时， ；当 时， .0,x0,0gx所以当 时， 取得最小值 10 分gxgx故 00 01eln2ln2gx
23、mm综上可知，当 时， 12 分1fx思路 2：先证明 ，且 5 分e()xRln1(0)x设 ，则 ()FeF因为当 时， ；当 时， ，0x()0x()Fx所以 在 上单调递减，在 上单调递增(),所以当 时， 取得最小值 x()Fx()0所以 ，即 （当且仅当 时取等号） 7 分()0e1xx由 ，得 （当且仅当 时取等号） 8 分e1)xR所以 （当且仅当 时取等号） 9 分ln(xx再证明 el20m因为 ， ，且 与 不同时取等号，0x1e1xlnx所以 eln21mx018综上可知，当 时， 12 分1m1fx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
24、一题计分做答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图所示， 内接于 ，直线 与 相切于点 ，交 的延长线于点 ，过点ABCOADABCD作 交 的延长线于点 DEE（）求证： ；2（）若直线 与 相切于点 ，且 ， ，FF42求线段 的长AC解析：（）证明：因为 是 的切线，ADO所以 （弦切角定理） 1 分CB因为 ，E所以 2 分A所以 DB因为 （公共角） ，E所以 3 分A所以 BD即 4 分2E（）解：因为 是 的切线， 是 的割线，FOEABO所以 （切割线定理） 5 分2A因为 ， ，所以 ， 7 分486FCD OABEFCD OABE19由（
25、）知 ，所以 8 分2DEAB4DE因为 ，所以 9 分C所以 B所以 10 分6438AE（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的xOyOx C极坐标方程为 ， .sin20,2（）求曲线 的直角坐标方程；C（）在曲线 上求一点 ，使它到直线 ： （ 为参数， ）的距离最短，Dl3,2xtyttR并求出点 的直角坐标.解析：（）解：由 ， ，sin20,2可得 1 分因为 ， ，2 分22xysiy所以曲线 的普通方程为 （或 ） 4 分C20x221xy（）解法一：因为直线的参数方程为 （
26、 为参数， ） ，3,tyttR消去 得直线 的普通方程为 5 分tl 5x因为曲线 ： 是以 为圆心，1 为半径的圆，C221xyG,0设点 ，且点 到直线 ： 的距离最短，0,Dl3yx所以曲线 在点 处的切线与直线 ： 平行l520即直线 与 的斜率的乘积等于 ，即 7 分GDl1031yx因为 ，2201xy解得 或 030x所以点 的坐标为 或 9 分D12， 32，由于点 到直线 的距离最短，5yx所以点 的坐标为 10 分32，解法二：因为直线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，l 3,2xtyttR消去 得直线 的普通方程为 5 分tl 50因为曲线 是以 为圆心，1 为半径的
27、圆，C221xyG,因为点 在曲线 上，所以可设点 7 分DDcosin0,2所以点 到直线 的距离为l342d8 分sin因为 ，所以当 时， 9 分0,26min1d此时 ，所以点 的坐标为 10 分D3， D32，（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数 1fxax（）当 时，求不等式 的解集； 12f21（）若对任意 ，不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围 0,1afxbb解析：（）解：当 时， 等价于 1 分2fx12当 时，不等式化为 ，无解；1x1x当 时，不等式化为 ，解得 ；0 04x当 时，不等式化为 ，解得 3 分x2x综上所述，不等式 的解集为
28、 4 分1f1,4（）因为不等式 的解集为空集，所以 5 分xbmaxbf以下给出两种思路求 的最大值.f思路 1：因为 ，1xax01当 时，xaf a 当 时，fxx21aa当 时，1xafxx1a所以 7 分maxf思路 2：因为 1faxx1，a22当且仅当 时取等号1xa所以 7 分maf因为对任意 ，不等式 的解集为空集，0,fxb所以 8 分ax1b以下给出三种思路求 的最大值.1ga思路 1：令 ，所以 2ga22当且仅当 ，即 时等号成立1a所以 max所以 的取值范围为 10 分b2+，思路 2：令 ，1ga因为 ，所以可设 ，0a2cos0则 ， g1insi24当且仅当 时等号成立4所以 的取值范围为 10 分b2+，思路 3：令 ，1gaa因为 ，设 则 0,xy=-21xy=()0,1xy问题转化为在 的条件下，21+()0,求 的最大值zxy=利用数形结合的方法容易求得 的最大值为 ，z2xyO23此时 2xy=所以 的取值范围为 10 分b+，
