1、课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性A 组 基础达标一、选择题1函数 f(x)e x x 的单调递增区间是( )A(，1 B1，)C(，0 D0，)D f(x)e x x， f( x)e x1，令 f( x)0，得 ex10，即 x0，故f(x)的单调递增区间是0，)2已知函数 f(x) x3 ax4，则“ a0”是“ f(x)在 R 上单调递增”的( )12A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A f( x) x2 a，当 a0 时， f( x)0 恒成立，故“ a0”是“ f(x)在 R 上32单调递增”的充分不必要条件3若幂函数 f(x)的图像过点 ，则
2、函数 g(x)e xf(x)的单调递减区间为( ) (22， 12)【导学号：79140078】A(，0) B(，2)C(2，1) D(2,0)D 设幂函数 f(x) x ，因为图像过点 ，所以 ， 2，所以 f(x)(22， 12) 12 (22) x2，故 g(x)e xx2，令 g( x)e xx22e xxe x(x22 x)0，得2 x0，故函数 g(x)的单调递减区间为(2,0)4已知函数 y f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数 y f( x)的图像如图2112 所示，则该函数的图像是( )图 2112B 由 y f( x)的图像知， y f(x)在1,1上为增函数，且在
3、区间1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1上增长速度越来越慢5(2017安徽二模)已知 f(x) ，则( )ln xxA f(2) f(e) f(3) B f(3) f(e) f(2)C f(3) f(2) f(e) D f(e) f(3) f(2)D f(x)的定义域是(0，)，f( x) ，令 f( x)0，得 xe.1 ln xx2所以当 x(0，e)时， f( x)0， f(x)单调递增，当 x(e，)时， f( x)0， f(x)单调递减，故 xe 时， f(x)max f(e) ，而 f(2) ， f(3)1e ln 22 ln 86 ，所以 f(e) f(3) f(2)，故
4、选 D.ln 33 ln 96二、填空题6函数 f(x)( x3)e x的单调递增区间为_(2，) 函数 f(x)( x3)e x的导数为 f( x)( x3)e xe x( x3)ex( x2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当 f( x)0 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f( x)( x2)e x0，解得 x2.7已知函数 f(x) axln x，则当 a0 时， f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_由已知得 f(x)的定义域为(0，)；当 a0 时，因为(0， 1a) ( 1a， )f( x) a ，所以当 x 时， f( x)0，当 0 x 时， f( x)
5、1x a(x 1a)x 1a 1a0，所以 f(x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(0， 1a) ( 1a， )8若函数 f(x) x3 x22 ax 在 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是13 12 23， )_. 【导学号：79140079】对 f(x)求导，得 f( x) x2 x2 a 2 2 a.(19， ) (x 12) 14当 x 时， f( x)的最大值为 f 2 a.23， ) (23) 29令 2 a0，解得 a ，29 19所以 a 的取值范围是 .(19， )三、解答题9已知函数 f(x) ln x ，其中 aR，且曲线 y f(x)在点(1， f(1)处
6、的切线x4 ax 32垂直于直线 y x.12(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解 (1)对 f(x)求导得 f( x) ，14 ax2 1x由 f(x)在点(1， f(1)处的切线垂直于直线 y x，得 f(1) a2，解12 34得 a .54(2)由(1)知 f(x) ln x ，则 f( x) ，令 f( x)0，解得x4 54x 32 x2 4x 54x2x1 或 x5.因 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时， f( x)0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x(5，)时， f( x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数所以 f(
7、x)的单调减区间为(0,5)，单调增区间为(5，)10(2017河南新乡第一次调研)已知函数 f(x)e x x22 ax.(1)若 a1，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围解 (1) f( x)e x2 x2， f(1)e，又 f(1)e1，所求切线方程为 y(e1)e( x1)，即 ex y10.(2)f( x)e x2 x2 a， f(x)在 R 上单调递增， f( x)0 在 R 上恒成立， a x 在 R 上恒成立，令 g(x) x ，ex2 ex2则 g( x)1 ，令 g( x)0，则 xln 2，e
8、x2在(，ln 2)上， g( x)0；在(ln 2，)上， g( x)0， g(x)在(，ln 2)上单调递增，在(ln 2，)上单调递减， g(x)max g(ln 2)ln 21， aln 21，实数 a 的取值范围为ln 21，)B 组 能力提升11函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，( x1)f( x)0，设 a f(0)， b f ， c f(3)，则( )(12)A a b c B c b aC c a b D b c aC 依题意得，当 x1 时， f( x)0， f(x)为增函数；又 f(3) f(1)，且10 1，12因此有
9、f(1) f(0) f ，(12)即有 f(3) f(0) f ， c a b.(12)12(2017安徽江淮十校第三次联考)设函数 f(x) x29ln x 在区间 a1， a1上单12调递减，则实数 a 的取值范围是( )A1 a2 B a4C a2 D0 a3A 易知函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x) x ，由 f( x) x 0，解9x 9x得 0 x3.因为函数 f(x) x29ln x 在区间 a1， a1上单调递减，所以Error!解12得 1 a2，选 A.13若函数 f(x)2 x33 mx26 x 在区间(2，)上为增函数，则实数 m 的取值范围为_. 【导学号
10、：79140080】 f( x)6 x26 mx6，( ，52当 x(2，)时， f( x)0 恒成立，即 x2 mx10 恒成立， m x 恒成立1x令 g(x) x ， g( x)1 ，1x 1x2当 x2 时， g( x)0，即 g(x)在(2，)上单调递增， m2 .12 5214已知函数 f(x) x2 aln x.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 g(x) f(x) 在1，)上单调，求实数 a 的取值范围2x解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，)，当 a2 时， f( x)2 x 2x，由 f( x)0 得 0 x1，故 f(x)的单调递减区间是(0,1)2(x 1)(x 1)x(2)由题意得 g( x)2 x ，函数 g(x)在1，)上是单调函数ax 2x2若 g(x)为1，)上的单调增函数，则 g( x)0 在1，)上恒成立，即a 2 x2在1，)上恒成立，设 (x) 2 x2，2x 2x (x)在1，)上单调递减， (x)max (1)0， a0.若 g(x)为1，)上的单调减函数，则 g( x)0 在1，)上恒成立，不可能实数 a 的取值范围为0，)
