1、课时分层训练(五十二) 椭 圆A 组 基础达标一、选择题1(2016全国卷)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为( )14A. B.13 12C. D.23 34B 如图，| OB|为椭圆中心到 l 的距离，则| OA|OF| AF|OB|，即 bc a ，b2所以 e .ca 122已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，离心率为 ，过 F2的直x2a2 y2b2 33线 l 交 C 于 A、 B 两点若 AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( ) 3【导学号：79140286】A. 1 B. y2
2、1x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24A 由题意及椭圆的定义知 4a4 ，则 a ，又3 3 ， c1， b22， C 的方程为 1，选 A.ca c3 33 x23 y223设 P 是椭圆 1 上一点， M， N 分别是两圆：( x4) 2 y21 和( x4) 2 y21 上x225 y29的点，则| PM| PN|的最小值、最大值分别为( )A9,12 B8,11C8,12 D10,12C 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1| PF2|10，易知| PM| PN|(| PM| MF1|)(| PN| NF2|)2，则其最
3、小值为| PF1| PF2|28，最大值为| PF1| PF2|212.4若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，若 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D8C 由题意知， O(0,0)， F(1,0)，设 P(x， y)，则 ( x， y)， ( x1， y)，OP FP x(x1) y2 x2 y2 x.又 1， y23 x2，OP FP x24 y23 34 x2 x3 (x2) 22.OP FP 14 142 x2，当 x2 时， 有最大值 6.OP FP 5(2017河北衡水六调)已知 A(1,0)， B 是圆 F： x2
4、2 x y2110( F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1x212 y211 x236 y235C. 1 D. 1x23 y22 x23 y22D 由题意得| PA| PB|，| PA| PF| PB| PF| r2 | AF|2，点 P 的3轨迹是以 A、 F 为焦点的椭圆，且 a ， c1， b ，动点 P 的轨迹方程为 3 2x231，故选 D.y22二、填空题6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且过点 P(5,4)，则椭圆的标55准方程为_ 1 由题意设椭圆的标准方程为 1( a b0)由离
5、心率 e 可得x245 y236 x2a2 y2b2 55a25 c2，所以 b24 c2，故椭圆的方程为 1，将 P(5,4)代入可得 c29，x25c2 y24c2故椭圆的方程为 1.x245 y2367(2017太行中学)如图 852， OFB ， ABF 的面积为 2 ，则以 OA 为长半轴， 6 3OB 为短半轴， F 为一个焦点的椭圆方程为_图 852 1 设所求椭圆方程为 1( ab0)，由题意可知，x28 y22 x2a2 y2b2|OF| c，| OB| b，| BF| a. OFB ， ， a2 b. 6 bc 33 S ABF |AF|BO| (a c)b (2b b)b
6、2 ，12 12 12 3 3解得 b22，则 a2 b2 .2所求椭圆的方程为 1.x28 y228已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点，满足 1 20 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率MF MF 的取值范围是_. 【导学号：79140287】满足 1 20 的点 M 的轨迹是以 F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，(0，22) MF MF 则有 c b，即 c2 b2，又 b2 a2 c2，所以 c2 a2 c2，即 2c2 a2，所以 e2 ，又因12为 0 e1，所以 0 e .22三、解答题9已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，其中左焦点为 F(2,0)x2a2 y2b2
7、 22(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点 M 在圆x2 y21 上，求 m 的值解 (1)由题意，得Error!解得Error!椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)设点 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0)，由Error! 消去 y 得，3 x24 mx2 m280， 968 m20，2 b0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为( a,0)，点 B 的x2a2 y2b2坐标为(0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足| BM|2| MA|，
8、直线 OM 的斜率为 .510(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0， b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ，求 E 的方程72解 (1)由题设条件知，点 M 的坐标为 ，又 kOM ，从而 ，进而(23a， 13b) 510 b2a 510得 a b， c 2 b，故 e .5 a2 b2ca 255(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线 AB 的方程为 1，点 N 的坐标为x5b yb.(52b， 12b)设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ，则线段 NS 的中点 T 的坐标为(x1，72).(54b x12，
9、 14b 74)又点 T 在直线 AB 上，且 kNSkAB1，从而有Error! 解得 b3.所以 a3 ，故椭圆 E 的方程为 1.5x245 y29B 组 能力提升11(2017全国卷)设 A， B 是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满x23 y2m足 AMB120，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3A 法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x， y)过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N，则 N(x,0)故 tan AMBtan( AMN BMN) .3 x|y| 3 x|y|1 3 x|y|3 x
10、|y| 23|y|x2 y2 3又 tan AMBtan 120 ，3且由 1 可得 x23 ，x23 y2m 3y2m则 .23|y|3 3y2m y2 323|y|(1 3m)y2 3解得| y| .2m3 m又 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.12过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且x2a2 y2b2点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F2，若 k ，则椭圆的离心率的取值范围是13 12_.
11、 【导学号：79140288】如图所示，| AF2| a c，(12， 23)|BF2| ，a2 c2a ktan BAF2 |BF2|AF2| a2 c2aa c 1 e.a ca又 k ，13 12 1 e ，解得 e .13 12 12 2313(2017云南统测)已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 ，以椭32圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 .直线 l： y kx m 与 y 轴交于点 P，5与椭圆 E 相交于 A， B 两个点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 3 ，求 m2的取值范围AP PB 解 (1)根据已知设椭圆 E 的方程为 1(
12、a b0)，焦距为 2c，由已知得y2a2 x2b2 ， c a， b2 a2 c2 .ca 32 32 a24以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 ，54 2 a4 ， a2， b1.a2 b2 5 5椭圆 E 的方程为 x2 1.y24(2)根据已知得 P(0， m)，设 A(x1， kx1 m)， B(x2， kx2 m)，由Error!得，(k24) x22 mkx m240.由已知得 4 m2k24( k24)( m24)0，即 k2 m240，且 x1 x2 ， x1x2 . 2kmk2 4 m2 4k2 4由 3 得 x13 x2.AP PB 3( x1 x2)24 x1x212 x 12 x 0.2 2 0，即 m2k2 m2 k240.12k2m2(k2 4)2 4(m2 4)k2 4当 m21 时， m2k2 m2 k240 不成立， k2 .4 m2m2 1 k2 m240， m240，4 m2m2 1即 0.1 m24.(4 m2)m2m2 1 m2的取值范围是(1,4)
