1、专题三十一 直线和圆的方程,解析几何这一章包括两个内容,一是直线与圆的方程,内容比较简单,属于基础知识,为后面的圆锥曲线打基础,是文科数学考查的重点;二是圆锥曲线,这部分知识应该是高中最难的内容之一,不过这里的难指的是方法灵活且计算量较大,在高考试题中各类题型都有出现,常作为解答题的压轴题出现,大部分同学只能做出第一问.,在平时学习中,注意做到以下几点:1.要理解直线与圆的位置关系的判定,掌握直线与圆的方程的形式,在解题时能够灵活选择;2.掌握三种曲线的概念和几何性质,并且能够灵活应用解决问题;3.在解决直线与圆锥曲线有关的问题时,能够熟练地做到联立方程消掉一个未知数,并用根与系数的关系进行解
2、题,倘若这道题不会解,那么在试卷上写出与题设条件或者所求的相关的步骤也能得到相应的分数;4.整理自己平时遇到的各类题型,形成一定的解题模式,在考试中才能准确判断解答题目的方法和减少计算量;5.对于查错机制,要注意直线方程的斜率是否存在,将已知点代入方程验证正确与否,直线与曲线有交点的隐含条件是判别式大于等于零等. 北京大学元培学院 张栋杰,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71直线的方程和两条直线的位置关系判定 1.(2015山东,理9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ),
3、【答案】 D 如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3). 由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0. 故设反射光线为y=k(x-2)-3, 即kx-y-2k-3=0.,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,2.(2013课标,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ),【答案】 B,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,3.(2014四川,理14)设mR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m
4、+3=0交于点P(x,y),则|PA|PB|的最大值是 . 【答案】 5,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,1.直线的倾斜角和斜率的概念 (1)直线的倾斜角 在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0,故直线的倾斜角的取值范围为0180. (2)直线的斜率 当90时,tan 表示直线l的斜率,用k表示,即k=tan .当=90时,直线l的斜率k不存在. (3)斜率公式 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),经过P1,P2两点的直线的斜
5、率公式为_.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,2.直线方程的形式及适用条件,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,3.两条直线的位置关系,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招1两法(直接法、待定系数法)求直线方程
6、,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,典例导引2(1)若直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则ab= . (2)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 条件.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,【答案】 (1)0 (2)充分不必要,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招2两直线位置关系的判断方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对
7、点精练,考点71,考点72,考点73,典例导引3已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程; (3)直线l关于点A的对称直线l的方程.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,(3)方法一:在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),N(4,3).则M,N关于点A的对称点M,N均在直线l上.易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0.
8、方法二:设直线l关于点A的对称直线l上的任意一点P(x,y),则点P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P(-2-x,-4-y). 点P在直线l上, 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招3与直线相关的对称问题的求解规律,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,1.(2017湖北武汉调研)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则l的方程为 . 【
9、答案】 2x-y+2=0,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,考点72圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,1.圆的标准方程与一般方程,2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2
10、)+(y-y1)(y-y2)=0.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,4.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R和r(Rr),圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下关系:,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,典例导引4求圆心在直线y=-x+1上,且与直线x+y-2=0相切于点(1,1)的圆的方程. 【解】 方法一:(几何法)因为圆心在过切点且与切线垂直的直线上,所以圆心在直线y-1=x-1上,即x-y=0上. 又已知圆心在直线y=-x+1上,试做真题,高手必
11、备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招4求圆的方程的两大方法(几何法、待定系数法),试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,典例导引5(1)已知圆C:x2+y2=4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l:x0x+y0y=4与圆C的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定,(3)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.圆C在点B
12、处的切线在x轴上的截距为 .,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,(4)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心C在直线l上.若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,则切线的方程为 . (5)(2017河南模拟)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为 .,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手
13、必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招5巧用几何法处理与圆相关问题,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,1.(2017吉林长春质检)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有2个,则b的取值范围是( ),试做真题,高手必备,萃取
14、高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,【答案】 (x-1)2+(y-1)2=1 【解析】 因为圆M和x轴的正半轴、y轴的正半轴都相切,所以可设M(a,a),a0,圆M的半径为a.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,考点73与圆相关的综合问题 1.(2014江西,理9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为( ),试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,【答案】 A 由题意可知圆C的圆心(设其为M)为线段AB的中点,且圆C过原点(0,0),
15、圆C与直线2x+y-4=0相切, 圆C的圆心M到原点(0,0)的距离等于M点到直线2x+y-4=0的距离. 由抛物线的定义可知,圆C的圆心M的轨迹是以(0,0)为焦点,2x+y-4=0为准线的抛物线.如图所示. 要使圆C面积最小,则需找出圆C半径的最小值. 由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短,即为(0,0)到直线2x+y-4=0的距离的一半.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,2.(2014课标,理16)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是 . 【答案】 -1,1 【解析】 如图所示,
16、设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使OMN=45,则OMNOMP=OMA, OMA45, AOM45. 当AOM=45时,x0=1. 结合图象知,当AOM45时,-1x01, x0的范围为-1,1.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,3.(2017课标,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点
17、精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,4.(2013课标,理20)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【解】 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2
18、-R)=r1+r2=4.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记O为圆心,r为圆的半径,则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO|+r; (2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,最短弦为以该点为中点的弦; (3)记圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的圆是以这两个定点为
19、直径端点的圆.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,2.与圆的代数结构有关的最值 (1)形如 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 3.与圆相关的轨迹 (1)轨迹:符合一定条件的动点所形成的图形,或者说符合一定条件的所有点组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. (2)与圆相关的轨迹分类:常见的有弦的中点轨迹、圆上一动点与一定点连线段的中点(或分点)轨迹、动圆圆心的轨迹等类型.,试做真题
20、,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,典例导引6(1)设点P是函数 图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(aR),则|PQ|的最小值为 . (2)已知m0,n0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是 .,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,高招6求解与圆有关的最值问题的规律,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点
21、72,考点73,典例导引7(1)过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA,则弦OA中点M的轨迹方程为 . (2)过圆x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为 .,【解析】 (1)方法一:(几何法)如图, M为OA的中点, OMC=OAD=90. 动点M在以OC为直径的圆上,圆心坐标为(2,0),半径为2. 所求点的轨迹方程为x2+y2-4x=0. 方法二:(代入法)设中点M(x,y),A(x0,y0),则由中点坐标公式得x0=2x,y0=2y,将点A(x0,y0)代入圆的方程,并化简,得x2+y2-4x=0.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考
22、点71,考点72,考点73,【答案】 (1)x2+y2-4x=0 (2)x2+y2-4x=0(0x1),高招7求与圆相关的轨迹的方法,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,【答案】 2,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,2.(2017河北唐山统考)已知圆M:(x-2)2+(y-2)2=2,圆N:x2+(y-8)2=40,经过原点的两直线l1,l2满足l1l2,且l1交圆M于不同两点A,B,l2交圆N于不同两点C,D,记l1的斜率为k. (1)求k的取值范围; (2)若四边形ABCD为梯形,求k的值.,试做真题,高手必备,萃取高招,对点精练,考点71,考点72,考点73,
