1、第4章 平行四边形,4.2 平行四边形及其性质（第3课时）,平行四边形对角线的性质,例1 如图，已知： ABCD中，BCD的平分线CE交边AD于点E，ABC的平分线BG交CE于点F，交AD于点G. 求证：AE=DG.,证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AB=CD. GBC=BGA，BCE=CED. 又BG平分ABC，CE平分BCD， ABG=GBC，BCE=ECD. ABG=BGA，ECD=CED. AB=AG，CD=DE. AG=DE. AG-EG=DE-EG，即AE=DG.,分析：利用角平分线和平行线的性质可以证明ABG和CDE都是等腰三角形，再利用平行四边形的对边相等得AG=
2、DE，最后根据等量减等量差相等得出结论.,注意点：平行四边形的性质包含了线段的相等关系、位置关系，角的相等关系、互补关系以及对角线的平分关系等，这些性质为几何中边、角相等的证明提供了大量理论依据. 对于较复杂的图形，还要注意结合全等三角形、特殊三角形的性质，解题时要注意分解出图中的特殊图形或基本图形，全面分析图形中各线段，角的位置关系和数量关系.,例2 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）,运用平行四边形的性质求边的取值范围,A. 1m11 B. 2m22 C. 10m12 D. 2m6,分析：四边形ABCD是平
3、行四边形，AC=12，BD=10， OA=OC=6，OD=OB=5. 在OAB中， OA-OBmOA+OB， 6-5m6+5， 1m11.,解：A,注意点：求平行四边形某边的取值范围，可考虑借助对角线互相平分，将平行四边形问题转化为三角形问题解决.,例 如图，已知： ABCD的内接 EFGH，E、F、G、H分别在 ABCD的边上. 求证：对角线AC、BD、EG、FH交于点O.,错答：设 ABCD的对角线AC、BD交于点O. EFGH是平行四边形，OH=OF，OE=OG. E，O，G共线，H，O，F也共线，EG，HF也过点O. 对角线AC，BD，EG，FH交于点O.,正答：ABCD是平行四边形，EBF=GDH，又ADBC，DHF=BFH. 又EFGH是平行四边形，HG=EF. 又HGEF，GHF=EFH，DHG=BFE. DHGBFE，HD=BF且HDBF. 连结BH、DF，则四边形HBFD是平行四边形，如图. O是BD的中点，HF通过点O，且OH=OF. 同理EG通过点O，且OE=OG，对角线AC，BD，EG，FH交于点O.,错因：错解中由EFGH是平行四边形，就推出OH=OF，OE=OG是错误的. 因为条件中没有O是 EFGH的对角线的交点，这是需要证明的. 解题时一定不能犯以直观代替推理的错误.,
