1、浙江师范大学2010 数学建模集训之邮件送递邮件送递1邮件送递【摘要】本题可以转化为最佳旅行货物员问题。在给定的加权网络图中寻找从起始点 51 出发，行遍所有有邮件到达的点至少一次再回到起始点，使得总权最小。本文运用 MATLAB 软件求出所需的最小生成树，在某些特定的分岔路口运用 Dijkstra 最短路算法找到区域性的最优解，再运用 Floyd 算法结合原图及目标规划找出邮递员的最短路径。针对问题一：将 130 号邮件送至 21 个地点，由于重量和体积都没有超出，采用单一目标规划，得到一个最优送货路线；针对问题二：在问题一的基础上加上每号邮件的时间限制，采用多目标规划，对问题一所得路线进行
2、调整，求得近似最优路线；针对问题三：只考虑重量和体积的限制，将 100 号邮件（总重量 148 公斤，总体积 2.8 立方米）送至 50 个地点，可根据原图的最小生成树的树枝的大体分布情况分成三个类似哈密尔顿回路，求得近似最优解；针对问题四：在前三问的基础上，将各地需要寄出的邮件（总重量 75.52公斤，总体积 6.12 立方米）带回邮局，故我们分七个类似哈密尔顿回路，派遣两名邮递员完成任务。纵观全文，本文解决了在时间，重量，体积等不同条件限制下的最优路线问题，具有较强的实践意义。【关键字】邮件送递，最小生成树，目标规划，类似哈密尔顿回路，最短路线邮件送递2一、问题重述现在社会网络越来越普及，
3、网购已成为一种常见的消费方式，随之物流行业也渐渐兴盛，每个售货员需要以最快的速度将货物送达，才能在这个市场上处于不败的地位。怎样设置邮递员的路线才能使其尽量少走不必要的路线并且在规定的时间内完成邮递任务呢？根据本题要求，邮递员的最大载量是 50 公斤，所带货物的最大体积为 1 立方米，邮递员路上平均速度为 30 公里/小时，每件货物交接花费 2.5 分钟，解决如下问题：1将 130 号邮件（总重量和总体积均没有超出）送至 21 个地点，设计最短的送货路线，求出最少花费的时间；2在问题 1 的基础上，该邮递员从早上 8 点出发，要求 130 号邮件的送达时间不能超过指定时间（邮件送达地点及不超过
4、的送达时间的信息如下表） ，设计最快完成路线与方式，标出路线； 3若不需要考虑所有邮件送达时间限制(包括前 30 件货物)，现在要将100 件邮件（总重量 148 公斤，总体积 2.8 立方米）送到 150 号地点并返回。设计最快完成路线与方式。要求标出送货线路，给出送完所有邮件的时间。由于受重量和体积限制，邮递员可中途返回取货。可不考虑中午休息时间。4如果邮递员送邮件的同时，还负责将各地需要寄送的邮件带回邮局，各地点需要带回邮局寄送的邮件的信息见附录，按照此条件重新解答以上问题。其中地形图如下：时间 邮件号 到达地点9:00 之前送达 1,2,20 13,18,249:30 之前送达 3,
5、11,14,21,24,25, 26 31,34,40,4510:15 之前送达 10,12,15,16,27 38,42,43,4912:00 之前送达 4,5,6,7,8,9,13,17,18,19,22,23,28,29,3014,16,17,21,23,26,27,32,36,39邮件送递3图 1二、模型假设基于上述问题，我们给出了合理假设：（1）所有的连接道路均可顺利通过，即不出现堵车情况，且路面条件均相同；（2）邮递员在所有路线上速度恒定，即转弯，道路的曲折都不会对车速产生影响；（3）既有收货又有送货的地点可按两次进行，即先收后送或先送后收；也可一次性完成；（4）同一地点有多种货物
6、需要接送，邮递员停留时间按货物的件数计算，不会出现特殊情况提前离开或延误时间。三、符号说明kx第 k 点送出邮件的体积；i第 i 点收回邮件和送出邮件的体积差；邮件送递4四、模型的建立与求解1问题一：经过数据的计算，得到 130 号邮件的总重量为 48.5 公斤，总体积为 0.88立方米。因为在题目中已经规定邮递员的最大载重量为 50 公斤和 1 立方米，而30 封邮件的总重量和总体积均未超过邮递员的最大承受量，故该次任务可一次性完成而无需回邮局再次取货。本题要求以最快的路线与方式将 30 封邮件送达目的地，即需要找出一条连通的由这 30 封邮件的送达目的地所组成的 22 个点（包括 51 号
7、点）的最短路径，形成一个哈密尔顿圈。我们以每条路线所需时间作为路线优化的标准，计算出每段路线所花费时间，并以此作为该边的权重，运用 MATLAB 的最小生成树算法生成这 23（35 号点虽然没有邮件到达，但观图易知，35 号点是所求最短路径的并经之路）个点的最小生成树，见图 2._41_43_图 2 23个点的最小生成树_50_47_40_34_45_37_44_46_48_33_25_29_22_30_28_49_42_38_36_39_31_27 _35_32_23_16_17_14_21_ 51_26_18_9_10_7_13_19_12_11_8_6_1_3_24_15_20_2 _5
8、 _4邮件送递5根据所得最小生成树的大致形状，考虑到已被最小生成树覆盖的路径和未被最小生成树覆盖的连通路径和不连通路径，以及 21 个点的分布密集程度，以时间作为路线的衡量标准，我们将最小生成树进行优化。可以发现，图 2 中起始点 512621 的路线方式比起始点 5126起始点 5121 的路线方式所需时间少；3127392731 的路线方式比 3627392736 的路线方式所需时间少；3124191318 的路线方式比312431181318 的路线方式所需时间少；45424942 的路线方式比 45504942 的路线方式所需时间少；23161417 的路线方式比23162317141
9、7 的路线方式所需时间少。同时还考虑到最小生成树中右边部分点所形成的路径较左边部分点形成的路径更为单一，故我们选取从右左行进方式，得到最小生成树的优化模型，即我们初步设计的最短路径方式。然后根据每两点间的一段路径所花费时间和邮件交接时间将初步设计的最短路线模型进行二次优化得到最终的最短路线模型。见图 3 和表 1。邮件送递641 43图 3-第 一 大 题 路 线 图35322316504740344537444648332529223028494238363931 27171421始始始51261891071319121186132415202 5 4表 1 问题一的路线 （时间单位：小时）
10、组名路线 路线时间交接时间总时间1起始点51262117141623323538363843424942454034312739273124191318起始点 511.8169 1.2500 3.06692问题二：假定该邮递员从早上 8 点上班开始送邮件，并且要求在指定时间内将 130号邮件以最快的路线方式送达目的地，要求标出送货线路。本题中 30 封邮件的重量和体积均未超过与邮递员的承受量，故该次任务亦可一次性完成而无需回邮局再次取货。本题中要求以最快的方式将 130 号邮件送达目的地，故问题一中我们所建立的最快路径的模型依旧可以达到问题二中对于最快路径的要求。然后我们根据 4 个邮件所必须
11、送达的时间限制：9:00、9:30、10:15、12:00 分别将 30 封邮件的先后发送次序标记为（1） 、 （2） 、（3） 、 （4） ，并结合这一次序来调整路线的行进方向。在图 2 小生成树的优化模型的基础上结合邮件发送先后次序可以看到标记（1） 、 （2）的邮件主要集中在左边的点，而标记为（3） 、 （4）的邮件主要在右边的点，故我们初步选定从左邮件送递7右的行进方式。然后结合路上花费时间和邮件交接时间将初步设计的最短路线模型进行二次优化得到最后的最短路线模型。见图 4 和表 2。41 43(3)图 4-第 二 大 题 路 线 图504740(2)34(2)45(2)37444648
12、33252922302849(3)42(3)38(3)36(4)39(4)31(2) 27(4)3532(4)23(4)16(4)17(4)14(4)21(4)始始始5126(4)18(1)10713(1)191211861324(1)15202 5 49表 2 问题二的路线 （时间单位：小时）组名路线 路线时间交接时间总时间1起始点51181319243127392731344045424942433836383532231614172126起始点 511.8169 1.2500 3.0669观察问题一和问题二所得的两个优化模型可得两者的路径相同而行进方向相反，从而进一步证明模型一达到了问题
13、一中对于最快路线的要求和模型二达到了问题二中对于最快路线和时间限制的要求。3问题三：在问题三中，题目要求我们在不考虑所有邮件送达的的时间限制（包括前30 件货物）的情况下，求解将 100 件邮件全部送到指定地点的最短路径。我们运用多项目的类似哈密尔顿回路的思考方法求解该题。通过计算数据，我们可以求得这 100 件货物的总重量为 148 公斤，总体积为 2.8 立方米，由于在题目中已经限制邮递员的最大载重量为 50 公斤，最大体积为 1 立方米，所以，要想使得完成这一任务，则邮递员必须运送三次，形成邮件送递8三个类似哈密尔顿回路。基于最优值考虑，就需要在通过三个类似哈密尔顿回路后，完成所有任务。
14、而且，显而易见的是 148 与 2.8 十分接近于 150 与 3，所以，我们可以肯定，若能在三个类似哈密尔顿回路后完成所有任务，则三条线路所完成的工作量将十分的接近，这也就给我们完成这一问题找到了很好的突破口。首先，我们先通过 MATLAB 得到这 50 个点的最小生成树，如图 5：_41_43_图 5-100个点的最小生成树_50_47_40_34_45_37_44_46_48_33_25_29_22_30_28_49_42_38_36_39_31_27 _35_32_23_16_17_14_21_ 51_26_18_10_7_13_19_12_11_8_6_1_3_24_15_20_2
15、_5 _4_9邮件送递9然后，我们根据最小生成树的大致形状，将最小生成树分为 5 段，将点分为以下五块区域，表示为：线段 1649，线段 145，线段 2433，线段 3446以及线段 3117。然后我们根据每一块区域中各点邮件的重量与体积，在对各区域的数据进行求和后，对它们进行一个大致的划分，得到三个初始生成圈。不难发现在线段 1649 中，个点的体积以及质量和已经相当接近与其最大值，所以我们就在线段 1649 的基础上通过调试得到第一条合适的路线 1。同时我们可以大致猜测剩余的两条路线分别是处于左下方的路线 2 以及左上方的路线 3。而且我们也根据各点的重量与体积，对于三条路线所过点，实现
16、了大致的确定。对于路线 1 需要注意的是在 17，38，42 以及 36 点处需要我们进行分析，对于是否将 14 点纳入路线 1 中，我们认为在最小生成树中下方的那段路线 2 中，其必然经过 14，所以对于线路二，我们可以确定他的其实路线为 512117这样可以同时减少路线 1 与路线 2 的长度，然后对于点 38，考虑到点 49 那的多点存在有几多的往返路线，同时为了更好的构成回路，选择从点 38 走到点43，在比较了 42495045 以及 42494245 后我们选择了后者，同样由于避免与路线 3 发生不必要的路线重复，我们选定有 36 直接通过 21 回到起始点。对于路线二的确定，可见
17、，在最小生成树中，路线 2 的下方走法可以确定，只有在点 1 时需要进行考虑，比较了 183 和直接 13 加上 128 的往返后，邮件送递10我们选择前者，同时我们可以发现，对于以点 30 为中心的各点还是放在路线 3中才更为节省时间，毕竟点 48 为路线 3 的必过点。而同时以点 11 为中心的点必存在于路线 2 中。当然对于三角形 12111312 的走法也是考虑的重点。对于路线 3，基于回路的考虑，在此就不多加陈述。再大致确定了路线之后，我们对其进行了整体的分析，得到最终的路线数据及示意图如下：41 43图 6 _第 三 大 题 路 线 图50474034453744464833252
18、9223028494238363931 2735322316171421始始始5126181071319121186132415202 5 4表 3 问题三的路线 （时间单位：小时）邮件送递114问题四（一）：在邮递员送邮件的同时，还负责将各地需要寄送的邮件带回邮局，将 130号邮件以最快的路线与方式送到指定地点并返回。给出结果并要求标出送货线路。组名路径 完成接收邮件的点 路线时间交接时间总时间1 512117231623323538434249424536215121,17,23,16,32,35,38,43,42,49,45,361.0486 1.4583 2.50692 5121149
19、107161834251512111318312731265114,9,10,7,1,6,8,3,4,2,5,15,12,11,13,18,31,27,26 1.7174 1.3750 3.09243 5126312739273134405040474037414448463328302220222925192431265139,34,40,50,47,37,41,44,48,46,33,28,30,22,20,29,25,19,24 1.8734 1.3333 3.2067邮件送递12本题中要求以最快的方式将 130 号邮件送达目的地，故问题一中我们建立的最快路径的模型依旧可以达到问题二中对
20、于最快路径的初步要求。但同时结合问题中对于接收邮件的要求，16、17、18、23、24、26 六个点将会有邮件的接收。考虑到若按照模型一中最快路径的走法将会在 17 号点接收邮件后邮件的体积超过 1 立方米的限制，重量不超重，而按照模型二中最快路径的走法将会在 18 号点接收邮件后邮件的体积超过 1 立方米的限制，重量不超重。因此，结合接收邮件后邮件体积超过 1 立方米的限制条件对最快路线模型作出调整。若选取右左的行进方向则必然会在以 17 号点为中心的区域内接收邮件后体积超过限制，故放弃右左的行进方向，选取左右的行进方向。而若按照路线：起始点 5118131924-31 和路线：起始点 51
21、26312419131831 将会在在 18 号点和 24 号点接收邮件后体积超过限制，故我们选择路线：起始点 512631273927312419131831 的方式在 18 号点和 24 号点接收邮件之前先把 26、31、27、39 号点要发送的邮件发出去，使得 24 和 18 号点接收邮件后体积都不会超过限制；而选择 2418 的绕圈方向而非 1824 的绕圈方向是考虑到 24 号点接收邮件的体积小于 18 号点接收邮件的体积。然后考虑到接下来的 31、34、40、45、42、43、49、38、36、14、21、32点均无邮件的接收，而 23、16、17 虽接收邮件但接收后体积不会超过限
22、制，因此可按照问题二中该路段最快路线的走法行进。综合上述几点关于接收邮件体积限制的调整方式，我们在最快路线模型上得到本问题的优化模型，见图 7 和表 4.41 43图 7-第 四 大 题 第 一 小 题 路 线 图504740344537444648332529223028494238363931 2735322316171421始始始5126181071319121186132415202 5 49邮件送递13表 4 问题四对应第一题的路线 （时间单位：小时）组名路线 路线时间交接时间总时间1起始点51263127392731241913183134404542494243383638353
23、22316141721起始点 511.8186 1.6250 3.4436问题四（二）：在邮递员送邮件的同时，还负责将各地需要寄送的邮件带回邮局。现假定该邮递员从早上 8 点上班开始送邮件，要求在指定时间内将 130 号邮件以最快的路线方式送达目的地，并要求标出送货线路。本题中要求以最快的方式将 130 号邮件送达目的地，故问题一中我们所建立的最快路径的模型依旧可以达到本题中对于最快路径的初步要求。根据重量数据可得在每一点接收邮件后邮件总重量不会超重，继而在最快路径的基础上结合收发邮件的体积限制要求，问题四（二）中建立的模型可达到本题中对于体积限制的初步要求。然后，在满足体积限制的最快路线的模
24、型基础上根据每封邮件送达的时间限制对部分路线进行调整，依旧根据 4 个邮件所必须送达的时间限制：9:00、9:30、10:15、12:00 分别将 30 封邮件送达的目的地先后次序标记为（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 。若按照路线：起始点 5126312739273124191318 的方式将会使标记为（1）的 18 号点的邮件无法按时送达，故我们暂时选择把 27 和 39 号点的邮件调整到经过 24 和 18 号点之后再发送，但这两个点的延后发送使得到达 18 号点接收邮件后体积超过限制，同时结合 19号点并无邮件的收发，我们选择将 312419131831 的绕圈模式剖解为31
25、24-31 和 31181318-31 两段，但 3118131831 路段中 13和 18 号两点处接收的邮件体积均过大，会超过限制，故我们最终选择路线：起始点 51181318起始点 51263124-31 的方式将 13 号和 18 号点处接收的邮件提前送回邮局。然而原本延后至 24 点后再发送的标记为（4）的27 号和 39 号点所花费的时间又使得接下来标记为（2）的 45 号点的邮件无法按时送达，因此我们又选择将标记为（4）的 27 和 39 号点的邮件推迟发送。然后就这两个点的次序穿插在结合路线：38362739273638 和路线：21362739273126起始点 51 两种方
26、式的所用时间后，我们选取来花费时间更少的路线：38362739273638 来穿插 27 号和 39 号点。邮件送递14然后，在接下来的点中由于接收邮件的体积和发送邮件的时间均未超过限制，故我们依旧采用问题四（一）中该路段的最快路线的走法行进。综合上述几点关于邮件送达时间限制的调整方式，我们在满足体积限制的最快路线的模型基础上得到本问题的优化模型，见图 8 和表 5.41 43图 8-第 四 大 题 第 二 小 题 路 线 图504740344537444648332529223028494238363931 2735322316171421始始始51261810713191211861324
27、15202 5 49表 5 问题四对应第二题的路线 （时间单位：小时）组名路线 路线时间交接时间总时间1起始点511813185126312431344045424942433836273927363835322316141721起始点 511.9779 1.6250 3.6029第四题（三）通过题目我们了解到，对比于第三大题，同样是发送 100 件邮件，同样是不考虑送达的时间限制，但是他却有了许多的限制因素，比如接收邮件的质量以及体积，比如接收邮件的时间限制，同时，我们发现在同一个地点的处理方式也同样出现了多样化，例如在点 A，我们既需要接收邮件，又要发送，但是邮件送递15我们可以有如下处理
28、方法：其一，既收邮件又送邮件；其二，只收邮件，并在本次类似哈密尔顿回路中再次路过该点或其他类似哈密尔顿回路中送邮件；其三，只送邮件，并在本次类似哈密尔顿回路中再次路过该点时或其他类似哈密尔顿回路中收邮件；其四，既不收也不送邮件，交给本次类似哈密尔顿回路中再次路过该点时或其他类似哈密尔顿回路中完成；其五，若有两件要收，可以分开来进行收取。当然，我们也发现在同一个类似哈密尔顿回路中方向选取的不同也会影响方案的可行性，应为方案的设定收接收邮件的影响极大。通过数据分析，我们得到接收邮件的总质量为 75.52 公斤，体积为 6.1192立方米，所以，我们至少需要七个类似哈密尔顿回路才可以完成任务，而且，
29、我们可以发现，在该题路线的设定时，接受邮件的体积对于类似哈密尔顿回路的划分起到了决定性的作用，比如在 15，有份接收的邮件其体积为 0.51 立方米，占据了将近一半的携带空间。类似的点还有很多，需要我们郑重考虑。由于每一件货物的接收都需要 2.5 分钟，所以仅仅考虑 130 号点，若全部就收邮件，则需要约 3.5 个小时，使得若只要一个人运送，则绝不可能实现，所以我们考虑存在两个邮递员同时运送货物，因此在 13：00 以前我们将构建四个类似哈密尔顿回路，每人两个。而且我们发现这些有时间要求的点多处于最小生成树的中下方，因此我们的路线考虑也就从右下方开始算起。同时对于上方，根据每间接收货物的体积
30、我们可以发现，点 41,45,46 分别处于不同的回路中。至于这一题的的运算，我们设计了一个比较繁琐的方法，而且这种方法很难保证其最优性。但是具有一定的参考价值，具体如下：首先我们选取一段比较可能的路线，比如 5117231614910，然后假设这 6 个点的发送邮件体积为 ，先求出邮递员的总携带体积：1,2,3,4,5,6xx10kx然后做出各点接收邮件后的体积变化 ，并使 依次与每个 相加，i6ki邮件送递1610.0jikjikijjmkiixx倘若到 时， 的值依然小于等于 1，则原选取路线可行，则可以在原6x1k路线基础上继续延伸；若到 4 时其值就大于 1，则表示到 3 为止的路线
31、还是可行的。方法依此类推。在该题路线的设定时，有几点我们对其作出了修正：如路线 3 的方向问题，当其在逆时针时为可行，而在顺时针是则不然；如在路线 2 中的点 8，以及点30 时都是先发送邮件并在再次路过时才接收邮件；其他还有不少的修改，在此不作赘述。经过不断的修改以及调试我们得到的最优路径分析如下：表 6 问题四对应第三题的路线 （时间单位：小时）组名路径 完成邮件接收的点 路途时间交接邮件时间总时间1 51211723161491071617185121,17,23,16，14,9,10,7,1,6 1.2130 1.2917 2.50472 5118（f）1311128342515222
32、02230283328302229211,12,8,3,4,2,5,15,22,20,30,28,33 1.6341 1.2500 2.8841邮件送递17519243126513 51263124192529251913185124,29,25,19,13 0.7745 0.5833 1.35784 51183127392736383532231721265118,31,27,39,36,38,35,32,26 0.7827 1.4583 2.24105 5126312736454243424950444137403431265145,42,43,4950,44,41,341.2637 1.
33、0417 2.30536 512631344047403431265140,47 0.6102 0.2083 0.81857 512631344037414648464137403431265148,46,37 1.0495 0.3750 1.4245邮件送递1841 43图 9 第 四 大 题 第 三 小 题 路 线 图504740344537444648332529223028494238363931 2735322316171421始始始5126181071319121186132415202 5 49根据数据，对于 13:00 前的四个类似哈密尔顿回路，我们将 1 和 4 分为一组 2
34、 和 3 分为一组，为了更为合理，我们在分配路径时注意每个邮递员的工作量的相似性。多以具体安排如下：邮递员 1 完成路线 1、4、6、7，邮递员 2 完成路线 2、3、5.五、模型的进一步探讨与推广（1）该模型解决了在重量，体积和时间等不同条件限制下个人与多人的邮递问题，得出了邮递员在规定的时间内完成任务的最优路线；如果所需送递的邮件过多，在重量和体积的限制下，我们可以运用最小生成树的大体图形设置尽可能少的多条路线；（2）该模型可以推广至旅游路线问题，长征跋涉问题，紧急急救问题，消防员问题等，其用途相当广泛。邮件送递19六、模型的综合评价对于以上建立的多个模型，具有以下优缺点：优点：（1）适用
35、于同类可以用图论建模求解的多推销员问题，运用相应算法上机求解，易于推广到节点较多的情况；（2）运用上述最小生成树法可得到一个图表，可以一目了然的的确定大概路线，而在实际生活中，即需要这样的粗略路径来达到实际的目的。缺点：（1）所求的最佳送货路线是近似最优解，而类似的近似最优解可以不止一个，未能在理论上证明本问题最优解得情况；（2）本题采用最小生成树法，得出基本的路线图，最优路径无法用计算机直接得出，推导与计算最短路径花了相当大的功夫。（3）对于第四大题中所用到的方法，具有极大的不确定性，所得结果往往只是可行解而并非最优解，并且计算繁琐，需要更好的方法来满足路线确定的需要。参考文献：1 刘卫国.
36、 MATlAB 程序设计教程. 北京：中国水利水电出版社，20052卜月华. 图论及其应用. 南京：东南大学出版社，2000附录一：function A = fun(W)m,n = size(W);e=0;for i=1:nfor j=i:nif W(i,j)=0e=e+1;E(e,:)=i,j,W(i,j);endendend% sort Ws edge by weightfor i=1:e-1for j=i+1:eif E(i,3)E(j,3)邮件送递20temp=E(j,:);E(j,:)=E(i,:);E(i,:)=temp;endendendA=zeros(1,3);S=1:n;fo
37、r i=1:e % if find-set(u) = find-set(v)if S(E(i,1)=S(E(i,2)% A = A + (u, v)A=cat(1,A,E(i,:);%union(u, v)indicator=S(E(i,1);for j=1:nif S(j)=indicatorS(j)=S(E(i,2);endendendendA(1,:)=;附录二：function d,DD=dijkstra(D,s)m,n=size(D);d=inf.*ones(1,m);d(1,s)=0;dd=zeros(1,m);dd(1,s)=1;y=s;DD=zeros(m,m);DD(y,y)=1;counter=1;while length(find(dd=1)mfor i=1:mif dd(i)=0d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i);endendddd=inf;for i=1:mif dd(i)=0end邮件送递21endyy=find(d=ddd);counter=counter+1;DD(y,yy(1,1)=counter;DD(yy(1,1),y)=counter;y=yy(1,1);dd(1,y)=1;end
