1、第一章概述1.1 意义问题解决 1是一种创造性的活动,是如何综合地、创造性地应用所学知识和方法去解决非常规性的问题。显然,在这样的理解下, “问题解决”的核心就并非是各种特殊的解题方法或技巧,而是一些十分一般的思想方法或思维模式(为了对这两者作出明确的区分,在现代的研究中人们有时就把后者称为是“高层次的思维方法” 。 )另外,与对于数学知识的强调相比, “以问题解决作为学校数学教育的中心”则就更为清楚地体现了数学教育思想的根本性转变,即是,认为应把帮助学生学会“数学地思维” ,从而提高解决问题的能力作为数学教育的主要目标。显然,正是以上的基本指导思想决定了问题的选择标准:我们应当集中于所说的“
2、非常规性问题” (non-routine problem) ,另外,这一基本指导思想显然也就表明了在“问题解决”的教学中我们不能对学生采取“完全放任”的态度,特别是不能以问题的解决作为教学的最终目标。事实上,这也正是初学者(或者说, “不好的解题者” )与数学家(“好的解题者” )在思维方法上的一个重要区别:前者往往满足于用某种方法(包括观察、实验和猜测) ,求得具体的解答而不去进一步追究相应的解释,也不去思考是否存在有不同的解法,以及是否可能对所获得的结果作出进一步的推广;与此相反,数学家们并不停止于某个具体问题的解决,而是致力于进一步的思考:在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍
3、的理论?这些事实能否被纳入某个统一的数学结构?等等。从而,为了帮助学生学会“数学地思维” ,在“问题解决”的教学中教师也就应当发挥重要的作用,而不能将此片面地理解为“让学生独立地去解决问题” 。1.2 基本内容解题的基本过程(规律) ,怎样解题,习题理论1.3 方法分析解题的具体过程第二章解题研究之基本技术2.1 表征技术问题表征有各种各样的方式,例如布鲁纳认为有动作表征、图像表征和符号表征三种基本的表征模式。每一形式的表征依赖于个体不同的知识(包括经验) ,而且可引出不同的知识和策略,导致产生不同的解法。1 江苏教育,200001,什么是“问题解决”“问题解决与数学教育”之一,郑毓信,南京大
4、学人们在解答复杂的数学题时,并不是只靠单一形式的表征,往往是选用几种或几种的组合形式来表述问题(上述相应的图像与符号表征相结合的解法) ,直至最后解出。对于某一特定的数学问题而言,在若干的表征之中,可能某一种方式的表征比其他形式的表征更有效。因为不同表征能激活长时记忆中的不同事实和程序,其结果会直接影响到解题成功与失败。问题表征阶段的结果主要有两种。第一种,如果对问题的表征能促使联想起一个有效的解题知识块,那这种表征就完成了问题的解决。这种表征使得问题得到了重新组织或重新归类,从而联想起了一个可行的解决方案,也就是这种表征激活了一个适当的解题知识块,解决方案跃然而出。在某种意义上说,这实际并没
5、有真正解决一个新问题,而只是再认了一个由旧问题乔装打扮而成的新问题而已。这种对问题的表征,实际是将新的问题情境与头脑中解题认知结构的相关方面建构起了非人为和实质性的联系。第二种,如果并没有一个现成的解题知识块能被联想起来成为有效的解答方案,那么就得遵循探求解答的“尝试+顿悟”的路线去探索,当然,这条路径可能充满艰辛和坎坷,但有时却是唯一的路,一条创新发明的路,一条可以获得“点石成金”之功的路。2.1.1 列举与列表例 1.直线上有四个点 A、B、C、D,以这四个点为端点的线段共有多少条?例 2.掷两粒骰子,共有多少种不同结果?和有几种?例 3.1+2+4+8+16+1024=?例 4.4 个药
6、瓶都贴了标签,其中有 3 个贴错了,那么错的情况有几种?例 5.今要在一个圆周上标出一些数,第一次先把圆周二等分,在两个分点旁分别标上12和 3,如图 18-1所示第二次把两段半圆弧二等分,在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和56,如图 18-2 所示第三次把 4 段圆弧二等分,并在 4 个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和15326,1563,如图所示如此继续下去,当第八次标完数以后,圆周上所有已标数的总和是多少?例 6.两只食量相同的猴子抢一堆桃子吃,吃完后,一只猴子还差 1 个桃子吃饱,另一只还差 5 个吃饱。如果这堆桃子都给一只猴子吃,它仍不会吃饱,那么一只猴子一共需要几个桃子才能吃饱
7、?例 7.甲、乙、丙三个容器中,各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的 31倒入乙容器,再把乙容器中的酒精的 31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的 31倒入甲容器,那么三个容器中各有酒精 31千克.问甲容器中原来有酒精多少千克?2.1.2 树状图例 8.用数字 1、2、3 能组成多少个三位数?例 9.A、B、C 、 D 四人传球,从 A 开始,经过 4 次传球后球又在甲手里的方法有多少种?树形图A CDBCDAADBCABDBCDBCB列表传球次数 1 2 3 4回到 A 0 3 6 21回到 B 1 2 7回到 C 1 2 7回到 D 1 2 7例 10. 设 ABCDEF 为正六边形
8、,青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一,若在5 次之内跳到点 D,则停止跳动。若 5 次之内不能到达点 D,则跳完 5 次也停止跳动,问这只青蛙从开始到停止,共有多少种不同的跳法?FECB2.1.3 关系图例 11. A、B、C、D、E 五人进行单循环比赛,过程中统计,A 比了 4 场,B 比了 3 场,C 比了 2 场,D 比了 1 场,那么这时 E 比了几场?例 12. 任何 6 个人中必有三人互相认识或三人互相不认识。2.1.4 集合图例 13. 某班有 40 名学生,其中有 15 人参加数学小组,18 人参加航模小组,有 10 人两个小组都参加那么有多少人两个小组
9、都不参加?例 14. 某班 45 个学生参加期末考试,成绩公布后,数学得满分的有 10 人,数学及语文均得满分的有3 人,这两科都没有得满分的有 29 人那么语文成绩得满分的有多少人?例 15. 五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项其中有 25 人参加自然兴趣小组,35 人参加美术兴趣小组,27 人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有 12 人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有 8 人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有 9 人,语文、美术、自然 3 科兴趣小组都参加的有 4 人求这个班的学生人数例 16. 如图 8-1,已知甲、乙、丙 3 个圆的面积均为 30,
10、甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6,8,5,而 3 个圆覆盖的总面积为 73求阴影部分的面积例 17. 图书室有 100 本书,借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33,44 和 55 本,其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本,同时有甲、丙签名的图书为 25 本,同时有乙、丙签名的图书为 36 本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?2.1.5 线段图例 18. 爸爸今年 30 岁,儿子年龄是 2 岁,几年之后爸爸年龄是儿子年龄的 5 倍?例 19. 今年爸爸年龄是孩子年龄的 10 倍,几年之后爸爸年龄是孩子的 4 倍?例
11、 20. 两支燃烧速度相同的蜡烛,甲可以烧 4 小时,乙可以烧 3 小时,同时点燃两支蜡烛,多长时间后甲剩余的长度是乙的 3 倍?例 21. 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发,在 A、B 之间不断往返行驶,已知甲车的速度是每小时 18千米,乙车的速度是每小时 42 千米,并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点叫做相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距 150 米,那么 A、B 两地之间相距多少千米?例 22. 在一个沙漠地带,汽车每天行驶 200 千米,每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在
12、行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车求甲车所能开行的最远距离例 23. 甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快两人出发后 1 小时,甲与乙在离山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好下到半山腰那么甲回到出发点共用多少小时?例 24. A,B 两地相距 105 千米,甲、乙两人分别骑车从 A,B 两地同时相向出发,甲速度为每小时 40千米,出发后 1 小时 45 分钟相遇,然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑在他们相遇 3 分钟后,甲与迎面骑车而来的丙相遇,而丙在 C 地追上乙若甲以每小时
13、 20 千米的速度,乙以每小时比原速度快 2 千米的车速,两人同时分别从 A,B 出发相向而行,则甲、乙二人在 C 点相遇,问丙的车速是多少?例 25. 一条大河有 A,B 两个港口,水由 A 流向 B,水流速度是每小时 4 千米.甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶,各自不停地在 A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时 28 千米,乙船在静水中的速度是每小时 20 千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在 A 处同时开始出发的那一次)的地点相距 40 千米 ,求 A,B 两个港口之间的距离.例 26. 如图 3-1,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同
14、时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了 100 米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长例 27. 如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在 AB 上时速是 90 千米,在 BC 上的时速是120 千米,在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米从 CD 上一点 P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在 AB 上一点N 相遇问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少 ?2.1.6 矩形图矩形面积公式:面积=长宽,
15、能够表示三个量之间的关系,很多有类似关系的应用题都可以考虑利用矩形图来分析,如行程问题、工程问题、平均问题等。速度时间 路程和线段图相比,矩形图可以同时表示的量更多一些。例 28. 今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?对图形的理解原速度原时间路程新速度新时间这两块面积相等面积相等的两个矩形,它们的长、宽有什么关系?例 29. 有一辆汽车,以固定速度从甲地开往乙地。如果每小时比原定速度快 6 千米,就可以提前 5 分钟到达;如果每小时比原定速度慢 5 千米,就会迟到 6 分钟到达。求甲乙两地距离。例 30. 甲、乙二人从相距 1836 米的两地相向同时出发,9 分钟后,二人在
16、途中相遇,如果甲、乙二人每分钟都多行 6 米,那么相遇的地方距离原相遇地点 9 米。甲、乙二人每分钟各行多少米?矩形图很困难(抽象,类比思维)例 31. 幼儿园有 3 个班,甲班比乙班多 4 人,乙班比丙班多 4 人老师给小孩分枣甲班每个小孩比乙班每个小孩少分 3 个枣;乙班每个小孩比丙班每个小孩少分 5 个枣结果甲班比乙班总共多分 3个枣,乙班比丙班总共多分 5 个枣问 3 个班总共分了多少枣?2.2 分析技术2.2.1 比较所谓比较,就是对问题中描述的事物进行对比。尤其是对同一事物的不同描述,不会简单重复,那么,其描述差别中所蕴含的信息也是隐含的,发掘这些信息,相当于增加题目的已知条件。例
17、 32. 幼儿园小班分到一箱桃,每人 2 个,余 6 个桃;每人 3 个,少 6 个桃。问:这个班有多少个小朋友?一箱桃有多少个?由“每人 2 个”到“每人 3 个” ,差异是明显的,造成差异的原因也简单;由“余 6 个”到“少 6 个” ,怎样造成的?人数每人 2 个这两块面积都是6每人 3 个这三块面积各是多少?6、4、2能看出相等面积吗?人数每人 2 个这块面积是 6+4=10每人 3 个这块面积当然是 10算算边长例 33. 一项工程,甲队单独完成需 40 天。若乙队先做 10 天,余下的工程由甲、乙两队合作,又需 20天可完成。如果乙队单独完成此工程,则需_天。对甲队描述有两处:“甲
18、队单独完成需 40 天”和“余下的工程由甲、乙两队合作,又需 20 天可完成” ,其中后者可以加工为“甲做了 20 天” 。比较“甲队单独完成需 40 天”和“甲做了 20 天” ,可知另外一部分工作,如果还是甲做,甲用 20 天,现在是乙做的,他用了 10+20=30 天(这里有组合技术) 。同样的工作,甲用 20 天,乙用 30 天,那么容易推理出来甲做 40 天的工作,乙就需要 60 天。当然,这个过程也可以用分数来表示出来。画个图4010甲20乙10这里有哪些相等?例 34. 幼儿园的王阿姨今年的年龄是小华今年年龄的 8 倍,是小华 3 年后年龄的 4 倍,则小华今年_岁。例 35.
19、甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速度是每小时 80 千米,汽车曾在途中停驶 10 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?例 36. 甲、乙二人分别同时从东西两地相向出发,经过 20 分钟甲、乙二人相遇。如果让甲每分钟多行10 米,乙早出发 5 分钟,或者让乙每分钟少行 10 米,甲晚出发 5 分钟,甲、乙二人仍然相遇于原来的相遇地点。东、西两地相距多少米?20甲 乙10例 37. A、B、C 三名学生参加一次考试,试题共十道,每道都
20、是判断题,每题 10 分,答对得 10 分,不答或答错得零分,满分 100 分。正确的打“” ,错误的打“” 。他们的答卷如下:成绩公布后,三人都得 70 分,那么这 10 道题的正确答案是 。例 38. 某次数学竞赛共有五道题(满分不是 100 分), 赵军只做对了(1)(2)(3)(4)题, 得 26 分; 钱广只做对了(1)(2)(3)(5)题, 得 25 分; 孙悦只做对了 (1)(2)(4)(5)题, 得 26 分; 李彤只做对了(1)(3)(4)(5) 题, 得 27分; 周泉只做对了(2)(3)(4)(5)题, 得 28 分; 吴伟五题都对了, 得_分.例 39. 有红、白球若干
21、个。若每次拿出一个红球和一个白球,拿到没有红球时,还剩下 50 个白球;若每次拿走一个红球和 3 个白球,则拿到没有白球时,红球还剩下 50 个。那么这堆红球、白球共有_个。2.2.2 组合例 40. 甲摘了 3 筐零 24kg,占总数的 ,乙摘了 6 筐,占总数的 ,总数是多少 kg?8385例 41. 箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的 3 倍多 2 只,每次从箱子里取出 7 只白球,15只红球。如果经过若干次以后,箱子里剩下 3 只白球,53 只红球,那么,箱子里原有红球比白球多_ 只。例 42. 购买 3 斤苹果,2 斤桔子需 690 元;购 8 斤苹果,9 斤桔子需 2280
22、 元,那么苹果、桔子各买 1 斤需_元.例 43. 一个长方形水槽,侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔。现用一个进水管给空水槽灌水,若出水孔全部关闭,灌满水槽需要 1 个小时;若打开一个出水孔,灌满水槽则需要用 64 分钟;若打开两个出水孔,灌满水槽需要用 70 分钟。要想能够把水槽灌满最多可以打开多少个出水孔?此时经过多少分钟才能将水箱灌满? 比较:牛吃草问题把进水管进水的速度记为每分钟 1 份,那么水箱满载为 60 份比较“若打开一个出水孔,灌满水槽则需要用 64 分钟;若打开两个出水孔,灌满水槽需要用 70 分钟”比较起来有点麻烦:时间不同,出水孔数量也不同(看进水速度也不一样)
23、前者共进 64 份水,多余 4 份水 1 个出水孔几分钟排完?(注意:肯定不是 4 分钟,但能不能想清楚:8份水 2 个出水孔用的时间和它一样)后者共进 70 份水,多余 10 份水 2 个出水孔几分钟排完?后者比前者多排 6 分钟,都按 2 出水孔算,多出 10-42=2 份水,折合 2 出水孔 6 分钟排 2 份,1 出水孔6 分钟排 1 份,所以 1 进水管和 6 排水管相当(最多开 5 出水孔)1 出水孔每分钟排 份,排 4 份共需 4 =24 分钟,所以进水 64-24=40 份后开始排水16打开 5 出水孔,灌满用时 40+20(1- 5)=160 分钟606一个出水4看作10 份
24、那么:两个5 份606一个出水4看作6 份那么 5份,1 份最后:此处 5 个 4 分钟=20 分钟,出水管位置还可:二者长度关系“面积 6 倍,宽1.5 倍” ,长为 4 倍即 1 进水=6 出水,所以可开 5 出水再画图60一个出水可看出 5个 20看作 6份20显然 60+100=160 分钟第三章解题思路3.1 波利亚的怎样解题表理解问题未知、数据、条件分别是什么? 条件有可能被满足吗?条件相对于“未知”是否充分?有多余条件吗?条件之间有矛盾吗? 画一个图形,引入适当的记号。分解条件的各个部分,你能写出来吗? 制定计划你以前见过这个问题,或者类 似问题吗? 你知道与此问题相关的问题,或
25、可能用得上的定理 吗? “如果你不能解决眼前的问题,先尝试解决一些相关的问题。你能否想出更可接受的相关 问题?更一般的问题?更特殊的问题?相似的问题?你能解决一个局部问题吗?如果仅仅保留条件的一部分,去掉其他部分,这时的未知发生怎样的变化?你能从数据中推出有用的事实吗?你觉得还有其他数据能够用于求解吗?你能改变未知或数据,使得新的未知和新的数据联系的更 紧密吗?” 把注意力集中在未知,想出一个有相同或相似未知,并且比较熟悉的问题。 如果想出了相关的,而且已经 解决了的问题,你能使用它的结果,或者方法吗? 你能用不同方式重新叙述这个问题吗?回到定义看看。 是不是所有数据和条件都用上了?是不是所有
26、与问题有关的信息都记录清楚了? 实施计划“检查每一步,你能清晰地看到每一步的正确性 吗?你能证明每一步的正确性吗?” 回头看(Looking Back)你能检验得到的结果,和论证过 程吗? 你能用其他方法得到解答吗?你能一眼看出这个解答吗? 你能把这个问题的结果或方法用于其他问题吗? 3.2 关于理解数学课程标准中对理解的解释:“能描述对象的特征和由来;能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。 ”“在心理上能组织适当有效的认知结构,并使之成为个人内部的结构的一部分”“将理解看作为一个整体的、动态的、分水平的但不是线形的发展。这个理论将理解表示为人们知识结构的不断、连续的组织:一个动态的过
27、程,而不是各种认识的获得” (Pirie & Kieren,1994,语言与数学学习) 。解题第一位的无疑是理解问题,但它却往往被学习者所忽视。比较普遍的情况是,匆匆读题以后就急于下手,实际上这时对问题的意义、涉及的概念、相关的知识都不甚了解。解题的结局可想而知。一位数学家说过,善于解题的人用一半时间来理解问题,只用另一半时间完成解答,可见理解题意在解题中地位之重要。一般说,理解问题有两个层面:一个是对问题的表层理解,指解题者逐字逐句读懂描述问题的句子,读懂的标志是他能用自己的语言重述问题,实际上是把问题中的每一陈述能变成解题者内部的心理表征;另一个是对问题的深层理解,指在问题表层理解的基础上
28、,进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征。问题的深层理解,需要根据对各种类型问题一般特征的概括和当前问题的基本特征,利用解题认知结构中适当的解题知识块,才能识别问题的类型。按信息论的观点,理解题意就是从问题的情境中“如何获取信息”和“如何加工信息” 。 “理解题意”的第一步是从题意中获取信息,获取信息的主要方法是检索信息的搜索信息。检索就是分检、辨析,就是对众多的信息加以区分和辨认。搜索则是抽取、捕捉,就是抽取和捕捉闪烁于题设字里行间的不很明确的信息。在检索和搜索信息的过程中,每一个名词符号都是信息,每一句语义都是信息,所涉及的各种对象之间的关系也是信息,要真正弄清它们的意义,就
29、要辨认哪些信息是自己熟悉的,哪些信息是自己所知道但不很明了的,哪些信息是自己不明白的。尤其注意不要被信息的表面形式所迷惑,对熟悉的信息要展开广泛的联想,不要遗漏信息的每一种含义,对不很明了或不明白的信息,属于概念性知识性的,要重温课本、钻研教材、分析原因;属于问题本身新出现的名词概念,要反复阅读问题,深入钻研问题内容,发掘新名词概念的含义。加工信息,就是以发散性加工或收敛性加工的方式解释、组织和转化信息。数学问题一般都以十分严谨而精炼的数学语言表述,因此解释信息,就成为理解题意的一项非常重要的工作。首先要用自己的语言重述问题,即用自己熟悉的方式对问题重新编码,使得许多问题成分变为自己熟悉的信息
30、。 “组织信息”就是将获取的信息重新加以组合,常常是按照原来的信息组织并不能看出其中对解题有价值的联系,而重新组合以后,一些有价值的联系就变得一目了然。 “转化信息” ,就是对信息进行变形、改造,因为题设中有的信息并不能直接用来解决问题,必须转化成新的信息才能成为达到问题目标的有价值的信息。3.2.1 通过简单化(特殊化)理解重要概念的含义例 44. 若干箱货物总重 19.5 吨,每箱重量不超过 353 千克,今有载重量为 1.5 吨的汽车,至少需要_辆,才能保证把这些箱货物一次全部运走。3.2.2 恰当的表征有助于理解复杂过程例 45. 甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观,但只有一
31、辆汽车,一次只能乘坐一个班的学生为了尽快到达飞机场,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场,汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生如果甲、乙两班学生步行速度相同,汽车速度是他们步行速度的 7 倍,那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生,才能使两班同时到达飞机场?3.2.3 恰当的引入辅助概念例 46. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的 倍。上午去甲工地的人数是去乙工地的 3 倍;下午这批工人中的 去甲工地,其他工人到乙工地。到傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天。那么,这批工人
32、有_人。类似情况还有牛吃草问题3.3 关于回顾由于数学解题学习是有意义学习,因此良好的解题认知结构是至关重要的。虽然良好的解题认知结构在长期的解题实践中逐步形成和发展,但是大多是在不知不觉中,在潜移默化中被动地进行。元认知理论告诉我们,作为数学解题的有意义学习,必须要使形成良好解题认知结构的过程成为学习者主动自觉的过程。解题认知结构的建立和改造有三大环节:知识网络建构、解题实践活动和策略经验积累,其中策略经验的积累在解题学习中最为重要,教师应该不但要指导学生积累解题经验,更要教会学生如何积累解题经验。因为大部分的解题活动都是学生自己独立进行,学生如果不能学会自己主动而有效地积累解题经验,就不可
33、能真正实现数学解题的有意义发现学习。解题策略经验的积累主要在解题活动的最后一个阶段“解题回顾”的过程中获得。对于“学习解题”而言,学生完成了解题过程,并不意味一次“解题学习”活动的结束,对解题的真正学习是“解题回顾” 。这如同知识获得的保持阶段一样,它是解题学习的“保持阶段” 。在这一阶段,新旧两方面,包括相关知识、问题意义、解题方法、思考策略等意义的同化还在继续,新旧两方面非人为和实质性的联系还在继续强化,这一过程使知识更加巩固,方法更加熟练,思想和策略更加分化和综合贯通,从而达到获得新的解题策略、思想、方法的心理意义,整个解题认知结构得到进一步重构和完善。解题回顾的过程中,不仅要回顾有关知
34、识、解题方法以及理解题意的过程,而且更要回顾:一开始是怎样探索的,走过哪些弯路,产生过哪些错误,为什么会出现这些弯路和错误等。久而久之就可以总结出带有规律性的经验。这些带有规律性的经验,有的是解题的策略。有的是解题的元认知知识,它们都是今后解题的行动指南。在题海战术教学中,学生是马不停蹄地做题,教师教学中几乎没有真正意义上的解题回顾,学生就更不知道需要和如何解题回顾,何况面对排山倒海而来的题目,连完成做题的时间都不够,哪有时间来解题回顾。所以在教学中,不妨借鉴“时间等待”理论的思想,提倡一定要留出充分的时间让学生把“解题回顾”完成。古人云:工欲善其事,必先利其器。解题回顾就是磨砺解题武器的过程
35、,它所起到的举一反三的作用,胜过做十道题。3.3.1 生疏问题与熟悉问题例 47. 问题 1:甲步行上楼梯的速度是乙的 2 倍,一层到到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行,二人从滚梯步行上楼,结果甲步行了 10 级到了楼上,乙步行了 6 级就到楼上。这个滚梯共有多少级?甲的速度是乙的速度的 2 倍,但步行的级数却比乙多,可以这样理解:人在运行的滚梯上上楼,是人的步行和滚梯的上行的综合效果。从一层到二层的总级数中,甲步行了其中的 10 级,其余的级数由滚梯完成。由于滚梯的速度是固定的,总级数也是固定的,那么速度越快的人完成的级数越多,相对应滚梯完成的级数就越少。从时间上看,人步行的时间就是滚梯
36、的运行时间,甲乙二人步行时间的比是 2160=5(时间与距离成正比,与速度成反比)所以滚梯运行的时间就是 5:6,相对应滚梯运行的距离也是 5:6。注意到从一层到二层的总级数也是固定的,可以画出下列示意图:A B CD E F甲乙从一层到二层的总级数G10 级6级图中的 BC、EF 代表滚梯行的级数。比较图中的 AB 与 DE,可以看出 GE=4 级(10-6=4) ;再注意其中 BC 和 EF 的比为 6:5,通过比较容易看出 GE 对应着 1 份(BC 对应 6 份,EF 对应 5 份) ,1份就对应 4 级,所以EF=45=20(级)从一层到二层的总级数就是10+20=30(级)上面的解
37、法可以概括为下面的算式: 1206= 510+(10-6)(1- 6)=30当然也可以列出:= ,21606+(10-6)(1- )=3065上面的滚梯问题中的关键是将人从上行滚梯步行上楼的过程分解为人的步行和滚梯的运行,根据这一点,将上面的滚梯问题改编为下面的相遇问题:甲步行的速度是乙的 2 倍,甲乙二人从 A 地同时出发向 B 走,同时丙从 B 地出发向 A 走,结果甲步行了10 千米与丙相遇,乙步行了 6 千米与丙相遇。AB 之间的距离是多少千米?这个相遇问题与上面的滚梯问题有着明显的对应关系。问题 2:甲步行下楼梯的速度是乙的 2 倍,一层到到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行,二人
38、从从这个滚梯步行下楼,结果甲步行了 15 级到了楼下,乙步行了 20 级就到楼下。这个滚梯共有多少级?对时间的考虑,同问题 1 类似,甲乙二人所用时间比为:=210583人从上行滚梯下楼,人步行的级数有一部分要被滚梯上行的级数抵消,所以,从一层到二层的总级数,就是步行级数减去滚梯上行级数。仿照问题 1 的图形,可以画出下面的示意图:A B CD E F甲乙滚梯从一层到二层的总级数G15 级20 级滚梯上行抵消的级数注意图中 EF、BC 的比就是甲乙的时间比 ,将 EF 看作 3 份、BC 看作 8 份,那么 GC 就是 8-3=5 份,83对应的量是 20-15=5 级,这样 1 份就是 1
39、级,BC 就是 8 级,AB(滚梯从一层到二层的总级数)就是 20-8=12 级。列成算式:20-(20-15) (1 - )=12 (级)83问题 2 也可以变形为相遇问题,例如:一条公路上有 A、B、C、D 等 4 个点,AD 距离 20 千米,AC 距离 15 千米。乙、丙从 D 同时出发,乙到A 时丙到 B 点;甲、丙从 C 同时出发,甲到 A 时丙也正好到 B 点。已知甲的速度是乙的 2 倍,丙的速度是固定的。那么,B 离 A 的距离是多少千米?3.3.2 问题链例 48. 问题 1:如下图,平行四边形 ABCD 及各边中点 E、F、G、H ,那么,中心的平行四边形面积是平行四边形A
40、BCD 面积的几分之几?AB CDEFGAB CDEFGH这个问题初看起来无从下手,先看几个简单情况:如果把长方形看成特殊的平行四边形,进而把正方形看成特殊的长方形,那么首先需要了解的就是正方形中相应的问题是什么样?怎样解决?问题 2:如下图,正方形 ABCD 及各边中点 E、F、G、H ,那么,中心的正方形面积是正方形 ABCD 面积的几分之几?AB CDEFGH这个问题和下面的问题有关:如图,正方形ABCD,E 为 CD 边中点,G 为 AD 边 中点,线段AE、BG 交于 F 点。那么AGF 的面 积是正方形ABCD 的面积的几分之几?计算AGF 的面积是正方形 ABCD 的面积的 。2
41、01根据这一条,容易计算问题 2 的 答案为。54)(这种方法有一个缺点:要先计算 出AGF 的面积。实际上,可以利用拼图的想法,如下图所示:AB CDEFGH AB CDEFGH5 个面积相等的小正方形面积和与原来的大正方形面积相等,当然中心小正方形面积就是原大正方形面积的 了。1把这种特殊长方形的处理方法施加到一般长方形上,如下图:AB CDEFGH出现的是平行四边形,容易想到(也可以说明)中心小平行四边形面积是原长方形面积的 。51继续把这种特殊平行四边形(长方形)的处理方法施加到一般平行四边形上,如下图:AB CDEFGH说明出现的 5 个小平行四边形面积相等、面积和与原平行四边形面积
42、相等比正方形、长方形的情况稍微复杂一些(熟悉中位线的性质平行四边形的特点) 。所以问题 2 的答案为 。1现在观察问题 1、2 的关系:它们是一般与特殊的关系,而处理方法则有共同之处,特殊情况下的方法比一般情况下的方法更容易观察到或想到。作为思考,请读者考虑下面的问题1、如图,将平行四边形各边三等分后,连出的中心平行四边形面积占大平行四边形面积的几分之几?AB CD2、 如图,任意四边形 ABCD 对角线的中点分别为 M、N,ABCD 的面积为 2000 平方厘米,三角形MNP 的面积是多少平方厘米?AB CDM NP3.3.3 以积极的态度对待错误失败乃成功之母成功之前都是失败例 49. 在
43、无重复数字的三位数中,有多少个数的百位比十位小,同时十位比各位小?典型错误:无重复数字的三位数共有 个,由 1、2、3 这样的数字可以组成 6 个三位数,其中只有 1 个6489符合要求,因此所求为 个。10结果与过程例 50. 由 1、2、3、4、5 组成的所有的无重复数字的 5 位数的平均是多少?典型解法: 3120)( 第四章波利亚解题思维过程(数学的发现第二卷第 11 章)分离预见重新配置充实辨认回忆组织动员组合预见:解题活动的核心辨认:利用定义重新配置:改变问题的形式回忆:已知定理、问题充实:引进辅助因素思维进展顺利的标志成功的分离:清晰的细节有希望的预见:想法就在眼前成功的重新配置
44、:推敲停当了成功的充实:细节完备充分的辨认:细节均已熟悉充分的回忆:连贯有理组织动员成功的组合:和谐的整体例 51. 某工厂有三个分厂,全厂男女工人数的比是 9:5,三个分厂人数比是 8:9:11,第一分厂男女工人数比为 3:1,第二分厂男女工人数比为 5:4,第三分厂男工比女工多 150,那么全厂共有职工_人预见:分数与人数有对应关系辨认:比和连比;不同比中的 1 份的含义不同回忆:比引出分数或份数,分配,比与份数的关系分离:“全厂男女工人数的比是 9:5”总份数 14、 “三个分厂人数比是 8:9:11” 总份数 28重新配置:“全厂男女工人数的比是 92:52=18:10” (2814=
45、2)组合、充实:分厂男女比中的份数与“三个分厂人数比是 8:9:11”表格形式一分厂 二分厂 三分厂 总计男 92=18女 52=10小计 8 9 11 28进一步充实细节一分厂 二分厂 三分厂 总计男 5 92=18女 4 52=10小计 8 9 11 28一分厂怎么办?一分厂 二分厂 三分厂 总计男 32=6 5 92=18女 12=2 4 52=10小计 8 9 11 28完成细节一分厂 二分厂 三分厂 总计男 6 5 7 18女 2 4 4 10小计 8 9 11 28三分厂 7 份比 4 份多 3 份,对应 150,全厂共有 150328=1400 人例 52. 男、女两名田径运动员
46、在长 110 米的斜坡上练习跑步(坡顶为 A,坡底为 B两人同时从 A 点出发,在 A,B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上坡速度是每秒 3 米,下坡速度是每秒 5 米,女运动员上坡速度是每秒 2 米,下坡速度是每秒 3 米那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米?一个网上的解答开始下山时,男运动员的速度大于女运动员的速度,有男运动员到达坡底 B 所需时间为 1105=22 秒,此时女运动员才跑了 223=66 米现在女运动员的速度不变,还是每秒 3 米,而男运动员将从 B 上坡到 A,速度变为每秒 3 米男、女运动员的距离为 110-66=44 米,所以当男运动员再跑 44(3+3)3=
47、22 米后男女运动员第一次迎面相遇,相遇点距 B 地 22 米,如下图所示(本题 4 图所标注数字均是距坡底 B 的距离数)所以当女运动员到达坡底 B 时,男运动员又跑了 22 米,即到达距 B 地 44 米的地方,如下图所示此后,女运动员从坡底 B 上坡到 A,速度变为每秒 2 米,男运动员的速度还是每秒 3 米,所以当男运动员再跑 110-44=66 米到达坡顶 A 时,女运动员才跑了 6632=44 米,即距离坡底 B 地 44 米的地方,如下图所示这时,女运动员的速度不变还是每秒 2 米,而男运动员的速度变为每秒 5 米,男、女运动员相距110-44=66 米,所以当男、女运动员第二次
48、相遇时,男运动员又跑了 米,如下图所16(2)47示即第二次相遇的地点距以点 米147回顾:这个方法的优缺点是什么?(过程冗长,可能缺少某些本质性的把握)能回忆起什么?(往返相遇问题,如 例 21)AB时间22 秒秒310秒310相邻两次迎面相遇之间:二人合走两个全程(2 个 110 米),第二次迎面相遇时二人共合走 4 个110 米22 秒秒310秒31055 秒3:2:2ABA 71430572523这个想法能用到更一般的情况吗?比如 10 次,100 次,乃至 n 次?变化的问题:两人运动 30 分钟,共迎面相遇几次?第五章其他解题思维过程莱斯特(F.Lester )针对波利亚关于解题过
49、程的四阶段模式提出了批评:“波利亚模式的不足之处所造成的一个严重后果即是以此为基础的研究在很大程度上忽视了元认知。事实上,这些研究惟一地集中于启发法然而,任何曾经从事数学教育或数学研究的人都知道,各种算法和启发法的应用依赖于复杂的思维活动,而其中大部分都可以借助于元认知得到解释。事实是,很多致力于改善学生的解题行为的努力之所以未能获得成功就是因为有关的教学过分地强调了启发法能力的发展,而忽视了对于调整个人行为来说是十分必要的调节能力” 2评价与调整(调控、调节)对解题活动的重要影响:减少盲目性、增强自觉性;解题活动是一个动态过程。对波利亚四阶段模式的改进:理解问题制定计划实施计划回头看(Looking Back)探索5.1 梅森的特殊化与一般化梅森(J.Mason) (数学地思维 (Thinking Mathematically,与 L.Burton K.Stacey 合著,Addison We