1、1PNMFE DCBA八年级提招数学培训讲义（一）丹阳市云阳学校 钟春明1对于一个正整数 ，若能找到正整数 使得 ，则称 为一个“好数” ，例如： n,abnban，则 3 就是一个“好数” ，那么从 1 到 20 这 20 个正整数中“好数”有( )31A 8 个 B 10 个 C 12 个 D 13 个2凸四边形 ABCD 的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形 ABCD一定是（ ）A 正方形 B 菱形 C 等腰梯形 D 矩形3如图，正六边形 中， 是 上一点，直线 与射线EFPC,PB相交于 ，当 面积与正六边形 面积相等时，,.MNAABEFEPD4已知三个非
2、负实数 满足： 和 ，若 ，则 m 的最小cba, 523cba13cbacbam73值为 5满足方程 的 的取值范围是 52x6如图（1）至图（3） ，C 为定线段 AB 外一动点，以 AC、BC 为边分别向外侧作正方形 CADF 和正方形CBEG，分别作 、 ，垂足分别为 、 当 C 的位置在直线 AB 的同侧变化过程中，1DAB1E1DE（1）如图（1） ，当ACB90，AC=4，BC=3 时，求 的值；1（2）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化， 的值为定值；（3）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点E1D1FA BGCED
3、图（1）E1D1FA BGCED图（2）E1D1FA BGCED图（3）27. 已知 ， ，则 的值为 【 】2ba4)1()(22ababA1. B . C . D .1218. 已知 的两条高线的长分别为 5 和 20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值C为【 】A5. B6. C7. D8.9. 今有长度分别为 1，2，9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组” ，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【 】A5 组. B7 组. C9 组. D11 组.10. 如图，菱形 ABCD 中， ， ， ， ， ，则3AB1F60AB15EFG
4、BC【 】EA . B . C . D .216323 HGCBADFE11. 已知 ， ， ，则 的值为【 】21zyx31xzy41yxzzyx432A1. B . C2. D .3512. 在ABC 中，已知 ， ，则 A32,BA13. 能使 是完全平方数的正整数 n 的值为 256n14. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ， ， ，对角线 交60D90C120BDBDAC,于点 ，且 ， 为 的中点求证：（1） ；（2） SSBDPAC3P3NM SDCPA B15. 的末位数字是（ ） 2013、 ； 、 ； 、 ； 、 ABC5D716. 正六边形被三组平行线划分成小的正三角
5、形，则图中全体正三角形的个数是（ ） 、 ； 、 ； 、 ； 、 243638617. 如图，正方形 的边长为 ， 是 边外的一点，满足：ABC1EC ， ，则 CEBDE18. 绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自 之中1,2345,6789（每一个数都可以多次出现在圆周上） ，若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数，用 表示7S圆周上所有十二个数的和，那么数 所有可能的取值情况有 种S19. 设 为正整数，证明：k(1)、如果 是两个连续正整数的乘积，那么 也是两个连续正整数的乘积；256k(2)、如果 是两个连续正整数的乘积，那么 也是两个连续正整数的乘积256F EDCBA
6、420. 如图，正方形 ABCD 的边长是 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动当 DM= 时，ABE 与以 D、M、N 为项点的三角形相似21计算 的结果是（ ）(12501)(246201) A 1004 B 1006 C 1008 D101022如图 1 是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C 为图上三点，则在正方体盒子中，ABC 的度数为（ ）A 120 B90 C 60 D4523九年级的数学老师平均每月上 6 节辅导课，如果由女教师完成，则每人每月应上 15 节；如果只由男教师完成，则每人应上辅导课（ ）节A9 B 10 C 12 D1424如果
7、有四个不同的正整数 m、n、p、q 满足（7m） （7n） （7p） （7q）=4，那么 m+n+p+q 等于（ ）A21 B 24 C 26 D2825如图 2，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，AD 平分BAC，AD 的延长线交 BF 于 E，且 E 为垂足，则结论AD=BF，CF=CD，AC+CD=AB，BE=CF，BF=2BE，其中正确的结论的个数是（ ）F( 图2 图E DCBA5A4 B3 C2 D126如果实数 （ ）8mnn， 且 ， 则A 7 B 8 C 9 D1027若 是第三象限内的点，且 为整数，则 = .(2014aQa， ） a28若实数 ，则 S 的取值范围
8、是 . 22 31 -xyySxy， 满 足 ，29在ABC 中，三个内角的度数均为整数，且ABC，5C=9A，则B 的度数是 .30已知 .23021 670 xyxy， ， 则31如图 3 所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四块面积相等，甲的长是宽的 2 倍，设乙的长和宽分别是 . :ab和 ， 则32已知平面直角坐标系内 A、B 两点的坐标分别是轴上的一个动点，则(2 34 1P, 0Ax， ） ， （ ， ） ， （ ） 是当 时，PAB 的周长最短 x33某公司用 1400 元向厂家订了 22 张办公椅，办公椅有甲、乙、丙三种，它们的单价分别是 80 元，50 元，30 元，问有哪些不同
9、的订购方案634如图 4，在ABC 中，AD 交边 BC 于点 D，BAD=15，ADC=4BAD，DC=2BD求B 的度数；求证：CAD=B.35已知 求 的值4 5 6.abcb， ， 173abc( 图4 图 DC BA7答案：1C2D34 575 2x6 （1）从 ,得 ，所以 ；1DACB145D165从 ,得 ，所以 ；所以 ；（6 分）EB13E19E125DE（2）提示：定线段 AB 长为定值；猜想 ；过点 C 作 ，垂足为 ；ABHAB再通过两对全等三角形来证明 ；（12 分）1（3）提示：利用“梯形的中位线长等于两底和的一半” ，设 M 为 DE 的中点， 为 的中点，则：
10、Q1DE且 ，特殊地，当四边形 为矩形时，以上结论仍然成立又1()22MQDEABMQ1DE因为可证明 ，所以 的中点就是 AB 的中点1所以，不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点，此定点 M 恒在“点 C 的同侧，与 AB 的中点 距离为 长的点上” （20 分）Q12AB7. 【答】B.由 可得 ，4)1()(22ababba4)1()(22即 ，0)()( 32即 ，即 ，所以 22)4bba240ab1abQMH E1D1FA BGCED88. 【答】B.设 的面积为 S，所求的第三条高线的长为 h，则三边长分别为 显然 ，于ABC hS2,05
11、205S是由三边关系，得解得 ,250hS3204h所以 的最大整数值为 6,即第三条高线的长的最大值为 6.9. 【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要 7 条当用 7 条线段去拼接成正方形时，有 3 条边每边都用 2条线段连接，而另一条边只用 1 条线段，其长度恰好等于其它 3 条边中每两条线段的长度之和当用 8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又因为 ，所以正方形的边长不大于 由于45921 451； ； ； 367 362718 54637289； 6789 549所以，组成边长为 7、8、10、11 的正方形，各有一种方法；组成边长为 9 的正方形，有
12、 5 种方法。故满足条件的“线段组”的组数为 145910. 【答】 D.过 F 作 AB 的垂线，垂足为 H ， ，60DAB2FDA ， ， ，30A13F又 ，5EG ，EGAHF45109从而 FHE 是等腰直角三角形，所以 HE FH ，3 31AE11. 【答】C.9由已知等式得 ， ， ，所以 2zyx3zyx4zyx29zyx于是， ， ， 所以 ， ， ，即5213535xy。xyz3代入 ，得 ，解得 21z2153x03x所以 443xzyx12. 【答】 。15延长 AB 到 D，使 BDBC，连线段 CD，则 ，所以 CACD。12DBCA作 于点 E，则 E 为 A
13、D 的中点，故ABC，11()(23)2B.3在 RtBCE 中， ，所以 ，故 cos2ECB30EBC152ABCDE BAC13. 【答】 11.当 时， ，若它是完全平方数，则 n 必为偶数8n)21(5628nnn若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；4172564n 6526n若 ，则 。所以，当 时， 都不是完全平方数8n 8当 时， ，若它是完全平方数，则 为一奇数的平方。8)12(562n 8n设 （ k 为自然数） ，则 由于 和 一奇一偶，所以 ，于是)1(n )1(10knk11k，故 101014. 证明 （1）由已知得 ，从而 四点共圆， 为直径， 为该圆的圆心 90
14、ADCDCBA,ACP5 分作 于点 ，知 为 的中点，所以 ，从而BDPMBPM1260 10 分30（2）作 于点 ，则 SN12SN又 ，BDBD, ， 15 分M32 Rt Rt ， ，PSN30NPS又 ，所以 ，故 ，所BA152ASDCAA45以 25 分DC15. 答案：解： 的末位数字按 的顺序循环，而 的末位数字按 的顺序循环，2n2,4863n3,971因为 是 形状的数，所以 的末位数字是 ，而 的末位数字是 ，013k201820所以 的末位数字是 2516. 答案： C解：分类计算：设正六边形的边长为 ，那么，边长为 的正三角形有 个，边长为 的正三角形有21242
15、个，边长为 的正三角形有 个，13共计 个817. 答案： 62解: ，设 ，则 ， ，BEDCFx21Bx1DFx，由 ，得 ，21FxECEB即有 ，所以 ， ，则 ，221x21x23x再由 ，即 ，所以 ECFBD312x6EC18.答案： 种911解：对于圆周上相邻的三个数 ， 可以是 ，或 ，或 ，例如，当三12,kka12kka7142数和为 时， 可以取 或 或 ；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺712,kka4,5,3次为 ，由于 和 都是 的倍数，那么必有 ，123,k 12k12kk 37ka于是 与 或者相等，或者相差 ；7又在圆周上， 与 可互换， 与 可互换；现将圆
16、周分成四段，每段三个数的和皆可以是 ，或 ，89 14或 ，因此四段的总和可以取到 中的任一个值，总共九种情况 212,354,6,370,84（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数： ，其和为 ，然后每12,1,248次将一个 改成 ，或者将一个 改成 ，每一次操作都使得总和增加 ，而这样的操作可以进行八次）89719. 证明：(1)、如果 是两个连续正整数的乘积，设 ，其中 为正整数，5则k(1)knn为两个连续正整数的乘积； 2256(1)656(52)3knnn10(2)、如果 是两个连续正整数的乘积，设 ，其中 为正整数，则2k 6(1)km 15210541()km于是，
17、是 的倍数，且 是奇数；设 ，由得，5125n 202241(1)5kn因此，即 ，它是两个连续正整数的乘积252()()n(1)kn20. 由勾股定理可得 AE= 5当ABE 与以 D、M、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是对应边，也可以与 AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当 DM 与 BE 是对应边时， ，即 MNABE15,DM（2）当 DM 与 AB 是对应边时， ，即 .2,2故 DM 的长是 52或21B 22B 23B 24D 25A 26A27 2010 28 29 54 06S30 2 31 9:2 32 3.51233、解：设 80 元 x 张，50
18、 元 y 张，则 30 元（22xy）张.由题意得 8053(2)=140 ， ，解得 =372yx72104.853xx因为 都为整数，所以5xy、 和 2 x的 值 可 取 、 、方案列表如下：（有三种方案可选择）方案/（张） 80 元 50 元 30 元1 10 12 02 12 7 33 14 2 634、解：BAD=15，ADC=4BAD，ADC=60，B=6015=45， 过 C 作 CEAD 于 E，连接 EB.ECD=9060=30DC=2ED，DC=2BD，ED=BDDBE=DEB=ECD=30，EBA=4530=15=BADAE=EC=EBCAD=B=4535、解： 144abba由同理得： ， 15c6c将式相加得： 37120b得 7120c得 3b得 7a 17120120ac( 图4 图EDC BA
