1、变系数组合 KdV 方程参数控制的精确解 曹生让 江苏联合职业技术学院南京分院 摘 要： 本文通过拟设法引入一个函数将变系数组合 Kd V方程约化为常微分方程, 在齐 次平衡法和推广的 F展开法的基础上, 求出该方程多组含有参数的新精确解, 同时研究了精确解随不同形式控制参数的变化情况。 关键词： 变系数组合KdV方程; 齐次平衡法; F展开法; 精确解; 作者简介：曹生让 (1982-) , 男, 讲师, 硕士, 从事微分方程精确解与多目标 优化算法研究。 Exact Solutions of Combined KdV Equation With Variable Coefficients
2、Controlled by Parameters CAO Sheng-rang Nanjing Branch of Jiangsu Union Technical Institute; Abstract： The variable coefficient combined KdV equation is reduced into ordinary differential equation through the postulation introducing a function. Based on the homogeneous balance method and the extensi
3、on of the F expansion method, new exact solutions are obtained, which include control parameters. At the same time, the variation of the exact solutions with different control parameters is studied. Keyword： Variable coefficient combined KdV equation; homogeneous balance method; F expansion method;
4、exact solution; 1 研究背景 寻求非线性发展方程的精确解尤其是孤立子解是非线性科学的重要组成部分, 在流体物理、固体物理、激光物理、超导、场论等众多的自然科学领域有着广泛 的应用.目前人们已经发现了许多有效的求解方法, 如反散射方法、Backlund变 换法、Riccati方程展开法等1-6.这些方法通常被用于常系数非线性方程的求 解.然而, 与常系数非线性方程相比, 变系数方程能够更加准确地体现一些物理 问题.例如变系数组合 Kd V方程 常被应用于许多物理领域, 如声波、粒子和热传导等1.本文主要通过推广的 Jacobi椭圆函数法得到方程 (1) 的新的精确解, 同时研究了
5、解随参数的变化 情况. 2 推广的F 展开法 对非线性发展方程 (NEEs) : 做行波变换, 有 其中, =f (t) x-h (t) , f (t) 和h (t) 为待定函数.将 (3) 代入 (2) , 则 (2) 化为常微分方程 ODE.设ODE具有如下形式的解: 其中, F=F () , 满足等式F=PF+P3F+QF+P1F+R.其中 P1, P3, P, Q, R 为待定系数.n由齐次平衡法确定, P1, P3, P, Q, R 选取不同值时, 精确解解的 形式将会随之变化, 具体形式参见文献7. 3 变系数组合Kd V方程参数控制的精确解 首先, 假设方程 (1) 有如下形式的
6、解 变系数组合Kd V方程可以映射为 积分以后得 其中, P, R和Q是常数.将 (5) 代入 (1) , 令g和gg (i=0, 1, 2) 的系数为 0, 可得下列代数方程组. 借助Mathematica 软件, 通过求解上述方程组可得: 情形一:P3=0, 00, 方程具有下列形式的解 其中, 为任意实数 若Q=0, 其中, 为任意实数. 当参数 (x) 选取不同形式时, 由式 (25) (26) (27) 可以得到方程 (1) 许 多新的精确解. 4 结论 本文在拟设法和齐次平衡法基础上, 将F展开法做了推广, 使其形式更加简洁, 适应性更强, 并成功求出了变系数组合 Kd V 方程的
7、一些精确解, 分析了选取不 同形式控制参数 (x) , 可得到不同形式的解, 如W型孤立波、紧孤子解和扭 型孤子解等.如何将该方法进一步完善并推广到高次非线性耦合方程的求解有待 进一步研究. 参考文献 1Y C Hon, E G Fan.Soliton solutions and doubly periodic wave solutions for a new generalized coupled Hirota-Satsuma Kd V systemJ.Applied Mathematics and Computation, 2003, 146 (2) :813-827. 2卢殿臣, 洪宝剑
8、, 田立新.带强迫项变系数组合 Kd V方程的显式精确解J. 物理学报, 2006, 55 (11) :5617-5622. 3王庆.形变映射法及在一类 MKd V 方程中的求解应用研究J.贵州大学学报: 自然科学版, 2012, 29 (4) :8-11. 4娄威伟.用反散射方法求解类非自治非线性 Schrodinger方程D.兰州: 兰州大学, 2011. 5曹生让, 卢殿臣. (2+1) 维BBM方程的一类新的精确解J.科学技术与工程, 2007, 7 (20) :5316-5318. 6雍雪林, 张鸿庆.推广的投影 Riccati方程法及其应用J.物理学报, 2005, 54 (6) :2514-2519. 7张秋爽.扩展 F-函数展开法与一些非线性偏微分方程精确解的研究D.广州: 广州大学, 2010.
