1、第 1 页 共 14 页工程问题汇编工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题” 的解题规律和解题技巧。工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题” ，一般是把工作总量作为单位“”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量工作效率工作时间。一、基本工程问题例 1：甲、乙两队开挖一条水渠。甲队单独挖要 8 天完成，乙队单独挖要12 天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 3 天内完成。乙队挖了多少天？例
2、2：加工一批零件，甲单独做 20 天可以完工，乙单独做 30 天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了 2 .5 天，乙休息了若干天，这样共 14 天完工。乙休息了几天？例 3：一池水，甲、乙两管同时开，5 小时灌满，乙、丙两管同时开，4 小时灌满。现在先开乙管 6 小时，还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满？例 4：某工程，甲、乙合作 1 天可以完成全工程的 。如果这项工程由甲45队单独做 2 天，再由乙队单独做 3 天，能完成全工程的 。甲、乙两队单独213完成这项工程各需要几天？例 5：一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合做 7 天，这样才能完成
3、全工程的一半。已知甲、乙工效的比是 2:3。如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？例题详解：例 1 解：可以理解为甲队先做 3 天后两队合挖的。第 2 页 共 14 页=3（天）12831例 2 解：分析：共 14 天完工，说明甲做（142.5）天，其余是乙做的，用14 天减去乙做的天数就是乙休息的天数。14 =1 （天）30.414例 3 解：分析：把乙先开做 6 小时看作与甲做 2 小时，与丙做 2 小时，还有 2小时，现在可理解为甲乙同开 2 小时，乙丙同开 2 小时，剩下的是乙 2 小时放的。1 =20（小时）415例 4 解：分析：可以理解为两队合作 2 天，余下的是乙 1 天
4、做的，乙的工效， 甲： =12（天）8238145例 5 解：分析：乙的工效是甲工效的 32=1.5 倍，设甲的工效为 x，乙的工效为 1.5x，（2+7） x+1.5x7= ，解之得：x= ，乙工效 11.5x =26（天）219基本练习（附参考答案）：1、修一条公路，甲队独修 15 天完工，乙队独修 12 天完工。两队合修 4 天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。甲队一共修了多少天？2、一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 16 天。乙请假多少天？3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要 12 天完成。现在
5、由甲队修 3 天后，再由乙队修 1 天，共修了这条公路的 。如果这条公路由甲队单独修，要多203少天才能修完？4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。快车行完全程需要 20 小时，慢车行完全程需要 30 小时。开出后 15 小时两车相遇。已知快车中途停留 4 小时，慢车停留了几小时？5、师徒两人共同加工一批零件，2 天加工了总数的 。这批零件如果全部31由师傅单独加工，需 10 天完成。如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？第 3 页 共 14 页6、一项工程，甲、乙两队合作 30 天完成。如果甲队单独做 24 天后，乙队再加入合作，两队合作 12 天后，甲队因事离去，由乙队继续做了 15
6、 天才完成。这项工程如果由甲队单独完成，需要多少天？7、一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的 。甲队独做 3 天，409乙队独做 5 天后，可完成全工程的 。如果全工程由乙队单独做，多少天可以87完成？8、甲、乙两队合作，20 天完成一项工程。如果两队合作 8 天后，乙队再独做 4 天，还剩下这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？159、一项工程，甲、队独做 10 天可以完成，乙队独做 30 天可以完成。现在两队合作期间甲队休息了 2 天，乙队休息了 8 天（两队不在同一天休息） 。从开始到完工共用了多少天？10、一项工程，如甲队独做，可 6 天完成。甲 3 天的工作量，乙要 4 天
7、完成。两队合做了 2 天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成？参考答案1、 =10（天）15242、16 =10（天）3063、1 =120（天）1204、15 =2 （小时）304525、1 =15（天）1236、分析：甲先做 24 天，乙最后做 15 天，可以理解为又合做 15 天加先合做 12 天，共合做 27 天。 =90（天）1524701第 4 页 共 14 页7、可理解为两队合做了 3 天。 =10（天）354098718、乙的工效 =582016乙需的天数：1 =60（天）6甲乙需的天数：1 =30（天）0129、分析：可理解为甲多做 6 天。 +8=11（天）30161
8、0、甲的工效 ，乙的工效 ， =3 （天）61814382二、工程问题的拓展题例 1：某工程先由甲单独做 63 天，再由乙队独做 28 天即可以完成。如果甲、乙两人合作，需 48 天完成，现在甲先独做 42 天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？例 2：一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙队单独做需 40 天完成。甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用 36 天完成任务。甲、乙两队各做了多少天？例 3：搬运一个仓库的货物，甲需 10 小时，乙需 12 小时，丙需 15 小时。有同样的仓库 A 和 B，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，
9、最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？例 4：一项工程，乙队先独做 4 天，继而甲、丙两队合做 6 天，剩下的工程甲队又独做 9 天才全部完成。已知乙队完成的是甲队的 ，丙队完成的是乙31队的 2 倍。如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？例 5：客车由甲站开往乙站需要 8 小时，货车从乙站开往甲站需要 12 小时。两车同时从两站相向开出，相遇时客车离乙站还有 156 千米。两站相距多少千米？第 5 页 共 14 页例题详解：例 1 分析：可以理解为两队合做 28 天，甲的工效：乙的工效： ，还要841263844812=56（天）1例 2 分析：设乙做 x 天，甲做（36x）天
10、， =1，解之xx36014得 x=24，甲做 36x=36 24=12（天）例 3 分析：可以看作甲、乙、丙合作搬运 A、B 两仓，2 =8（小时） ，甲在 A 仓库运 8 小时，余下的是丙搬运的，乙150在 B 仓库搬运 8 小时，余下的是丙搬运的。丙运 A 仓库 =3（小时） ，150丙运 B 仓库 =5（小时）82例 4 分析：把乙做 4 天的工作量看作 1 份，甲做（6+9）天的工作量看作3 份，丙做 6 天的工作量看作 2 份，把这项工程看作 6 份。甲：1 =30（天） ，153乙：1 =24（天） ，46丙：1 =18（天）2例 5 分析：156 除以货车相遇时所对应的分率：第
11、 6 页 共 14 页=390（千米）1281256拓展练习（附参考答案）1、凿一山洞，甲队单独凿 8 天完成，乙队单独凿 12 天完成。现甲队单独凿了若干天后留给乙队单独凿，两队先后共用 10 天完成，甲、乙两队各凿了多少天？2、甲、乙两台抽水机共同工作 10 小时，可以把整池水抽完。如果甲台抽水机工作 4 小时，乙台抽水机工作 6 小时，能抽完整池水的 。甲、乙两台抽水157机单独工作，各需几小时才能将整池水抽完？3、一个水池甲、乙两个水管同时打开，5 小时可以灌满整个池水；如果甲管打开 8 小时后关闭，然后打开乙管，再工作 3 小时也可以灌满全池水。如果甲管先工作 2 小时，然后关闭，乙
12、管再工作几小时可以灌满全池水？4、一项工程，甲、乙合做 6 天能完成 。单独做，甲完成 与乙完成 所需5312的时间相等。甲、乙单独做各需多少天？5、一项工作，甲、乙、丙三人合做 6 小时可以完成，如果甲工作 6 小时，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 。如果、乙合做 3 小时，丙做 6 小时，32也可以完成这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做，需几小时完成？326、一池水，甲、乙两管同时开 5 小时灌满；乙、丙管同时开 4 小时灌满。现在先开乙管 6 小时还需甲、丙两管同时开 2 小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满水池？7、一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两站同时开出，经过 6 小
13、时相遇。相遇后两车各以原速继续前进，客车又行了 4 小时才到达乙地。货车还要行多少小时才能到达甲地？8、甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行。经过 4 小时相遇后，甲车继续行驶了 3 小时到达 B 地，乙车每小时行 24 千米。A 、B 两地相距多少千米？9、要用甲、乙两根水管灌满一个水池，开始只打开甲管，9 分钟后打开乙管，再过 4 分钟已灌入了 水池的水；再经过 10 分钟，灌入的水已占水池的 。1 32这时关掉甲管只开乙管，从开始到灌满水池共用了多少钟？10、一个水池装了甲、乙两根进水管，在同样的时间内，乙管的进水量是甲管的 1.6 倍。为了灌满空着的水池，开始由甲管灌入 水池的
14、水，然后打开乙管，51第 7 页 共 14 页剩下的由乙管单独灌满，总共用 12 分 15 秒。甲管开了几小时？参考答案1、分析：理解为两队合做若干天后，剩下的由某队独做正好在 10 天内完成。（天） ，甲、乙合做 4 天后，余下的 天合做的工作量是：5428 54= ，工作量 不够甲做 2 天，由乙做 =2（天） 。161612甲共做 4 天，乙共做（4+2=6）天。2、分析：可理解为甲、乙合抽 4 小时，用 减去合抽 4 小时后余下的是乙 2157小时抽的：乙工效 = ，6105730甲工效 ，甲要 15 小时，乙要 30 小时。33、甲工效： ，乙工效： =2538515123=7（小时
15、）2314、 = ，说明单独做甲完成 与乙完成 是甲、乙合做 6 天完成65312的，甲单独做：6 =18（天） ，乙单独做：6 =12（天） 。315、分析：可理解为三人合做 2 小时，用 减去合做 2 小时的，余下的是3甲（62）小时做的。甲的工效： = ，61321乙的工效： = ，8第 8 页 共 14 页1（ ）=7 （小时） 。28516、分析：把乙开 6 小时分 2 小时和甲开，又分 2 小时和丙开，还剩 2 小时是乙单独开的。1 =20（小时）4157、解：设货车还要行 x 小时。6:4=x:6 x=9 664=9（小时）8、 4+244=224（千米）3429、速度和： 10
16、= ，甲速：1304519301 +9+4+10=53（分钟）3145010、在相同时间内，甲灌入 的水，乙灌入 1.6= ，乙共灌入 的51512854水相当于几个甲灌入的相同时间？ = ，灌满全池水相当于灌入 1+ 时4282间，12 分 15 秒=12 分 12 （1+ ）=3 分 30 秒411三、较复杂的工程问题例 1：一项工程，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作 60 天完成。甲、乙、丙单独做，各需要多少天完成？例 2：一项工作，甲组 3 人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组 2 人和乙组 7 人合作，多少天可以完成这项
17、工作？例 3：甲组 6 人 15 天能完成的工作，乙组 5 人 12 天也能完成。乙组 7 人8 天能完成的工作，丙组 3 人 14 天也能完成。一项工作，需要甲组 9 人 4 天完成。如果由丙组派人 10 天完成，丙组应该派多少人？第 9 页 共 14 页例 4：单独完成一项工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙两人合做 2 天后，剩下的由乙单独做，那刚好在规定时间内完成。甲、乙两人合做需要多少天完成？例 5：单独完成某项工作，甲需要 9 小时，乙需要 12 小时。如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每次工作 1 小时，那么完成这项工作需要多少
18、小时？例 6：一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入的水量是固定的。打开 A 管 8 小时可将满池水排空，打开 C 管 12 小时可将满池水排空。如果打开 A、B 两管 4 小时可将水排空。如果打开 B、C 两管，要几小时才能将满池水排空？例题详解：例 1： =30（天） ，甲： =90（天） ，乙：6014532 45130=60（天） ，丙： =180（天）60613例 2：1 =3（天）741283例 3 甲组的工效： ，乙组的工效： ，9015660125丙组的工效： 78314= ，0494（ 10）=1.82（人）01例 4 解法（一）：说明甲做 2 天的相当于乙做 3 天的，
19、甲、乙合做 2 天后，剩下的乙单独做，在规定时间内完成。乙比甲多用 5 天，设甲的工效为 ，乙x1的工效为 根据甲做 2 天等于乙做 3 天列方程得： 2= 3，解之51x x15得：x=10 ，乙为 15 天，1 （ ）=6 （天）150例 4 解法（二）：甲做 2 天的工作量，乙要做 3 天，甲提前 2 天，乙超过第 10 页 共 14 页3 天，相差 5 天，把乙做的天数看作“1” ，甲用的天数相当于乙的 ，32乙用的天数：（2+3）（1 ）=15 （天） ，甲用的天数：3215 =10（天） ，321（ ）=6（天）50例 5 （小时） ，甲、乙分别要做 5 小时，合作 小时的工712
20、9 71作量 ， 的工作量应由乙做 = （小时） ，3613612需要 52+ =10 （小时）例 6A 的工效： ，C 的工效： ，A、B 的工效： ，B 的工效：81241 = ，418（小时）542难点练习：（附参考答案）1、A、B 两辆汽车合运 6 天能运完一批货物的 。如果单独运， A 运完 和6531B 运完 所用的时间相等。如果 A、B 单独运，各需几天运完？22、一项工程，甲单独做 12 小时完成，乙单独做 18 小时完成。如果先由甲先工作 1 小时，然后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时，两人如此交替工作，那么完成任务共用了多少小时？3、一项工程，甲、乙两队
21、合作需 12 天完成，乙、丙两队合作需 15 天完成，甲、丙两队合作需 20 天完成。如果甲、乙、丙合作需几天完成？4、一项工程，甲、乙、丙三人合作需 13 天完成。如果丙休息 2 天，乙就要多做 4 天，或者由甲、乙两人合作多做 1 天。这项工程由甲单独做需要多少天完成？5、甲组 5 人 18 天能完成的工作，乙组 10 人 8 天能完成；乙组 6 人 16 天能完第 11 页 共 14 页成的工作，丙组 6 人 10 天也能完成。一项工作，甲组 4 人 15 天完成，如果由丙组派人 5 天完成，丙组应派多少人？6、轮船以相同的速度航行，从 A 城到 B 城需 3 昼夜，从 B 城到 A 城
22、需 4 昼夜。小筏从 A 城漂流到 B 城，需要几昼夜？7、有甲、乙、丙三根水管，甲管单独开 5 小时能注满水池，甲管与乙管一起开 2 小时注满水池；甲管与丙管一起开 3 小时注满水池。现在把甲、乙、丙三根水管一起打开，过了一段时间，甲管发生故障停止注水，但 2 小时后水池注满。三管一起放了多长时间的水？8、两个学生在圆形跑道上从同一点 A 出发按相反方向跑步，速度分别为每秒5 米和每秒 6 米，直到他们首次在 A 点相遇时结束。在他们开始运动到结束之前，途中共相遇几次？参考答案1、分析：因为 = ，说明他们都做了 6 天，所以，A ：1 =18（天）31265 3B：1 =12（天）2、分析
23、：因为 （小时） ，所以可以看作是合做 7 小时和 小53182 51时。合做 小时的工作量又该乙做要多少时间， （小时） ，51 92851272 =14 （小时）93、12（ ）=12（天）20154、分析：丙 2 天=乙 4 天，丙=2 倍乙，甲乙 1 天= 乙 4 天，甲 1 天=乙 3 天，甲是乙的 3 倍，乙 13 天，甲 天，丙 13 天=乙 26 天=甲 ，326三人 13 天合做的工作量，甲独做 13+ + =26（天）35、分析：甲组工效 ，乙组工效 ，185810丙组工效 616610=05=6 （人）7（人）432第 12 页 共 14 页6、1（ ）2=6（昼夜）43
24、7、甲的工效 ，乙的工效 = ，丙的工效 = ，5512035132（小时）94108、分析：因为两个学生相遇时所行路程的比应该为 5:6，从起点开始到首次在起点相遇结束，正好跑得快的比跑得慢的多跑一圈，他们的速度差是， =11（次） ，实际要小相遇一次，所以，111=10（次）156156综合练习1. 一件工程，甲队单独做要 15 天完成，乙队单独做要 20 天完成。两队合做要多少天完成?2. 一件工作,甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 4 小时完成，丙单独做要 3小时完成。三人合做要几小时完成?3. 一个水池，装有甲、乙、丙三个水管，甲乙为进水管，丙为出水管。单开甲管 2 小时可将空水
25、池注满，单开乙管 3 小时可将空水池注满，单开丙管4 小时将满池水放完。三管齐开，多少时间才能把空池注满?4. 一项工程，甲独做 8 天可以完成，乙独做 8 天只能完成这项工程的 4/5，如果甲、乙合做，多少时间才能完成这项工程?5. 一批零件，甲独做 12 天完成，乙独做 8 天完成。甲、乙先合作 3 天，余下的由乙独做，还要几天完成?6. 文教印刷厂装订一批复习资料。师傅 9 天可装订 3/4，徒弟 20 天可装订5/6。师徒两人合作，几天可以装订完?7. 有项工程。甲、乙两队合做 12 天完成，丙、乙两队合做 20 天完成，甲、丙两队合做 15 天完成。甲、乙、丙三队合做需多少天完成?8
26、. 一条公路，如果由甲队独修需 30 天完成，由乙队独修 5 天完成这条公路第 13 页 共 14 页的 1/4。甲、乙两队合修 3 天后，余下的由乙独做，还需要几天才能修完 ?9. 一项工程，甲独做 9 天完成，乙独做 6 天完成。甲独做 4 天后，乙与甲合做。还要多少天才能完成?10. 一项工程，甲、乙合做 10 天可完成，甲、乙合做 8 天后，乙又单独做了5 天才完成。若由乙单独做这项工程，需要多少天?11师徒两人合作生产一批零件，师傅每小时生产 40 个，徒弟每小时生产 30个，如完成任务时徒弟正好生产了 450 个，这批零件共几个？12.甲每小时加工 48 个零件，乙每小时加工 36
27、 个零件，两人共同工作 8 小时后，检验出 64 个废品。两人平均每小时共加工多少个合格的零件？13.加工一批零件，师傅单独加工要 30 小时完成，如果徒弟先加工了 9 小时，其余的再由师傅加工，还要 24 小时，那么徒弟单独加工要多少小时完成？14.一批货物，由大、小卡车同时运送，6 小时可运完，如果用大卡车单独运，10 小时可运完。用小卡车单独运，要几小时运完？15.一项工程，甲单独做 16 天可以完成，乙单独做 12 天可以完成。现在由乙先做 3 天，剩下的由甲来做，还需要多少天能完成这项工程？16一件工作，甲单独完成需要 8 天，乙的工作效率是甲的 2 倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？17. 师徒共同完成一件工作，徒弟独做 20 天完成，比师傅多用 4 天完成，如果师徒合作需几天完成？18. 一项工作，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成。甲、乙合做几天可以完成这项工作的 80？19. 要生产 350 个零件，甲、乙两人共同生产 3.5 小时后，完成了任务的80。已知甲每小时做 42 个，乙每小时做几个？20. 加工一批零件，师傅单独加工要 30 小时完成，如果徒弟先加工了 9 小时，第 14 页 共 14 页其余的再由师傅加工，还要 24 小时，那么徒弟单独加工要多少小时完成？
