1、2016 初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 。每道小题均给出了代号为 A，B ，C ， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1已知 ，则 （ ）312a3261aA B C D332【答案】 A【解答】 由 ，知 ， ， ，312a1a2a2413a。21a 323226612133aaaa。1()12将编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子内，每个盒子放 2 个球。则编号为 1，2 的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）A B C D555【
2、答案】 B【解答】 将 6 个小球分成 3 堆，每堆 2 球，共有下列 15 种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：， ， ； ， ， ； ， ， ；(12)， 34)， (5)， (12， 5)， (46)， (1， 36)， (45)， ， ； ， ， ； ， ， ；， ， 6， 3， ， ， ， 2， ， ， ； ， ， ； ， ， ；()， )， ()， (， )， ()， (， )， (3)， ， ； ， ， ； ， ， ；15， 23， 4， 15， 24， 36， 15， 6， 4， ， ； ， ， ； ， ， 。(6)， )， ()， (6， )， ()， (， 2)， (
3、)，其中，编号为 1，2 的小球分在同一堆的情形有 3 种。 编号为 1，2 的小球放在同一个盒子内的概率为 。153已知圆 是边长为 的正三角形 的内切圆，圆 圆 外切，且O63ABC1O与 的 边、 边相切，则圆 的面积为（ ）ABC B1OA B C D24【答案】 A【解答】 如图，设圆 切 边于 ，圆 切 边于 ，且圆 的半径1CBEO为 ，圆 的半径为 。R1Or由 是边长为 的正三角形，知ABC 63， ，231362ROD 圆 圆 外切，且与 的 边、 边相切，1OABC B 、 、 三点共线，1C， 。30CD112Er ， 。36OCRr 圆 的面积为 。124如图， 为等
4、腰三角形 内一点，过 分别作三条边 、 、PABPBCA的垂线，垂足分别为 、 、 。已知 ，ABDEF10A，且 。则四边形 的面积为（ 2C13 DCE）A10 B15 C D4053【答案】 C 【解答】如图，连结 ， ， 。PAB易知 。又1284ABS 1122CPCAPBSDCAPEBF ， 。65DEF3EF ， 。434由 ，知点 在 的平分线上， 、 、 三点共PPBAAP线。（第 4 题 图）（第 3 题答题图）（第 4 题答题图） ，22PCD。222224196()3ECPDCPE 。143 。11414062233PDCEESSC 四 边 形5记 为非负整数 的各个数
5、位上的数字之和，如 ， ，()nn(0)S()。则 （ ）(19954(1)()15SLA B C D280728092807287【答案】 B 【解答】设 。()()(9)S则 ， 。2(192080S又 ，0)()(2)10(29)65LL(21)()(201)(3)(4)(5)34783SSS， 。()(3)(5)28062809L二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6已知直线 与抛物线 交于 、 两2yx231yx1()Axy， 2()Bxy，点，则 。12x【答案】 95【解答】由 ，得 。 231yx250x依题意， ， 为方程的两根， ， 。121212x 。
6、21112122252()()()91xxx 7如图，已知正方形 的边长为 1，点 、 分别在边 、 上，ABCDEFBCD且 。则 的周长为 。45EAFEF【答案】 2【解答】如图，在 的延长线上取点 ，使得 ，连结 。GDGA则由 为正方形，易得 。BCA ， 。AG ，45EF DFBAEDF。90A于是，在 与 中， ， ， G GA。AF ， 。 的周长E C。112lCFBEFDFC8若 时，二次函数 的最小值为 ，则13x234yxa3。a【答案】 5【解答】 ， ，2294()8yxax1x 若 ，即 时，则当 时， 取最小值 。314a31y63a由 知， ，不符合要求。6
7、29若 ，即 时，则当 时， 取最小值 。由434xay2948知， ，得 ，均不符合要求。29438a2a26若 ，即 时，则当 时， 取最小值 。由3xy29a知， ，符合要求。5 。a9已知正整数 ， 满足 ，则整数对 的个数是 pq32016pq()pq，。【答案】 3（第 7 题 图）（第 7 题答题图）【解答】由 ，知 ，32016pq20163pq。20169p由 ， 为正整数知， 为整数。q4 （其中 为正整数） 。同理， （ 为正整数） 。24x 21qy于是， （ ， 为正整数） 。31yy ， ， 。9x623x 满足条件的整数对 ，或 ，或()148)pq， ， (14
8、36)，。(149)， 满足条件的整数对 的个数为 3。()，10 表示不超过 的最大整数，则满足条件 的xx252xx，的取值范围为 。【答案】 或102x562x【解答】 （1）当 时， ， ， 。11x20x 时，方程 无解。x2x（2）当 时， ， ，等式020x成立。xx（3）当 时， ， ，等式121x2x不成立。2xx（4）当 时， 。 ， 或 。313x294x212x等式 不成立。2x（5）当 时， 。 ， 或 。2x2x223x等式 不成立。2xx（6）当 时， ，由 知， 。于是，52626x7x。x综合得，满足条件的 的取值范围为 或 。x102x52x三、解答题（共
9、4 题，每小题 20 分，共 80 分）11如图，二次函数 的图像过 、 、 三点，其中2ymxnpABC，点 、 在 轴上（ 在点 左侧， 在点 右侧） ，且(1)C， ABAO， 。25sin5sinC（1）求二次函数的解析式；（2）求 外接圆的半径。AB【解答】 （1）作 轴于 ，则 。CEx1CE（第 11 题 图）由 ， 知，25sinBAC5sinABC， 。52 ， 。1EA2B点 坐标为 ，点 坐标为 。 5 分3(0)， (10)，设所求二次函数的解析式为 。32ymx将点 的坐标代入二次函数解析式，得 。(1)C， 3(1)2m ，二次函数得解析式为 ，即 。 m()yx3
10、2yx 10 分（2）由（1）知， ， 。52AB22CAB 。 C15 分 外接圆的半径 。 12R20 分12已知关于 的方程 有有理数根，求正整数 的x2240xnn值。【解答】 关于 的方程 有有理数根，且 为正22整数， 为完全平方数 2224(0)4016nn 5 分设 （ 为正整数） ，224016nk则 ， 。()2(1)0513n 。 )(2)0513kn（第 11 题答题图） 10 分 为正整数， 为整数，且 ，21kn21kn21kn ，或 ，或 ，或054035153。 21653kn 15 分解得， ，或 ，或 ，或 。10853kn2049kn8435kn8kn 正
11、整数 的值为 503 或 99 或 35 或 8。 20 分注： 时，方程化为 ，即 。02420x(482)(56)0x时，方程化为 ，即 。9n9)1时，方程化为 ，即 。35218x(x时，方程化为 ，即 。8402)46013如图， 是等腰直角三角形， ，点 在线段 上（与ABC CABNAB、 不重合） ，点 在射线 上，且 。求证：ABM45M。22N【答案】如图，作点 关于直线 的对称点 ，AMCD连结 、 、 ， ，则 。DAMCDNA 是等腰直角三角形， ，且B B，45N ，45DCCANDCM90(45)BNADCM。 。 NB 5 分又 ， 。CDABCN 。 DC 1
12、0 分 ， 。45又由 ，知MDCA 。1801803B 。 3549NC15 分 。 D又 ，MA 。 222NAMBN20 分另解：如图， 沿 翻折得 ，则 。CB CD NBC ， ， ， 。 CDBA45B5 分（第 13 题）（第 13 题答题图） ，45NCM 459045DCNBACN。 A 10 分又 ， 。 。 DM 15 分 ， ， 。MAD135CAM 90DNC 。 222NAB 20 分14在 0 与 21 之间插入 个正整数 ， ， ，使其满足n1a2na。若 1，2，3，21 这 21 个正整数都可以表示为 0，12naaL， ， ，21 这 个数中某两个数的差。
13、求 的最小值。【解答】 个数至多可以表示2n个不同的且为正数的差。(1)2(1)()2nnL 依题意有， ，即 。(5)80n 。 5n 5 分下面证明 不符合要求。n若 符合要求，则由 时， 知，由5n(1)2n0， ， ， ， ， ，21 这 7 个数两两之差（大数减去小数）所得的下列1a234a521 个数：， ， ， ， ，21， ， ， ， ， ，1234521a3141a51a1232a， ， ， ， ， ， ， ， ，4a52a453244互不相同。于是它们是 1，2，3，21 的一个排列。 10 分5记这 21 个数的和为 ，则S12345()(4)()(2)()621Saaaa。可见 为偶数。1245621aaS另一方面， 为奇数，与 为偶数矛盾。3231SLS 不符合要求。 5n 15 分符合要求。如插入 2，5，8，12，19，20。 （不唯一）6n可以验证：用 0，2，5，8，12，19，20，21 这 8 个数中某两个数的差可以表示 1，2，3，21 中任意一个数。（ ， ， ， ， ， ，19341250682， ， ， ， ， ，79091， ， ， ， ， ，84567， ， 。 ）002可见 的最小值为 6。 n
