1、小学五年级奥数专题讲解之“质数与合数”自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.像 2、3、5 这样仅有 1 和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）.像 4、6、8 这样除了 1 和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.1 只有一个约数，就是它本身.1 既不是质数也不是合数、称为单位 1.因此，全体自然数分成了三类：数 1；全体质数；全体合数.任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.问题 1 24 有多少个约数？这些约数的和是多少？分析 24233.2 3的约数：1，2，2 2，2 3共 4 个.3 的约数
2、：l，3 共 2 个.根据乘法原理，24 的约数个数为：（31）（11）428.这 8 个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：1248361224（1248）3（1248）（1248）（13）（122 22 3）（13）15460.解 242 33.（31）（11）8.（122 22 3）（13）15460.答：24 有 8 个约数，这些约数的和是 60.问题 2 有 8 个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？分析 824222.因此，约数个数是 8 的自然数，有三种类型：P71、P1P32、P1P2P3，其中 P1、P2、P3 是不同的质数.解 824222.2 712
3、8，32 324， 23530.有 8 个约数的最小自然数为 24.问题 3 分别判断 103、437 是质数还是合数.分析 对于一个不很大的自然数 N（N1，N 为非完全平方数）.可用下面方法去判断它是质数还是合数：先找出一个大于 N 的最小的完全平方数 K2，再写出 K 以内的所有质数；若这些质数都不能整除 N，则 N 是质数；若这些质数中有一个质数能整除 N，则N 为合数.（请同学们想想这其中的道理）解 10311 2.而 11 以内的质数 2、3、5、7 都不能整除 103，故 103 是质数.43721 2.而 21 以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19.437192
4、3， 437 是合数.问题 4 将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.14，33，35，30，75，39，143，169.分析 把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.解 把已知的八个数分解质因数：1427，33311.3557，30235.7535 2，39313，1431113，16913 2.14753530235 27，391433316931113 2，分成的两组为：169，33，35，30与39，143，75，14或169，33，75，14与39，143，35，30.问题 5 一个数是 5 个 2、3 个 3、2 个 5、1 个 7的连乘积，这个数的两位数的
5、约数中，最大的是几？分析 设这个数为 N，则 N2 533527.两位数中的最大数为 99，其它数依次为 98，97，.那么可以从两位数中最大的数开始找.解 N2 533527.993 211，不是 N 的约数.9827 2，不是 N 的约数.97 是质数，不是 N 的约数.962 53，是 N 的约数.所以，所求最大的两位数的约数是 96.问题 6 有这样的质数，它分别加上 10 和 14 仍为质数，你会求这个质数吗？分析 从最小的质数开始找，可以很快地找到 3 是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢？没有.解 因为 31013，31417，所以 3 是符合条件的质数.因为 2101
6、2，21416，所以 2 是不符合条件的质数.我们将一切大于 2 的自然数按照被 3 除的余数分为3n、3n1、3n2（n1 的整数）这三类.因为（3n1）143（n5）不是质数，（3n2）103（n4）不是质数，而 3n 仅当 n1 时才是质数.所以，3 是唯一符合条件的质数.问题 7 在乘积1000999998321 中，末尾连续有多少个零？分析 不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2510，所以末尾的零只能由乘积中的质因数 2 与 5 相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积分解成质因数的连乘积以后，有多少个质因数 2，有多少个质因数 5，其中哪一个的个数少，乘积的末尾就有多少个连续的零.解 先计算中的质因数 5 的个数.在 1，2，1000 中有 200 个 5 的倍数，它们是：5，10，1000.在这 200 个数中，有 40 个能被 255 2整除，它们是 25，50，1000.在这 40个数中，有 8 个能被 1255 3整除，它们是 125，250，1000.在这 8 个数中，有 1 个能被 6255 4整除，它是 625.所以，中的质因数 5 的个数等于2004081249.而中的质因数 2 的个数，显然多于质因数 5 的个数.所以，乘积1000999998321 中，末尾连续有 249 个零.
