1、3-1 系统时间响应的性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 线性系统的稳态误差计算,第三章 线性系统的时域分析法,本章主要内容：本章介绍了控制系统时域分析法的相关概念和原理。包括控制系统时域性能指标、一阶与二阶系统的时间响应及动态性能、控制系统的稳定性及稳定判据、系统稳态误差计算等。 本章重点：通过本章学习，应重点掌握控制系统动态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶与二阶系统的时间响应及动态性能分析、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差的概念和稳态误差计算等内容。,分析控制系统
2、的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步就是分析控制系统的各项性能。分析有多种方法，主要有时域分析法、频域分析法、根轨迹法等。每种方法各有千秋，均有它们的适用范围和对象。所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。时域分析法具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。,一、典型输入信号要确定系统性能的优劣，就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算，时域分析法中一般常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡（
3、速度）函数、单位加速度（抛物线）函数、单位脉冲函数和正弦函数。 二、动态过程和稳态过程 1动态过程 2稳态过程,3-1 线性系统时间响应的性能指标,三、动态性能与稳态性能 1.动态性能控制系统的动态性能，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应来衡量的。设系统零初始条件下，评价系统动态性能的指标通常有如下几项：,延迟时间 阶跃响应第一次达到终值 的50所需的时间。 上升时间阶跃响应从终值的10上升到终值的90所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。,峰值时间 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间。 调节时间阶跃响应到达并保持在终值5误差带内所需的
4、最短时间。 超调量 峰值超出终值的百分比,上升时间或峰值时间评价系统的响应速度，而超调量反映系统动态过程的平稳性，即评价系统的阻尼程度，调节时间同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 2.稳态性能稳态性能是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量，由稳态误差的大小定量描述。,凡是用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 一、一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为 其闭环传递函数为其开环传递函数为,3-2 一阶系统的时域分析,二、一阶系统的单位阶跃响应上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。,特点： 1
5、）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值。 2）初始斜率为1/T，并随时间的推移而下降。 动态性能指标：T 值的大小反映系统的惯性。T值越小，惯性就越小，响应速度快；T值大，惯性就大，响应速度慢。,三、一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应曲线为单调下降 指数曲线。 特点： 1)可以用时间常数去度量 系统的输出量的数值； 2)初始斜率为,四、一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响 应是一条由零开始逐渐变为 等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。稳态误差为T ，初始斜率为0，稳态输出斜率为1。,五、一阶系统的单位加速度响应当t足
6、够大时说明一阶系统不能跟踪加速度输入信号。,六、线性定常系统的重要特性线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。(线性常微分方程两边同时积分或微分，方程仍然成立)。通常，只需研究系统对阶跃输入的响应。,凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统称为二阶系统，二阶系统是控制系统中的典型系统，它的时域分析在控制系统分析中有重要意义。 一、二阶系统的数学模型 二阶系统的微分方程令 传递函数,3-3 二阶系统的时域分析,式中：自然频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比（相对阻尼系数）和 是二阶系统重要的特征参数。 二、二阶系统的单
7、位阶跃响应 二阶系统的特征方程为 特征根这些根与阻尼比有关 ，其根决定了系统的响应形式。,二阶系统(按阻尼比 )分类表,1.欠阻尼二阶系统( )系统单位阶跃响应的拉氏变换为,系统单位阶跃响应为,欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成。稳态部分等于1，表 明不存在稳态误差。瞬态部分是阻尼正弦 振荡过程，阻尼的大小由 n (特征根实部)决定； 振荡角频率为阻尼振荡角 频率 d (特征根虚部)， 其值由阻尼比和自然振荡角频率决定。,2.无阻尼二阶系统（ ）阶跃响应：系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。,3.临界阻尼二阶系统（ ）阶跃响应系统单位阶跃响应是稳 态值为 1 的无超调
8、单调上升 过程。,4.过阻尼二阶系统( )当 较大时，近似为 系统的单位阶跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。,二阶系统的单位阶跃响应,三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。为了获得满意的动态性能指标，希望阻尼比等于0.40.8。过小(阻尼比小于0.4)将导致超调量较大；过大(阻尼比0.8)又会使响应迟缓。1.延迟时间近似计算式为,2.上升时间当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比，当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。 3.峰值时间,上式整理后由于峰值时间 对应系统响
9、应的第一次峰值，取n=1 解得 峰值时间 等于阻尼振荡周期的一半。当阻尼比一定时，闭环极点距负实轴越远，峰值时间越短。,4.超调量 最大超调量发生在峰值时间代入c(t)得根据超调量的定义，且得最大超调量百分比为超调量与自然频率无关，仅是阻尼比的函数。阻尼比越大，超调量越小；阻尼比越小，超调量越大。当选取阻尼比为0.40.8时，值在1.525.4之间。,5.调节时间根据调节时间的定义，当tts 时|c(t)-c()| c() % 当0.10.9时，通常用下式近似计算调节时间调节时间与闭环极点的实部数值成反比。,例1 控制系统结构图如图所示。 (1)开环增益K=10时，求系统的动态性能指标； (2
10、)确定使系统阻尼比=0.707的K值。 解 (1) K=10时系统闭环传递函数,(2)例2 某系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定K1、K2和a的数值。,解 闭环传递函数系统输出利用超调量和峰值时间公式得故求得两个参数为 K2=24.46 , a=6.01,四、过阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼系统响应缓慢，故许多系统不希望采用过阻尼系统。然而在大惯性、低增益的温度控制系统中，则需要采用过阻尼系统；此外对一些不允许出现超调量，又希望响应速度较快时，可采用临界阻尼系统。所以研究过阻尼二阶系统性能指标有一定的实际意义。过阻尼系统无法根据动态性能指标的定义得到计算公式，故采用近似计算公式。,1.
11、上升时间2.调节时间当T14T2时，系统 可等效为只有一个闭环 极点-1/T1，这时二阶系 统可视为一阶系统，调 节时间ts=3T。 当T1/T2=1时，,例3 控制系统结构图如图所示。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且ts 2(s)，求K值、tr和ts值。 解 根据题意，应取 系统闭环传递函数调节时间 上升时间,五、二阶系统的性能改善调整典型二阶系统的两个特征参数 和 可以改善系统性能，但这种改善功能有限。比例微分控制和测速反馈控制是两种常用的改善系统性能的方法。 1.比例微分控制 系统开环传递函数为系统闭环传递函数为,令典型二阶系统的标准形式比较： 不改变无阻尼振荡频率 ； 等效阻尼系数
12、； 闭环传递函数有零点。,(1)动态响应分析,(2)性能指标估算 峰值时间超调量调节时间,2.测速反馈控制开环传递函数式中闭环传递函数显然测速反馈控制和比例微分控制一样不改变自然频率，但增大了阻尼比。,两种控制系统比较： 1)测速反馈控制降低了系统的开环增益K，而比例微分控制不改变开环增益K 。 2)两种控制方法都不影响自然频率，但增大系统的阻尼比。 3)两种控制的阻尼比分别为当取 时，则 。尽管如此，但是对系统改善的性能仍不一样，因为比例微分控制包含一个零点，而测速反馈控制不包含零点。 4) 比例微分控制附加的阻尼作用产生于输入端误差信号的变化；而速度反馈控制的附加阻尼取自系统输出量的变化。
13、比例微分控制提供了一个实零点，可缩短系统的初始响应，但是在相同的阻尼比时，超调量也大于速度反馈控制。,5)比例微分控制对输入噪声有放大作用，当输入端高频噪音严重时，不宜选用此方法。另外，微分器的输入信号是低能量的误差信号，需选用高质量的前置放大器；而测速反馈控制无需设置放大器，适合任何输出可测的控制系统。 例4 系统如图示。 (1)试分析 时系统的各项性能指标； (2)系统阻尼比 ， 值是多少？试分析系统的各项性能指标。 解 (1),(2),由三阶和三阶以上微分方程描述的系统为高阶系统。实际控制系统中多为高阶系统，然而要精确求取高阶系统的动态性能指标却很困难，所以分析高级系统常采用闭环主导极点
14、的概念。 一、高阶系统单位阶跃响应高阶系统传递函数一般可以表示为,3-4 高阶系统的时域分析,当输入为单位阶跃函数时，系统输出可表示为,高阶系统的响应由一阶系统、二阶系统的响应分量组成。若所有闭环极点都位于S平面左半部，当t时，c(t)中的指数项和阻尼正弦、阻尼余弦项都为零，系统的稳态输出为A0。 二、闭环主导极点对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的瞬态分量只影响阶跃响应的起始段，而距虚轴近的极点对应的瞬态分量衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的系数与零、极点的分布有如下关系：,(1)若某极点远离原
15、点，则相应项的系数很小； (2)若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小； (3)若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。 (4)系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称相应极点为主导极点。可由主导极点估算高阶系统性能。这就是合理的简化，既不改变问题的性质，又使处理过程简单。,例5,稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会
16、在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。,3-5 线性系统的稳定性分析,一、稳定性的概念与定义如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。线性控制系统稳定性定义为： 线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零（或原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；若在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。 二、线性系统稳定的充分必要条件系统稳定与否完全取决于系统本
17、身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，与输入作用无关。,设初始条件为零时， ，若 ，则系统稳定。n阶系统闭环传递函数的一般表达式为,根据稳定性定义，系统稳定时应有 若系统的特征根全部具有负实部， ，系统稳定； 若系统有一个或一个以上正实根或实部为正的共轭复根，其余的特征根具有负实部， ，系统不稳定； 若系统特征根有一个或一个以上零实部根，其余的特征根具有负实部， ，或等幅振荡，系统临界稳定。,线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部。或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。当系统有纯虚根时，系统处于临界稳定状态，脉冲响应呈现等幅振荡。由于系统参数的变化以
18、及扰动是不可避免的，实际上等幅振荡不可能永远维持下去，系统很可能会由于某些因素而导致不稳定。另外，从工程实践的角度来看，这类系统也不能正常工作，因此经典控制理论中将临界稳定系统划归到不稳定系统之列。线性定常系统如果稳定，则它一定是大范围稳定的，且原点是其唯一的平衡点。,三、稳定判据根据系统稳定的充要条件判断线性系统的稳定性，必须求出系统的全部特征根，并且验证其特征根是否都具有负实部的问题。由于对高阶系统求特征根的工作量很大，所以我们总希望有一种不用求解特征方程的根，就可以判断出系统是否稳定的方法。英国人劳斯在1877年，瑞士数学家赫尔维茨在1895年分别提出了利用闭环特征方程各项系数进行代数运
19、算，得出的全部极点为负实部的条件，以此来判断系统是否稳定。因此，这种判据又称为代数稳定判据。 1.劳斯稳定判据,设系统特征方程为 将各项系数，按下面的格式排成劳斯表依次类推，可求得n+1行系数 。,1)劳斯判据 劳斯稳定判据为：线性系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列各系数为正。如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。 例6 设系统特征方程为 (1)(2) 试判定系统的稳定性。 解 (1)系统稳定(2)系统不稳定,2)劳斯判据特殊情况的处理 应用劳斯判据建立的劳斯表，有时会遇到两种特殊情况，使计算无法进行，因此需要进行相
20、应的数学处理，而处理的原则是不影响劳斯稳定判据的判断结果 。 劳斯表第1列某系数为零的情况当劳斯表第1列某系数为零而该行其它系数不全为零时，可以用一个很小的正数代替第一列的零元素参与计算，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。 例7 解 系统不稳定,劳斯表某行所有系数均为零的情况若系统存在对称坐标原点的极点时会出现全零行这种情况。当劳斯表中出现全零行，可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程，并将辅助方程对s求导，用其导数方程的系数代替全零行的各系数，就可按劳斯表的要求继续运算下去。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同符号相反的根数，而且这些根可由辅助方程求出。 例8 解 系统临界稳定归属
21、为不稳定.,3)劳斯稳定判据的应用分析系统参数变化对稳定性的影响劳斯判据除了可以用来判定系统的稳定性外，还可以确定使系统稳定的参数范围。 例9 已知某单位反馈系统的开环传递函数试用劳斯稳定判据确定使系统稳定 的取值范围。解 系统闭环传递函数 特征方程为 要使系统稳定，必须 临界稳定增益,例10 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统是否可以稳定。若可以稳定，请确定相应的开环增益范围。 解 系统的开环传递函数闭环系统特征方程为对于二阶系统，特征方程系数全部大于零就可以保证系统稳定。由 可确定使系统稳定的K值范围为 。,确定系统的相对稳定性利用劳斯稳定判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝
22、对稳定性。劳斯稳定判据虽然可以判断系统的稳定性，但不能表明系统特征根在s平面上相对虚轴的距离。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。当需要知道系统的相对稳定性时，可以移动s平面的坐标轴线，然后再使用劳斯稳定判据。其方法是将 (a=常数)代入系统的特征方程，写出 变量的新特征方程，并对新特征方程应用劳斯判据即可。,例11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为使系统特征方程的根都位于s= -1的左边，试确定 值的取值范围。 解 闭环系统特征方程为 现以 代入上式，得此时 的取值范围为,2.赫尔维茨稳定判据 设系统特征方程为,赫尔维茨稳定判据：线性系统稳定
23、的充分必要条件是 情况下 ，上述行列式的各阶主子式均大于零。即对角线上所有的子行列式均大于零。,例12 设系统特征方程为 试用赫尔维茨稳定判据判别系统的稳定性。 解 系数行列式系统稳定,控制系统的稳态误差，是系统控制准确度(精度)的一种度量，表示系统的稳态性能。在控制系统的设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。 一、误差与稳态误差 误差的第一种定义：是按输入端定 义的误差，即把偏差定义为误差。误差的第二种定义：是按输出端定义的误差 ，即误差是希望输出与实际输出之差。,3-6 线性系统的稳态误差计算,按输入端定义的误差（即偏差）通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显。按输
24、出端定义的误差是比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。两种误差定义之间存在如下关系：对单位反馈系统而言，上述两种定义是一致的。除特别说明外，以后讨论的误差都是指按输入端定义的误差（即偏差）。 根据误差的第一种定义,误差传递函数为误差是时间 t 的函数，对E(s)求拉氏反变换，得系统是稳定的，因此 误差的稳态分量就定义为稳态误差 根据终值定理计算稳态误差 系统的稳态误差与系统的结构有关，还与输入信号的大小及形式有关。,二、系统类型 系统的开环传递函数式中以v数值来划分系统类型，当v=0，1，2时，分别称相应的系统为0型系统、I型系统和II型系统。 稳态误差,系统的稳态误差取决于
25、系统类型v、开环增益K以及输入信号R(s)的形式与幅值。,三、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数 定义 称为静态位置误差系数阶跃输入下稳态误差,四、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数定义 称为静态速度误差系数斜坡输入下稳态误差,五、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数定义 称为静态加速度误差系数加速度输入下稳态误差,输入信号作用下的稳态误差,六、扰动作用下的稳态误差实际系统在工作中不可避免要受到各种干扰的影响，系统在扰动作用下的稳态误差数值反映了系统的抗干扰能力。,七、减小或消除稳态误差的措施 1.增大系统的开环增益(或扰动作用点之前的前向通道增益)增大系统的开环增益，可以减小系统在输
26、入信号作用下的稳态误差；如果增大系统扰动作用点之前的增益，也可以减小系统对扰动作用的稳态误差。 2.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节 3.采用复合控制方法不能简单的靠串联积分环节或增大开环增益减小系统的稳态误差时，通常在系统中引入与给定作用有关或扰动作用有关的附加控制作用，即复合控制方法。,例13 设系统如图所示。(1)试求系统的稳态误 差；当 值改变时稳态误差如何变化？ (2)在扰动作用点之前的前向通路中引入积分环节对稳态误差有什么影响？ (3)在扰动作用点之后的前向通路中引入积分环节对稳态误差又有什么影响？ 解 (1)令,令(2)(3),本章重点通过本章学习，应重点掌握控制系统
27、动态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶与二阶系统的时间响应及动态性能分析、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差的概念和稳态误差计算等内容。,第三章小结 (1)自动控制系统的时域分析法是根据控制系统传递函数直接分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能的一种方法。 (2)稳定是自动控制系统能否正常工作的首要条件。系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用的大小和形式无关。线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s平面 (即系统的特征根全部具有负实部)。 (3)利用劳斯判据可以通过系统特征多项式的系数间接判定系统是否稳定，还可以确定使系统稳定时有关参数(如K、T等
28、)的取值范围。,(4)自动控制系统的动态性能指标主要是指系统阶跃响应的上升时间、峰值时间、超调量和调节时间。典型一、二阶系统的这些动态性能指标和系统参数有严格的对应关系，必须牢固掌握。 (5)测速反馈控制是工程中常用的一种校正方法，采用测速反馈可以有效增加系统阻尼，改善系统的动态性能。 (6)高阶系统的时间响应分析比较麻烦，当系统具有一对闭环主导极点时(通常是一对共轭复数极点)，可以用一个二阶系统近似，并以此估算高阶系统的动态性能。,(7)稳态误差是控制系统的静态性能指标，与系统的结构参数以及输入信号的形式有关。系统的型别v决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。计算稳态误差可用一般方法(利用拉氏
29、变换的终值定理)，也可由静态误差系数方法获得。 (8)在扰动作用点之间的前向通道中增大增益或增加积分环节数，可以同时减小或消除由控制输入和扰动作用产生的稳态误差。,举例 例1 某单位反馈控制系统开环传递函数为 试确定在输入信号 时，系统稳态误差 ，并且闭环系统稳定， 的取值的范围。解 满足稳态误差要求满足稳定性要求,例2 控制系统的结构图以及两种反馈连接情况下的阶跃响应曲线如图所示(其中0表示断路)。试判断每种情况的极性连接并说明理由。解 (a)主反馈为“-”，局部反馈为“0”。(b)主反馈为“-”，局部反馈为“+”。,例3 控制系统如图所示。(1)为了使闭环系统稳定，试用劳斯稳定判据确定K的取值范围； (2)当K为何值时系统出现等幅振荡，试确定等幅振荡的角频率。 解 (1)(2) K=14，=6.32,例4 设系统如图所示。 要求： (1)当时a =0，确定系 统的阻尼比，自然频率n和单位斜坡函数输入下系统的稳态误差； (2)当=0.7时，确定参数a值及单位斜坡函数输入下系统的稳态误差； (3)在保证=0.7和 的条件下，确定参数a及前向通路增益K1。,解(1) (2) (3)K=31.36a=0.186,
