1、基础知识,易错知识 一、忽视隐含条件失误 1首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_,2一个凸n边形的内角成等差数列，最小角为120，公差为5，则凸n边形的边数n为_ 答案：9 3已知：数列an中，a11，a22,2an12an3(n2，nN*)判断：an是等差数列吗？,二、忽视讨论失误 4设数列an的通项为an2n7(nN*)，则|a1|a2|a15|_. 答案：153 三、盲目套用公式失误 5数列an中，若Sn2n25n3，则数列an是从第_项起成等差数列 答案：二,回归教材 1(2010重庆，2)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为 ( ) A5 B6
2、 C8 D10 解析：a1a92a5，a55，故选A. 答案：A,2已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于 ( ) A64 B100 C110 D120 答案：B,3等差数列an中，a1a2a50200，a51a52a1002700，则a1为 ( ) A12.21 B21.5 C20.5 D20答案：C,4(2010辽宁，14)设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_. 解析：设数列an的公差为d，答案：15,5(课本P1186题改编)已知an是等差数列，a25，a514. (1)求an的通项公式； (2)设an的前n项和Sn155，求n
3、的值 解析：(1)设等差数列an的公差为d， 则a1d5，a14d14. 解得a12，d3. 所以数列an的通项为ana1(n1)d3n1.,对于等差数列中的五个量a1、an、Sn、n、d，可做到已知其中的任意三个量，利用通项公式和前n项和公式，求出另外两个量这类问题是方程思想的具体运用，要注重通性通法，对基本知识、基本方法要熟练掌握 【例1】 在等差数列an中， (1)已知a1533，a45153，求a61； (2)已知S848，S12168，求a1和d； (3)已知a610，S55，求a8和S8.,分析：在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他
4、两个其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.,(2010课标，17)设等差数列an满足a35，a109. (1)求an的通项公式； (2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值,对于等差数性质的考查，一直是高考的热点对于数列不同项的和，要充分研究它们所对应的项数，即要注意各项的下标之间的关系，必须做到对等差数列的常见性质要充分把握，并且要注意灵活运用，这样才能做到快速准确地解答此类问题，这也是对性质考查的目的 【例2】 等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ( ) A130 B170 C210 D260,命题意图：本题主要考查等差数列求和公式
5、的运用，以及等差数列各种性质的灵活运用能力,S3mA(3m)2B3m210. 解法四：S3mS2ma2m1a2m2a3mS2m(a12md)(a22md)(am2md)S2m(a1a2am)m2mdS2mSm2m2d. 由解法一知d ，代入得S3m210. 解法五：根据等差数列性质知：Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m) S3m3(S2mSm)210.,答案：C,总结评述：解法一利用函数思想；解法二设而不求整体处理；解法三运用函数思想；解法四利用等差数列任意两项am，an具有关系式aman(mn)d；解法五利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数
6、列的性质；解法六是数形结合思想的运用；解法七利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法,错解剖析：(1)记错性质，误以为Sm，S2m，S3m成等差数列，错选B； (2)误以为Sm，S2m，S3m满足S3mSmS2m，错选A.,(2010全国，6)如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7 ( ) A14 B21 C28 D35答案：C,(2010四川攀枝花三模)设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，S11121，则S7等于 ( ) A13 B35 C49 D63答案：C,考查等差数列的定义，多以证明题的形式出现，要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明an1and(nN*，d为常数)
7、或2an1anan2成立对于实际问题，要结合题目的具体特点，灵活选取解答方法,得2(n1)an(n1)an1(n1)an1， n2，n10. 2anan1an1. 数列an为等差数列 点评：(1)是利用等差数列的定义进行证明； (2)是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点,由下列各表达式给出的数列an Sna1a2ann2； Sna1a2ann21； aanan2； 2an1anan2 (nN*) 其中表示等差数列的是 ( ) A B C D 答案：A,规律总结：1.判断或证明数列an为等差数列，常见的方法有以下几种： (1)利用定义：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)
8、，其中d为常数；(2)利用等差中项：2an1anan2；(3)利用通项公式：若数列an的通项公式为andnc(d、c为常数)，则数列an为等差数列(当d0时，数列的通项公式是关于n的一次函数，该数列an为等差数列；当d0时，数列an为常数列，也是等差数列)；,(4)利用前n项和公式：若数列an的前n项和公式为Snan2bn(a、b为常数)，则数列an为等差数列但要注意，证明数列为等差数列必须用定义或等差中项去证明；在选择题和填空题中，可用其他方法判断 2若要证数列an不是等差数列，可证明2a2a1a3.,分析：由Sn求出an，进而判断是否满足下列条件之一：an1and；anknb(k0)；Sn
9、an2bn(a0),总结评述：证明数列an是等差数列，若利用anan1d(本题d4)必须说明n2，若利用an1and，则只需指出nN*即可bn2n31已是n的一次函数的形式，直接说明即可.,此题型常见有两类，一类是求数列中某项的最值问题；一类是求数列前n项和Sn的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答 【例4】 在等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前几项的和最大？ 分析一：本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法 由已知列方程，得出d，从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值,解法三：由a125，S9S17，知此数列必递减，且a10a11a12a
10、170，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14，4(a13a14)0， 数列递减，a13a14，a130a14， 故此数列前13项和S13最大 分析四：先求出d，然后利用an0，an10解n.,总结评述：(1)数列是特殊的函数，上述解法中解法一、解法二两种思路均是转化为函数中求最值的方法，即利用单调性、配凑法转化为二次函数以及数形结合等； (2)对于等差数列当a10且为递减数列时，前n项和Sn有最大值；当a10且为递增数列时，前n项和Sn有最小值,(2010江西南昌调研)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示数列an的前n项和，则使得S
11、n取得最大值的n是 ( ) A21 B20 C19 D18 解析：设数列an的公差是d，则a2a4a6(a1a3a5)3d991056，即d2. 又3a3105，所以a335.所以ana3(n3)d412n.,令an0得n20.5，即数列an的前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此使得Sn达到最大值的n为20，故选B. 答案：B,若把题目条件改为“在等差数列an中，前n项和为Sn，且a312，S120，S130” (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，S3，S12中哪个值最大，并说明理由,方法三：S120，a1a2a120， 即a12a11a10. 以上两式相加得(a1a
12、12)(a2a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即a6a70. 同理，由S130，a70，S130，,A0，如图所示，设抛物线与x轴交于x0，则x0(12,13)，其对称轴为x(6,6.5) 因此，当n(6,6.5)时取最大值，又nN*， n6时，Sn最大,1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq.必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap. 2等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d0. 3等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列,请同学们认真完成课后强化作业,
