1、1第 04 节 利用导数研究函数的极值，最值A 基础巩固训练1.【2017 浙江，7】函数 y=f (x)的导函数 ()yfx的图像如图所示，则函数 y=f(x)的图像可能是（ ）【答案】 D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于 0，因此选 D2.【2018 届浙江省嵊州市高三上期末】已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 （ ）A. 既有极小值，也有极大值 B. 有极小值，但无极大值C. 有极大值，但无极小值 D. 既无极小值，也无极大值【答案】B【解析】由导函数图象可知， 在 上为负， 在 上非负， 在上递减，在 递增， 在 处有极小值，无极大值，故选 B.3.函 数
2、 fx的 导 函 数 fx在 区 间 (,)ab内 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 fx在 (,)ab内 的 极 大 值 点 有 （ ）2A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】由函数极值与导数的关系知函数 xfy在点 0处连续且 0xf，若在点 0x附近左侧 0xf，右侧 0xf，则点 0x为函数的极大值点，所以图满足定义的点有 2 个，故选 B4 【2018 年江苏卷】若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为_【答案】35.已知函数 2lnfxabx（其中 a， b为常数且 0a）在 1x处取得极值（）当 1a时，求 f的单调区间
3、；（）若 fx在 0,e上的最大值为 1，求 的值【答案】 （）单调递增区间为 ,2， ,；单调递减区间为 1,2; （） 12ae或 .【解析】试题分析：（）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据 x是 f的一个极值点 10f，可构造关于 a， b的方程，根据 1a求出 b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于 0 和小于 0 时， x的范围，可得函数 fx的单调区间；3（）对函数求导，写出函数的导函数等于 0 的 x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于 a的方程求得结果（）因为 21axf，
4、令 0fx， 1， 2，因为 在 处取得极值，所以 21xa，当 12a时， fx在 0,上单调递增，在 ,e上单调递减，所以 f在区间 e上的最大值为 f，令 1，解得 2a，当 0a， 20x，当 1时， f在 1,2a上单调递增， 1,2a上单调递减， 1,e上单调递增，所以最大值 1 可能的在 x或 e处取得，而21lnfaaln2a0，所以 2l1feae，解得 12ae；4当 12ea时， fx在区间 0,1上单调递增， 1,2a上单调递减， 1,2ea上单调递增，所以最大值 1 可能在 或 e处取得，而 lnf，所以 21ea，解得 1，与 2xe矛盾当 2xea时， f在区间
5、0,上单调递增，在 1,e上单调递减，所最大值 1 可能在 x处取得，而 1ln20fa，矛盾综上所述， 2e或 aB 能力提升训练1 【2018 届辽宁省丹东市模拟（二） 】设 ，则函数A. 仅有一个极小值 B. 仅有一个极大值C. 有无数个极值 D. 没有极值【答案】A【解析】分析：求函数导数 ，令 ，由 ，从而得即 的单调性，结合 ，即可得解.详解： ，得 .设 ，则 .即 为增函数，且 .所以当 ,则 单调递减；当 ,则 单调递增，且 .所以函数 仅有一个极小值 .故选 A.2 【2018 届四川省双流中学考前二模】若函数 在区间 有一个极大值和一个极小值，则实数 的取值范围是( )5
6、A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：函数 在区间 有一个极大值和一个极小值，即其导函数有两个相异的实根， 有两个不等根，构造函数，使得 y=m 和 h(x)有两个交点即可.详解：函数 在区间 有一个极大值和一个极小值，即其导函数有两个相异的实根，有两个不等根，构造函数 ，得到h(x)在 结合单调性画出函数的图像，使得 y=m 和 h(x)有两个交点即可，得到 故实数 的取值范围是 .故答案为:A3.【2018 届辽宁省丹东市测试（二） 】已知函数 ，在 处取得极值 10，则A. 4 或-3 B. 4 或-11 C. 4 D. -3【答案】C【解析】分析：根据函数的极值点和极值得
7、到关于 的方程组，解方程组并进行验证可得所求详解： ， 由题意得 ，即 ，解得 或 当 时， ，故函数 单调递增，无极值不符合题意 故选 C4设函数 f（x）在 R 上存在导数 )(xf， R，有 2)(xff，在 ),0(上， xf)(，6若 0618)(6(mff ，则实数 m 的取值范围为（ ）A ,2 B ),3 C-3，3 D ),2(【答案】B【解析】令 21)(xfxg， 021)(21)()( xfxfxg，函数 g（x）为奇函数， ),0(时， 0)(f，函数 g（x）在 ),(上为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数 g（x）在 R 上为减函数， 061
8、82)(6(21)(618)(6( 2 mmgmf，即 0， ， ， 35.设函数 xxf4ln2.（1）求 的单调区间和极值；（2）若 142xfxg，当 x时， xg在区间 1,n内存在极值，求整数 n的值.【答案】 （1）函数 ()f的单调增区间为（0,1） ，递减区间为 ),(，在 x处取得极大值 43，无极小值.（2） 3n. 【解析】（1） )0(,1)(2 xxf 令 (f，解得 )2(1舍 去x，根据 ,fx的变化情况列出表格:(0,1) 1 ),1()(xf+ 0 _递增 极大值 43递减7由上表可知函数 ()fx的单调增区间为（0,1） ，递减区间为 ),1(，在 1x处取
9、得极大值 43，无极小值 （2） xxxfg221ln)1)()( , 2ln1ln)( xxg,令 lnxh， h(，因为 0)(,1恒成立，所以 )x在 ),1(为单调递减函数，因为 ,2ln3ln0(4ln20.h所以 )(xh在区间 )4,3(上 有 零 点 0x ,且 函 数 ()gx在 区 间 03,)x和 (,)上 单 调 性 相 反 ，因 此 ， 当 n时 ， g在 区 间 1(内 存 在 极 值 .所 以 .C 思维拓展训练1.设函数 xexef22)(,1)(，对任意 ),0(,21x，不等式 1)(21kxfg恒成立，则正数k的取值范围是（ ）A ),1( B ),1 C
10、 ),( D 1,(【答案】B【解析】k 为正数，对任意 ),0(,21x，不等式 1)(21kxfg恒成立 minax1)()(kfg，由 )()(2xeg得 ， ,(， 0)(， ),(， 0(， kk1ma.同理 )1,0(0)(2 exxef ， 0(xf， ),1(e， 0(xf，11)(minkfkf， ,12kk，故选 B.2已知函数 32()fxbcx有两个极值点 12x且 12,1,x，则 ()f的取值范围是（ ）8A 3,12 B 3,62 C 3,2 D 3,12【答案】A【解析】 2()0fxbxc有两个不同的实数根，并且 12,1,xx,所以0(1)2ff,即4320
11、cb,作出不等式表示的可行域为如右图所示的四边形，则当直线()bc过点 (0,)A时，取得取小值，过点时 (0,12)C取得最大值,最小值为 3,最大值为 12.应选 A.3.【2018 届湖北省宜昌市一中考前训练 1】函数 在 内既有极大值又有极小值，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据条件得导函数在 内有两个不同的零点，根据实根分布得 b,c 满足条件，最后根据不等式性质以及二次函数性质得 的取值范围.详解：因为函数 在 内既有极大值又有极小值，所以导函数在 内有两个不同的零点，所以因此因为又因为所以选 D.4 【2018 届四川省南充市三诊】已知函
12、数 321xfabxc的两个极值分别为 1fx， 2fx，若 1， 2x分别在区间 0,1与 ,2内，则 的取值范围是（ ）9A. 2,7 B. 4,2 C. 5,2 D. ,27,【答案】A【解析】分析：先根据导函数的两个根的分布建立 a、b 的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可详解：函数 321xfabxc 2 0fxb的两个根为 1， 2， 1， 2分别在区间(0,1)与(1,2)内0 ff20 1ab 做出可行域如图所示，令 z2ba，平移直线 2baz.经过点 A(-1,0)时， 最小为：2；经过点 B(-3,1)时，z 最大为：7 b2a(2,7)，故选 A
13、.5.【浙江省杭州市学军中学 2018 年 5 月模拟】已知函数 ，其中 .（）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围；（）若函数 在区间 上有极大值 ，求 的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求导，再分离参数转化为 在 上有解，再求 a 的取值范围.(2)先对 a 分类讨论求函数 在区间 上极大值 ，得 ，再求 和 a 的值.10（2）当 时，函数 在 上单调递增，所以 在 无极值。当 时，函数 在 上单调递减，所以 在 无极值。当 时，由 得 ，则（其中 ）所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，由极大值 ，得 （*）又 ， 代入（*）得设函数 ，则所以函数 在 上单调递增，而所以 ，所以当 时，函数 在 由极大值 .
