1、1第 05节 导数的综合应用班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【2018 届山东省实验中学二模】函数 的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C2.如图所示，连结棱长为 2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点 A处向该容器内注水，注满为止.已知顶点 B到水面的高度 h以每秒 1c匀速上升，记该容器内水的体积 3()Vcm与时间 ()ts的函数关系是 ()Vt，则函数 ()t的导函数 ()yVt的图像大致是（ ）2【答案】D【解析】正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八
2、面体，棱长为 21a，高为 2，设时间为 t时，当 t1 时，此时水面的边长为 b， t，则 bt，则水面的面积为 2bt，该容器内水的体积 2313Vttt，当 t1 时，此时水面的边长为 c， 21tc，则2ct，则水面的面积为 22ct，该容器内水的体积 2 311433t t t， 2 , 1yVtyVt3 “函数 lnfxaxe存在零点”是“ a”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不用必要条件【答案】B【解析】 10fx ,所以若函数 lnfxaxe存在零点,则 0,1fea ,因此“函数lnfae存在零点 ”是“ 1”的必要不充分条件
3、 ,选 B.4. 【2018 届云南省玉溪市高三适应性训练】函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出函数的导函数 ，通过解析式可以判断出当 时 .而在 左右两侧单调性不同，所以可以根据函数两侧的单调性及在 处取得极小值的性质，求出不等式3的解集.详解： 且令 得 所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；若 ，则 或 解不等式得 或即 的解集为 C. 5.【2018 届北京市十一学校三模】已知函数 与 的图象上存在关于 对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意可知 有解，即
4、在 有解，求导数，确定函数的单调性，可知 m的范围.解析： 函数 与 的图象上存在关于 对称的点，有解，在 有解，函数在 上单调递增，在 上单调递增，.故选：D.6.【2018 届安徽省淮南市二模】函数 ，则方程 恰有两个不同的实根时，实数 范围是( )4A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析: 由方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，等价于 y=f（x）与 y=kx有 2个交点，又 k表示直线 y=kx的斜率，数形结合求出 k的取值范围详解: 方程 f（x）=kx 恰有两个不同实数根，y=f（x）与 y=kx有 2个交点，又k 表示直线 y=kx的斜率，x1 时，y=f（x）=l
5、nx，y= ；设切点为（x 0，y 0） ，则 k= ，切线方程为 yy 0= （xx 0） ，又切线过原点，y 0=1，x 0=e，k= ，如图所示；结合图象，可得实数 k的取值范围是 .故答案为：C7.【浙江省金华市浦江县 2018年高考适应性考试】已知函数 ，则（ ）A. 当 时， 在 单调递减 B. 当 时， 在 单调递减C. 当 时， 在 单调递增 D. 当 时， 在 单调递增【答案】D【解析】分析：求导 然后分析函数单调性根据 a，b 取值情况，重点分析 最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论详解： ，当5令 则 ，所以 h（x）在（0,2）递减， （2， ）递增， h（x）的
6、最小值是 h（2）=0，所以 则 在 单调递增，选 D8 【四川省成都市 2018年高考模拟试卷（一） 】己知函数 ，若关于 的方程恰有 3个不同的实数解，则实数 的取值范围是( ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意，函数 ，得 ，得到函数 的单调性与最大值，再又方程，解得 或 ，结合图象，即可求解.要使得方程 恰有三个不同的实数解，则 ，解得 ，故选 C.9.【2018 届安徽省示范高中（皖江八校）5 月联考】设函数 (为自然对数的底数） ，当 时 恒成立，则实数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D6分别作出 的图像，要使 的图象在 的图象下方，设切点 ，
7、切线为 ，即 ，由切线过 得， ，解得 或 或 ，由图像可知 .故选 D.10.【2018 届江西师范大学附属中学三模】已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先通过函数 有两个零点 求出 ，再利用导数证明 ，即证明 .7因为函数 f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数 g(x)在 上为减函数， =0，又 ，又 ， ，即 .故答案为：B二、填空题：本大题共 7小题，共 36分11.【2018 届湖南省衡阳市二模】函数 (1)xya的图象与二次函数 2yx的图象恰有两个不同的交点，则实数 a的值是_ 【答案】2e【解析】当 x0 时
8、，函数 (1)xya的图像与二次函数 2yx的图象恰有一个交点，设当 x0时， ()x的图像与 2相切于点 0,A，因为 2()ln,.xyayx（0000ln2,l,ln2.xxaa0 20,ln,2,.,.x eaaxea故填2e.点睛:解答与曲线切线有关的问题,如果不知道切点，一般都要设切点,再求切线的方程. 再利用其它条件转化求解.本题就是按照这种技巧解答的.12.【2018 届江苏省南京市三模】已知 为自然对数的底数若存在 ，使得函数8在 上存在零点，则 的取值范围为_【答案】【解析】分析：先转化为 存在零点，再利用数形结合分析两种情况下求 a的最大值和最小值得解.当直线 y=ax+
9、b过点 且与 相切时， 最小，设切点为 ，则切线方程为 ，此时所以 a的最小值为所以 的取值范围为 .故答案为：点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为 存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出 a的最大值和最小值.13 【2018 届山西省孝义市一模】当 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】分析：先分离参数得到 a ，构造函数 f（x）= 利用导数求出函数的最值即可求解实数 a的取值范围详解：x1 时，不等式（x1）e x+1ax 2恒成立（x1）e
10、 xax 2+10 恒成立，9a ，在（1，+）恒成立，设 f（x）= ，f（x）=x 2ex2（x1）e x+2=ex（x 22x+2）+2=e x（x1） 2+1+20 恒成立，f（x）0，在（1，+）恒成立，f（x）在（1，+）单调递增，f（x） minf（1）=1，a1.故填（，1点睛：本题的关键是分离参数得到 a ，再构造函数 f（x）= 利用导数求出函数的最小值即可求解实数 a的取值范围处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题.14 【2018 届齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学高考冲刺（三） 】若关于 的方程在 上有两个不同的解，其中为自然对数的底数
11、，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】分析：方程可通过变量分离得到 ， ，设 ，求导得到函数的单调性及最值，从而可得参数范围.若方程存在两个不同解，则 ， ， ，设 ，则 在 上单调递增，且 ， 在 上单调递减， 上单调递增， ， ， 在 上恒成立，若方程存在两个不同解，则 ，即 .10故答案为： .15 【2018 届广东省肇庆市三模】已知函数 ，若 有且只有一个整数根，则的取值范围是_.【答案】点睛：本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把 有且只有一个整数根等价转化为是本题的关键，这里主要是利用了数形结合的思想.16 【2018 届云南省昆明第一中学第八次月考】设函数 （ 为非零实
12、数） ，若函数 有且仅有一个零点，则 的取值范围为_.【答案】【解析】分析：先令函数 ，得 ，构造新函数 ，利用导数研究函数 的单调性及极值，再根据函数 有且仅有一个零点等价于函数 与 有且仅有一个交点，即可求得 的取值范围.详解：令 ，得 .设 ，则 .令 ，得 ，即 在 上为单调递增；令 ，得 或 ，即 在 和 单调递减.当 时， ；当 时， .函数 有且仅有一个零点11函数 与 有且仅有一个交点故答案为 .点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题
13、加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解17 【2018 届宁夏银川 4月检测】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出以下命题：当 时， ；函数 有 个零点；若关于 的方程 有解，则实数的取值范围是 ；对 恒成立，其中，正确命题的序号是_【答案】【解析】依题意，令 ，则 ，所以 ，即 ，故正确；当 时， ，当 时， ，即函数 在 上为减函数，当 时， ，即函数 在 上为增函数，因为 ，所以在 上，在 上 ，由此可判断函数 在 上仅有一个零点，由对称性可得函数 在上有一个零点，又因为 ，故该函数 有
14、个零点，故错误；作出函数 的图象如图所示：若方程 有解，则 ，且对 恒成立，故错误，正确.故答案为.12三、解答题：本大题共 5小题，共 74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 【2018 届浙江省杭州市第二次检测】已知函数(I)求函数 的导函数 ；()证明: (为自然对数的底数)【答案】 （I） （）见解析.（）设 ，则函数 在 单调递减，且 ， ，所以存在 ，使 ，即 ，所以 ，所以 ，且 在区间 单调递增，区间 单调递减所以 19.【2018 届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】已知函数（）求函数 在点 处的切线方程；（）求证：【答案】(1) .(2)证明见解析.【解析】分析：
15、（1）求切线方程先求导 ，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可.13（）所以 则切线方程为（）令 则 设 的两根为 ，由于 不妨设 则 在 是递减的，在 是递增的，而 所以在 单调递增，所以 ，因为所以 .点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题.20 【腾远 2018年（浙江卷）红卷】已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】分析：（1）由题意求得 ，令 得 或 ，分类讨论即可求解函数的单调区间；（2）由（1）知，当 时，函数 的单调性，求得函
16、数的极大值与极小值，又由要对任意的恒成立，结合图象得 ，即可求解. （2）因为 ，则 .且由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减，14所以函数 的极大值与极小值分别为 .若要对任意的 恒成立，结合图象可知只需满足 即可，解得 .点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结
17、合思想的应用.21已知函数 ，其中 （1）若 在区间 上为增函数，求 的取值范围；（2）当 时，证明： ；（3）当 时，试判断方程 是否有实数解，并说明理由【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）无解.【解析】分析：（1）解不等式 得到 a的范围. (2)证明 的最大值小于等于零.(3) 设 ， ，再 ，最后判断方程 没有实数解详解：（1）因为 在区间 上为增函数，所以 在 上恒成立，即 ， 在 上恒成立，则 （2）当 时， ， 令 ，得 ，令 ，得 ，所以函数 在 单调递增；令 ，得 ，所以函数 在 单调递减，所以 ，所以 成立15（3）由（2）知， ，所以 设 ， ，所以 令 ，得 ，令
18、，得 ，所以函数 在 单调递增；令 ，得 ，所以函数 在 单调递减，所以 ，即 ，所以 ，即 所以方程 没有实数解点睛：（1）本题主要考查利用导数解决函数单调性问题、最值和零点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用导数研究零点问题，把零点问题转化为最值问题， ，所以方程 没有实数解22 【2018 届浙江省宁波市高三上期末】已知函数 1xfxe.（）若方程 fxa只有一解，求实数 a的取值范围；（）设函数 lngmx，若对任意正实数 12,x， 12fxg恒成立，求实数 m的取值范围.【答案】() 10,；() ,.【解析】试题分析：（）利用导数研
19、究函数 fx的单调性，可得函数 fx在 ,0上单调递减，函数 fx在区间 ,上单调递增，根据单调性可得 1时， ， 1时， fx,且10，结合函数图象可得结果；（）由（）知 fx，对任意正实数 2,， 2fxg恒成立，等价于 221(0)*gx，先排除 0m，当 时，利用导数可得1max，所以 m.16（）由（）知 1fx.所以对任意正实数 2,， 12fgx恒成立，等价于 2(0)*gx. 1m.（1）当 时， ，与 式矛盾，故不合题意.（2）当 0时，当 x时， gx，当 1时， 0gx，所以 在 ,1上单调递增，在区间 ,上单调递减 .maxg，所以 m.综合（1） （2）知实数 的取值范围为 1,.
