1、1第 04 节 利用导数研究函数的极值，最值班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若函数 3()fx在 2(,6)a上有最小值，则实数 a的取值范围是（ ）A 5,1B 51C ,1D (2,1)【答案】C【解析】因为 3)(2xf，令 0)(xf，所以 x，所以函数 )(xf在 )1,，),1(上单调递增；在 )1,上单调递减，要函数 3()f在 2,6a上有最小值，所以 26a，解得 a，故实数 a的取值范围是 ,12.【2018 届安徽省安庆市二模】已知函数 （e 是自然对数的底数
2、） ， 则 f（x）的极大值为（ ）A. 2e-1 B. C. 1 D. 2ln2【答案】D【解析】 ，的极大值为 ，选 D.3.已知函数 21lnfxax有两个极值点 1x， 2，且 12x，则（ ）A 21ln4f B ln4fC x D 2x【答案】D【解析】函数 (x)f的定义域为 (0,)， 22,axafx因为函数 (x)f有两个极值点 1， 2，所以 1， 2是方程 0的两根，又 12，且 12，2所以 21,x又 2222,()1)()ln.axfxxx令 1()()lntgtt，则14()(t)ln0,所以 (t)g在区间 1(,)2是增函数，2l(t),所以 24fx，故选
3、 .D4.【2018 届浙江省杭州市第二中学高三 6 月热身】如图，可导函数 在点处的切线为 ，设 ，则下列说法正确的是（ ）A. 是 的极大值点B. 是 的极小值点C. 不是 的极值点D. 是 的极值点【答案】B【解析】分析：从图像看，在 上， 为增函数，在 上， 是减函数，故可判断 为 的极小值点详解：由题设有 ，故 ，所以 ，因为 又当 时，有 ，当 时，有 ，所以 是 的极小值点，故选 B5.已知二次函数 2()fxabc的导数为 ()fx， 0f，对于任意实数 x，有30fx，则 (1)f的最小值为( ) 3 52 2 3【答案】C6已知函数 ()ln)fxax有两个极值点,则实数
4、a的取值范围是 ( ）A ,0B 1(0,2C (0,1)D (0,)【答案】B【解析】因为函数 ()ln)fxax有两个极值点，由1()ln21(0)fxa.所以 ()0fx有两个不同的正实数根，令 2gx，所以 2)agx.令 g所以102xa（小于零不成立）.所以可得 max()ln，解得 12a.综上所以 (,).故选 B.7.【2018 届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】若函数有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：函数 有两个极值点，等价于 有两个根，换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系求解即可. 详解： ，4，有两个极值
5、点，有两个根，设 ，则关于的方程 有两个正根，可得 ，实数 的取值范围是 ，故选 B.8若函数 在 处有极大值，则常数为（ ）A. 2 或 6 B. 2 C. 6 D. -2 或-6【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于 0，求出 c 值，再检验函数的导数是否满足在 x=2 处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c 值舍去详解：函数 f（x）=x（xc） 2=x32cx 2+c2x，它的导数为 =3x24cx+c 2，由题意知在 x=2 处的导数值为 128c+c 2=0，c=6 或 c=2，又函数 f（x）=x（xc） 2在 x=2 处有极大值，故导数值在 x=2 处左侧为
6、正数，右侧为负数当 c=2 时， =3x28x+4=3（x ） （x2） ，不满足导数值在 x=2 处左侧为正数，右侧为负数当 c=6 时， =3x224x+36=3（x 28x+12）=3（x2） （x6） ，满足导数值在 x=2 处左侧为正数，右侧为负数故 c=6故答案为：C9.若函数 2()3ln(0)fxax，当 1a时，函数 ()fx的单调减区间和极小值分别为（ ）A. 1(0,)2, B. (1,), 2 C. (,), 2 D. (,1), 5ln24【答案】C 510.设 ()fx为函数 ()fx的导函数，已知 2 1()ln,()xffxfe，则下列结论正确的是 （ ）（A）
7、 ()f在 0,)单调递增 （B） ()f在 0,)单调递减 （C） x在 上有极大值 （D） x在 上有极小值 【答案】【解析】试题分析： 2 2lnln1()ln()()()ln)xxxffxfxfffxc 所以2cf，又 1fe，得 2c，即2lfx所以222ln(ln)() 0xxf，所以 ()f在 0,)单调递减故答案选 D.二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分11.【2018 届山东省济南外国语学校高三第一阶段考试】已知函数322,fxabxaR且函数 fx在 1处有极值 10，则实数 b的值为_.【答案】-116【解析】 23fxaxb, 21320,110fabfab
8、,解得4,1ab或 ,，代入检验 ,时 3x,x=1 不是极值点，不符.所以填-11.12.【2018 届天津市河西区总复习调查（三） 】函数 （为自然对数的底数）的极大值为_来【答案】【解析】分析：求得 的导函数，由函数数大于 ，可得增区间；导函数小于 ，可得减区间，利用单调性可得到函数 的极大值. 详解：因为函数 ，所以 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，故 的极大值为 ，故答案为.13.【2018 届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】已知函数321fxabx在时取得极大值 2，则 =ab_【答案】 7 【解析】结合函数的解析式有： 231fxx，结合函数的极值有：12 30fa
9、b，求解关于实数 ,ab的方程有： 3 4ab，经检验 ,4满足题意，则： 347.14.【2018 届广东省东莞市考前冲刺】若 是函数 的极值点，则实数 _.【答案】715 【2018 届河北省衡水中学三轮系列七】函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，则 的极值点是_【答案】【解析】分析：求出函数的导数，根据 ，求出 的值，从而求出 的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可.详解： ，故 ，解得 ，故 ，令 ，解得 ，因为 时 ， 时所以 是函数的极值点，故答案为.16.【2018 届广东省阳春市第一中学第三次月考】已知函数 32fxabxc在2x处有极值，其图象
10、在 1x处的切线平行于直线 6250y，则 f极大值与极小值之差为_【答案】4【解析】求导得 236fxaxb（ ） ， 因为函数 fx（ ） 在 2取得极值，所以2360fa（ ） ，即 40. ，又因为图象在 1x 处的切线与直线 25xy 平行，所以 3fb（ ） ， 即 .ab ，8联立可得 10ab， ，2362fxx所 以 （ ） （ ） ，当 0（ ） 时， 或 ；当 0fx（ ） 时， 2x ， 函数的单调增区间是 0（ ， ） 和 （ ， ） ，函数的单调减区间是 0（ ， ） ，因此求出函数的极大值为 f（ ） ，极小值为 24f（ ） ，故函数的极大值与极小值的差为 4（
11、 ） ，故答案为 417.【2018 届江苏省盐城中学仿真模拟】若函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围是 _.【答案】【解析】分析：求出函数 的导数，通过讨论 m 的范围求出函数的单调区间，从而确定m 的具体范围即可.解析： ，.当 时， 恒成立，即 在 R 上递增，若 时，则 .若 时，则 .故函数 在 递增，在 递减，故 在 处取得极小值，符合题意；当 时， 恒成立，即 在 R 上递减，若 时，则 .若 时，则 .故函数 在 递减，在 递增，故 在 处取得极大值，不符合题意；当 时， 使得 ，即 ，但当 时， 即 ， 在 递减，故 ，即 在 递减，不符合题意.9综上所述：m 的范围是
12、 .故答案为： .三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.【2018 届浙江省名校协作体高三上学期考试】设函数 （）当 ( 为自然对数的底数)时，求 的极小值；（）若对任意正实数 a、 b（ ） ，不等式 2fafb恒成立，求 的取值范围【答案】() fx取极小值为 2fe；() 18m.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数 的极小值；（）不妨设 ab，则有 2fafba，即 2fafb，构造函数 2gxfx，所以 g，所以 gx为 0,上为减函数.所以 10m对任意 ,恒成立即 2ax8.
13、 19.已知函数 elnf.（）当 时，求曲线 yfx在点 1,f处的切线方程；（）证明：对于 0,ea， f在区间 ,ea上有极小值，且极小值大于 0.10【答案】 （1） 0y（2）见解析【解析】（） fx的定义域为 ,， 因为 ea，所以 eln1xf，所以 exf. 因为 10f， ， 所以曲线 yfx在点 ,f处的切线方程为 0y. （） 因为 0ea,所以 exaf在区间 ,1e上是单调递增函数. 因为 ef， 10f， 所以 0,1eax,使得 0=xa. 所以 0,， f； 0,1x， 0fx， 故 fx在 0,ea上单调递减，在 0,上单调递增， 所以 f有极小值 0fx.
14、因为 0exa,所以 0001=lnlnxf ax. 设 1lgax， ,ex，则 221ax ， 所以 0gx，即 g在 ,e上单调递减，所以 10gx，即 0f，所以函数 fx的极小值大于 01120.已知函数 .() 当 时,求 在 处的切线方程;() 当 时,求 在区间 上的最小值(用 表示).【答案】() ；() .【解析】 【试题分析】 （1）借助题设运用导数的几何意义求解；（2）依据题设条件，借助导数与函数的单调性之间的关系求解：(1)当 时, 在 上递增,在 上递减,在 上递增,所以 . (2)当 时, 在 上递增,在 上递增,在 上递增,所以 综上所述, 21.【2018 届
15、江西省南昌市二模】已知函数 （）讨论函数 的单调性；（）若函数 有极小值，求该极小值的取值范围【答案】 （）：当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；12（）【解析】试题分析:(1)对函数求导得到导函数，根据导函数的正负求得函数的单调性；（2）结合第一问得到当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为,所以 ，对此表达式进行求导，研究单调性，求最值即可.详解：（）函数 的定义域为 ， ，当 时， ，函数 在 内单调递增，当 时，令 得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（）当 时， ，函数 在 内单调递增，没有极值；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ,所以 ，记 ，则 ，由 得 ，所以 ，所以函数 的极小值的取值范围是22.【2018 届浙江省宁波市 5 月模拟】已知函数 ，其中 为实常数（）若 是 的极大值点，求 的极小值；（）若不等式 对任意 ， 恒成立，求 的最小值【答案】 （）极小值 （） . 【解析】分析：（）先根据 是 的极大值点求出 ,再利用导数求 的极13小值. （）先分离参数得到 ，再分类讨论求 即得 b 的最小值.（）不等式 即为 所以 ）若 ，则 ， 当 时取等号；
