1、压轴大题突破练(二) 直线与圆锥曲线(2)1.(2016浙江)如图，设椭圆 y 21( a1).x2a2(1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示) ；(2)若任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM，由Error!得(1a 2k2)x2 2a2kx0，故 x10，x 2 ，2a2k1 a2k2因此|AM| |x1x 2| .1 k22a2|k|1 a2k2 1 k2(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足|AP| AQ|.
2、记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k 1k 2.由(1)知，|AP| ，|AQ| ，2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k21 a2k2故 ，2a2|k1| 1 k211 a2k21 2a2|k2| 1 k21 a2k2所以(k k )1k k a 2(2a 2)k k 0.21 2 21 2 212由于 k1k 2，k1，k20 得 1k k a 2(2a 2)k k 0，21 2 212因此 1a 2(a22). (1k21 1)(1k2 1)因为式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是 1a 2(a2 2)1，所以 a .2因此，
3、任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a ，2由 e ，得 00)交于 A，B 两点，且 3，其中(p2，0) OA OB O 为坐标原点.(1)求 p 的值；(2)当|AM |4|BM|最小时，求直线 l 的方程.解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 xmy .p2联立Error!消去 x，得 y22pmy p 20.y 1y 22pm，y 1y2p 2. 3，OA OB x 1x2y 1y23.又 x1x2 ，y212py22p p24 p 23p 24.p24p0，p2.(2)由抛物线定义，得 |AM|x 1 x 11，
4、p2|BM|x 2 x 21，p2|AM |4|BM|x 14x 252 59，4x1x2当且仅当 x14x 2时取等号.将 x14x 2 代入 x1x2 1，p24得 x2 (负值舍去).12将 x2 代入 y24x ，12得 y2 ，即点 B .2 (12， 2)将点 B 代入 x my1，得 m .24直线 l 的方程为 x y1，即 4x y40.24 23.已知动点 S(x，y)到直线 l：x2 的距离是它到点 T( ，0) 的距离的 倍. 2 2 2(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程；(2)设轨迹 C 上一动点 P 满足： 2 ，其中 M，N 是轨迹 C 上的点，直线 OMOP
5、OM ON 与 ON 的斜率之积为 ，若 Q(，)为一动点，E 1( ， 0)，E 2( ，0) 为两定点，求12 32 32|QE1|QE 2|的值.解 (1) 点 S(x，y)到直线 x2 的距离，2是到点 T( ，0)的距离的 倍，2 2则|x 2 | ，2 2 x 22 y2化简得 1.x24 y22所以轨迹 C 的方程为 1.x24 y22(2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 2 ，OP OM ON 即 xx 12x 2，yy 12y 2，因为点 P，M，N 在椭圆 1 上，x24 y22所以 x 2y 4，x 2y 4， x22y 24，21 21 2 2
6、故 x22y 2 2(x 2y )4 2(x 2y )4 (x1x22y 1y2)21 21 2 24 216 24(x 1x22y 1y2)4，设 kOM，kON分别为直线 OM，ON 的斜率，由题意知，k OMkON ，y1y2x1x2 12因此 x1x22y 1y20，所以 2 421，所以点 Q 是椭圆 24 21 上的点，而 E1，E2 恰为该椭圆 的左，右焦点，所以由椭圆的定义可得，|QE 1|QE 2|2.4.已知曲线 C 上任意一点 P 到两定点 F1(1，0)与 F2(1，0)的距离之和为 4.(1)求曲线 C 的方程；(2)设曲线 C 与 x 轴负半轴交点为 A，过点 M(
7、4，0) 作斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于B、C 两点(B 在 M、C 之间) ，N 为 BC 中点.证明：kk ON为定值；是否存在实数 k，使得 F1NAC ？如果存在，求直线 l 的方程，如果不存在，请说明理由.(1)解 由已知可得：曲线 C 是以两定点 F1(1，0)和 F2(1，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆，所以 a2，c 1b ，a2 c2 3故曲线 C 的方程为 1.x24 y23(2)证明 设过点 M 的直线 l 的方程为 yk( x4) ，设 B(x1， y1)，C(x2， y2)(x2x1).联立方程组Error!得(4k 2 3)x2 32k2x64k 2120，则Error!故 xN ，x1 x22 16k24k2 3yNk(x N4) .12k4k2 3所以 kON ，34k所以 kkON 为定值.34解 若 F1NAC，则 kACkF1N1，因为 F1(1，0)，kF1N ，12k4k2 3 16k24k2 3 1 4k1 4k2因为 A(2，0)，k AC ，y2x2 2故 1，y2x2 2 4k1 4k2代入 y2k(x 2 4)得 x228k 2，y22k8k 3，而 x22，故只能 k0，显 然不成立，所以这样的直线不存在.
