1、中档大题规范练 2 立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD ，PAPD，2底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD ，ABAD，AB BC1，O 为 AD 的中点.(1)求证：PO 平面 ABCD；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 QACD 的余弦值为 ？若存在，求出63的值；若不存在，请说明理由.PQQD(1)证明 因为 PAPD ，O 为 AD 的中点，2所以 POAD ，因 为侧面 PAD底面 ABCD，所以 PO平面 ABCD .(2)解 以 O 为 原点， OC，OD，
2、OP 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则B(1，1，0) ，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).(1 ，1， 1)，设平面 PDC 的法向量为 u( x，y，z)， (1，0， 1)， (0，1， 1).PB CP PD 则Error! 取 z1，得 u(1，1 ，1)，B 点到平面 PDC 的距离d .|BP， u|u| 33(3)解 假设存在，则设 (01)，PQ PD 因为 (0 ，1，1) ，所以 Q(0，1) ，PD 设平面 CAQ 的法向量为 m (a，b，c)，则Error! 即Error!所以取 m(1， 1，1) ，平面 C
3、AD 的法向量 n(0，0，1)，因为二面角 QACD 的余弦 值为 ，63所以 ，|mn|m|n| 63所以 321030，所以 或 3(舍去) ，所以 .13 PQQD 122.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1AB 2AD 2，E 为 AB 的中点，F 为 D1E 上的一点，D 1F2FE .(1)证明：平面 DFC平面 D1EC；(2)求二面角 ADFC 的大小.(1)证明 以 D 为原点，分 别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2).E
4、为 AB 的中点，E 点坐标为(1，1，0) ，D 1F2FE， (1，1，2) ( ， )，D1F 23D1E 23 2323 43 (0 ，0，2)( ， )( ， ).DF DD1 D1F 2323 43 2323 23设 n(x，y，z)是平面 DFC 的法向量，则Error! Error!取 x1 得平面 FDC 的一个法向量 n(1，0，1).设 p(x，y，z)是平面 ED1C 的法向量，则Error! Error!取 y1 得平面 D1EC 的一个法向量 p(1，1， 1).np(1 ，0， 1)(1，1，1)0，平面 DFC平面 D1EC.(2)解 设 q(x，y，z )是平
5、面 ADF 的法向量，则 q 0，q 0.DF DA Error!取 y1 得平面 ADF 的一个法向量 q(0， 1，1)， 设二面角 ADFC 的平面角为 ，由题中条件可知 ( ，)，2则 cos | | ，nq|n|q| 0 0 122 12二面角 ADFC 的大小为 120. 3.如图所示，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ABAC ，ABAC 2，A 1A4，点 D 是 BC的中点.(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值.解 (1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，
6、0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以 (2 ，0， 4)， (1 ，1， 4).A1B C1D 因为 cos ， ，A1B C1D A1B， C1D |A1B |C1D | 182018 31010所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1( x，y，z)，因为 (1 ，1，0)， (0 ，2，4)，AD AC1 所以 n1 0，n 1 0，AD AC1 即 xy0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y 2，所以 n1(2 ，2，1)是平面 ADC1 的一个法向量.
7、取平面 AA1B 的一个法向量 为 n2(0，1， 0)，设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 .由|cos | ，|n1n2|n1|n2| 291 23得 sin .53因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 .534.如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD底面 ABCD，其中底面 ABCD 为等腰梯形，ADBC，PA ABBCCD2，PD 2 ，PAPD，Q 为 PD 的中点.3(1)证明：CQ 平面 PAB；(2)求二面角 DAQC 的余弦值 .(1)证明 如图所示，取 PA 的中点 N，连接 QN，BN.在PAD 中，PNNA，PQ QD，
8、所以 QNAD，且 QN AD.12在APD 中，PA2，PD2 ，PAPD，3所以 AD 4，PA2 PD2 22 232而 BC2，所以 BC AD.12又 BCAD，所以 QNBC，且 QNBC，故四边形 BCQN 为平行四边形，所以 BNCQ.又 CQ平面 PAB，BN平面 PAB，所以 CQ平面 PAB.(2)解 如图，在平面 PAD 内，过点 P 作 POAD 于点 O，连接 OB.因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD.又 POAD ，APPD，所以 PO ，APPDAD 2234 3故 AO 1.AP2 PO2 22 32在等腰
9、梯形 ABCD 中，取 AD 的中点 M，连接 BM，又 BC2， AD4，ADBC，所以DMBC 2， DMBC，故四 边形 BCDM 为平行四边形.所以 BMCD AB 2.在ABM 中，ABAMBM 2， AOOM 1，所以 BOAD .又平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BO平面 PAD.如图，以 O 为坐标原点，分别 以 OB，OD，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)，D(0，3，0)，A(0，1，0)，B ( ，0，0)，P(0，0， )，C( ，2，0)，则3 3 3( ，3，0).AC 3因为 Q
10、为 DP 的中点，故 Q ，(0，32，32)所以 .AQ (0，52，32)设平面 AQC 的法向量为 m (x，y，z)，则Error! 可得Error!令 y ，则 x3，z5.3故平面 AQC 的一个法向量为 m(3， ，5).3因为 BO平面 PAD，所以 ( ，0，0)是平面 ADQ 的一个法向量.OB 3故 cos ，m .OB OB m|OB |m| 333 32 32 52 337 33737从而可知二面角 DAQC 的余弦值为 .337375.在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC90，ABAD PD1，
11、CD2.(1)求证：BC平面 PBD；(2)在线段 PC 上是否存在一点 Q，使得二面角 QBDP 为 45？若存在，求 的值；若PQPC不存在，请说明理由.(1)证明 平面 PCD底面 ABCD，PDCD，所以 PD平面 ABCD，所以 PDAD .如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，(1，1，0) ， ( 1，1，0)，DB BC 所以 0 ，BCDB ，BC DB 又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，因为 PDBD D，所以 BC平面 PBD.(2)解 平面 PBD 的法向量为 (1， 1，0)，BC (0，2，1)，设 ，(0，1)，PC PQ PC 所以 Q(0，2，1 )，设平面 QBD 的法向量 为 n(a，b， c)，(1，1，0) ， (0，2 ，1)，DB DQ 由 n 0，n 0，DB DQ 得Error!令 b1，所以 n( 1，1， )，2 1所以 cos 45 ，|nBC |n|BC |22 2 2 12 22注意到 (0，1)，得 1，2所以在线段 PC 上存在一点 Q，使得二面角 QBDP 为 45，此 时 1.PQPC 2
