1、1新课标 2016 年高三数学寒假作业 7一、选择题.1.设集合 A=1,2,4,B=a,3,5,若 AB=4,则 AB=( )A4 B1,2,4,5 C1,2,3,4,5 Da,1,2,3,4,52.已知 a0=20.5, b=log32,c=log 20.1,则( )Aabc Bcab Ccba Dbca3.设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 2a6=6+a7,则 S9 的值是( )A27 B36 C45 D544.已知 为锐角,且 tan( )+3=0 ,则 sin 的值是( )A B C D5.若 ,则向量 与 的夹角为( )A B C D6.直线 x+my+1=0 与不等式组
2、 表示的平面区域有公共点,则实数 m 的取值范围是( )A , B , C ,3 D3, 7.多面体 MNABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则 AM 的长( )A B C D8.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如表所示的数据2观测次数i1 2 3 4 5 6 7 8观测数据ai40 41 43 43 44 46 47 48在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 是这 8 个数据的平均数) ,则输出的 S 的值是( )A5 B6 C7 D89.f(x)= x3x2
3、+ax1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数 a 的取值范围为( )A (3,+) B (3, ) C (, D (0,3)10.投掷两枚骰子,则点数之和是 6 的概率为( )A B C D二填空题.11.设全集 U=R,集合 A=x|x2,B=x|x 24x+30 ,则 AB= ,AB= , UB= 312.已知数列a n为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S9=27,则 a23a4 等于 13.计算 的值为 14.若实数 x 满足 x4 ,则函数 f(x )=x+ 的最小值为 三、解答题.15.已知数列a n的首项为 a( a0) ,前 n 项和为 S
4、n,且有 Sn+1=tSn+a(t0) ,b n=Sn+1 ()求数列an的通项公式;()当 t=1,a=2 时,若对任意 nN*,都有 k( + + )b n,求 k 的取值范围;()当 t1 时,若 cn=2+b1+b2+bn,求能够使数列c n为等比数列的所有数对(a , t) 16.已知向量 1(cos,)2xa, (3si,co)xb, R,设函数 ()fxab. () 求 )f的最小正周期;() 求 (x在 0,2上的最大值和最小值. 17.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直AB CD,AB BC,AB=2CD=2BC,EAEB()求证:ABDE
5、;()求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值;()线段 EA 上是否存在点 F,使 EC平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,说明理由4【KS5U】新课标 2016 年高三数学寒假作业 71.C【考点】交集及其运算;并集及其运算【专题】计算题;集合【分析】由 A,B,以及两集合的交集确定出 a 的值,进而确定出 B,找出两集合的并集即可【解答】解:A=1,2,4,B=a,3,5,且 AB=4,a=4,即 B=3,4,5,则 AB=1,2,3,4,5,故选:C【点评】此题考查了交集及其运算,并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键2.C【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及
6、应用【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【解答】解:a=2 0.52 0=1,0b=log 32log 33=1,c=log 20.1log 21=0cba故选:C【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性,属于基础题3.D【考点】等差数列的前 n 项和 5【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质结合已知求得 a5=6,然后直接代入项数为奇数的等差数列前 n 项和公式得答案【解答】解:在等差数列a n中,2a 6=a5+a7,又由已知 2a6=6+a7,得 a5=6,S 9=9a5=54故选:D【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题
7、4.B【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】三角函数的求值【分析】已知等式利用诱导公式变形,求出 tan 的值,根据 为锐角,求出 cos 的值,即可求出 sin 的值【解答】解: 为锐角,且 tan()+3=tan+3=0,即 tan=3,cos= = ,则 sin= = 故选:B【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键5.B【考点】数量积表示两个向量的夹角;向量的模 【专题】平面向量及应用【分析】将已知式子平方可得 =0,代入向量的夹角公式可得其余弦值,结合夹角的范围可得答案【解答】解: ,6 ,两边平方可得 = ,化简可得 =0,设向量 与 的夹
8、角为 则可得 cos= = = ,又 0,故 =故选 B【点评】本题考查数量积与向量的夹角,涉及向量的模长公式,属中档题6.D【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解:即直线 x+my+1=0 过定点 D(1,0)作出不等式组对应的平面区域如图:当 m=0 时,直线为 x=1,此时直线和平面区域没有公共点,故 m0,x+my+1=0 的斜截式方程为 y= x ,斜率 k= ,要使直线和平面区域有公共点,则直线 x+my+1=0 的斜率 k0,即 k= 0,即 m0,满足 kCDkk AB,此时 AB 的斜率 k
9、AB=2,由 解得 ,即 C(2,1) ,CD 的斜率 kCD= = ,7由 ,解得 ,即 A(2,4) ,AD 的斜率 kAD= = ,即 k ,则 ,解得3m ,故选:D【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键7.C【考点】点、线、面间的距离计算;简单空间图形的三视图【专题】空间位置关系与距离【分析】取 E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形,利用正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,求出 ME,AE 的长,即可求 AM 的长【解答】解:如图所示,E,F 分别为 AD,BC 的中点,则 MNEF 为等腰梯形由正(主)视图为等
10、腰梯形,可知 MN=2,AB=4,由侧(左)视图为等腰三角形,可知 AD=2,MO=2ME= =在AME 中,AE=1, =8故选 C【点评】本题考查三视图与直观图的关系,考查学生的读图能力,考查学生的计算能力,属于中档题8.C【考点】程序框图 【专题】概率与统计;算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算输入的 8 个数的方差由表中给出的输入的 8 个数的数据,不难得到答案【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算输入的 8 个数的方差由表中给出的输入的 8 个数的数据,不难得到答案
11、 = (40+41+43+43+44+46+47+48)=44,S2= (4 2+32+12+12+02+22+32+42)=7,故选:C【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型解模9.B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】转化思想;转化法;导数的概念及应用【分析】求得 f(x)的导数,由题意可得 2x22x+a3=0 有两个不
12、等的正根,运用判别式大于 0,两根之和大于 0,两根之积大于 0,解不等式即可得到 a 的范围9【解答】解:f(x)= x3x 2+ax1 的导数为 f(x)=2x 22x+a,由题意可得 2x22x+a=3,即 2x22x+a3=0 有两个不等的正根,则=48(a3)0,x 1+x2=10,x 1x2= (a3)0,解得 3a 故选 B【点评】本题考查导数的几何意义,考查二次方程实根的分布,以及韦达定理的运用,考查运算能力,属于中档题10.A考点: 古典概型及其概率计算公式专题: 概率与统计分析: 利用乘法原理计算出所有情况数,列举出有(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) , (5
13、,1)共有5 种结果,再看点数之和为 6 的情况数,最后计算出所得的点数之和为 6 的占所有情况数的多少即可解答: 解:由题意知,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子,共有 66=36 种结果,而满足条件的事件是两个点数之和是 6,列举出有(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) , (5,1)共有 5种结果,根据古典概型概率公式得到 P= ,故选:A点评: 本题根据古典概型及其概率计算公式,考查用列表法的方法解决概率问题;得到点数之和为 6 的情况数是解决本题的关键,属于基础题11.( 2,3); (1,+); (,13,+).【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析
14、】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集,并集,求出 B 的补集即可【解答】解:由 B 中不等式变形得:(x1) (x3)0,10解得:1x3,即 B=(1,3) ,A=(2, +) ,AB=(2,3) ,AB=(1,+) , UB=(,13 ,+) 故答案为:(2,3) ;(1,+) ;(,13,+)【点评】此题考查了交集及其运算,并集及其运算,以及补集的运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键12.6【考点】等差数列的前 n 项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】在等差数列a n中,由 S9=27 求得 a5,利用 a4a 2=2(a 5a 4)可求解 a23a 4的
15、值【解答】解:因为数列a n为等差数列,且 Sn为其前 n 项和,由 S9=27,得 9a5=27,所以 a5=3又在等差数列a n中,a 4a 2=2(a 5a 4) ,所以 a23a 4=2a 5=6故答案为6【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了等差数列的性质,考查了学生的灵活变形能力,是基础题13.【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】三角函数的求值【分析】所求式子中的角变形后,利用诱导公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解:cos =cos(+ )=cos = 故答案为:【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键14.2【考
16、点】基本不等式 11【专题】函数思想;数学模型法;不等式【分析】由题意可得 x+40,变形可得 f(x)=x+ =x+4+ 4,由基本不等式可得【解答】解:x4,x+40,f(x)=x+ =x+4+ 42 4=2当且仅当 x+4= 即 x=1 时取等号,故答案为:2【点评】本题考查基本不等式求最值,凑出可以基本不等式的形式是解决问题的关键,属基础题15.【 考点】等比数列的性质 【专题】等差数列与等比数列【分析】 ()根据条件和“n=1 时 a1=S1、当 n2 时 an=SnS n1 ”,化简 Sn+1=tSn+a(t0) ,再由等比数列的定义判断出数列a n是等比数列,利用等比数列的通项公
17、式求出 an;()由条件和(I)求出 bn,代入 化简利用裂项相消法求出 ,代入已知的不等式化简后,利用函数的单调性求出对应函数的最小值,从而求出 k 的取值范围;()利用条件和等比数列的前 n 项和公式求出 Sn,代入 bn化简后,利用分组求和法和等比数列的前 n 项和公式求出 cn,化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组,求出方程组的解即可求出结论【解答】解:()解:()由题意知,首项为 a,且 Sn+1=tSn+a(t0) ,当 n=1 时,则 S2=tS1+a,解得 a2=at,当 n2 时,S n=tSn1 +a,(S n+1S n)=t(S nS n1 ) ,则 an+1=ta
18、n,又 a1=a0,综上有 ,即a n是首项为 a,公比为 t 的等比数列, ;12()由()得, =2,则 Sn=2n,b n=Sn+1=2n+1,则 = = , = ( )+( )+ = ( )= ,代入不等式 k( + + )b n,化简得,k =3(4n+ ) ,函数 y= 在( ,+)上单调递增,且 n 取正整数,当 n=1 时,函数 y= 取到最小值是 15,k45;()t1,S n= ,则 bn=Sn+1=1+ =1+ ,c n=2+b1+b2+bn=2+(1+ )n (t+t 2+tn)=2+(1+ )n = + + ,由题设知c n为等比数列,所以有 ,解得 ,即满足条件的数
19、对是(1,2) 【点评】本题考查了等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式,数列的求和方法:裂项相消法、分组求和法,以及“n=1 时 a1=S1、当 n2 时 an=SnS n1 ”关系式的应用,综合性强属于难题1316.() 2T()最小值 12,最大值() ()fxab=cos3incosxx31in2cosxin(2)6x. 所以 ()f的周期 2T. 7 分()解:当 0,x时, ()6x5-,,由 sinyx在 5-,6上的图象可知当 26,即 时, f取最小值 12,当 x,即 3x时, ()x取最大值 .13 分17.【 考点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定
20、;向量语言表述线面的垂直、平行关系 【专题】综合题;空间角【分析】 ()取 AB 中点 O,连接 EO,DO利用等腰三角形的性质,可得 EOAB,证明边形 OBCD为正方形,可得 ABOD,利用线面垂直的判定可得 AB平面 EOD,从而可得 ABED;()由平面 ABE平面 ABCD,且 EOAB,可得 EO平面 ABCD,从而可得 EOOD建立空间直角坐标系,确定平面 ABE 的一个法向量为 , ,利用向量的夹角公式,可求直线 EC 与平面 ABE 所成的角;()存在点 F,且 时,有 EC平面 FBD确定平面 FBD 的法向量,证明 =0 即可【解答】 ()证明:取 AB 中点 O,连接
21、EO,DO因为 EB=EA,所以 EOAB 因为四边形 ABCD 为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四边形 OBCD 为正方形,所以 ABOD 因为 EOOD=O所以 AB平面 EOD 因为 ED平面 EOD所以 ABED 14()解:因为平面 ABE平面 ABCD,且 EOAB,平面 ABE平面 ABCD=AB所以 EO平面 ABCD,因为 OD平面 ABCD,所以 EOOD由 OB,OD,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 因为EAB 为等腰直角三角形,所以 OA=OB=OD=OE,设 OB=1,所以 O(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,0,0
22、) ,C(1,1,0) ,D(0,1,0) ,E(0,0,1) 所以 ,平面 ABE 的一个法向量为 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 ,所以 ,即直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 ()解:存在点 F,且 时,有 EC平面 FBD 证明如下:由 , ,所以 设平面 FBD 的法向量为 =(a,b,c) ,则有所以 取 a=1,得 =(1,1,2) 因为 =(1,1,1)(1,1,2)=0,且 EC平面 FBD,所以 EC平面 FBD即点 F 满足 时,有 EC平面 FBD (14 分)15【点评】本题考查线面垂直,考查线面平行,考查线面角,考查利用向量解决线面角问题,确定平面的法向量是关键