1、1九年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1若抛物线 y=ax2 经过 P（1，2） ，则它也经过 ( )A （2，1） B （1，2） C （1，2） D （1， 2）2一个盒子里装有 3 粒黑棋，2 粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是( )A B C D3一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，则截面圆心O 到水面的距离 OC 是( )A4 B5 C6 D84将抛物线 y=3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1
2、个单位，所得抛物线为( )Ay=3（x 2） 21 By=3（x 2） 2+1 Cy=3（x+2） 21 Dy=3（x+2） 2+15已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0） （0 x3）的图象如图所示，则该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A有最大值 1，没有最小值 B有最大值 3，有最小值3C有最大值 1，有最小值3 D有最大值 3，有最小值 16如图，量角器外缘边上有 A、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是 180，70，30 ，则PAQ 的大小为( )2A10 B20 C30 D407任意抛掷一枚硬币 2 次，两次都正面朝上的概率( )A1 B C D8如图是两个
3、可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是( )A B C D9如图，两灯塔 A、B 间的距离恰好为暗礁所在的圆的半径，要使船 P 不驶入暗礁区，则航行中应保持P( )A大于 60 B大于 30 C小于 60 D小于 3010如图，AB 为 O 的一固定直径，它把O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点 C作弦 CDAB， OCD 的平分线交 O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A，B 两点）上移动时，点 P( )A到 CD 的距离保持不变 B位置不变C等分 D随 C 点移动而移动3二、填空题（本题有 6 小题，每小题
4、 5 分，共 30 分）11请写出一个 y 关于 x 的二次函数，并符合如下条件；（1）开口向上， （2）经过原点，这个函数解析式可以为：_12如图，O 是ABC 的外接圆，BOC=40，则A 的度数为_13一个骰子六个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面出现数字 2的概率是_14把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16 厘米，则球的半径为_厘米15如图，AB 是 O 的直径，C 是半圆上的一个三等分点，D 是 的中点，P 是直径 AB上一点，O 是半径为 1，则 PC+PD 的最小值是_16如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=
5、 x 与直线 y= 交于 A、B，直线AB 交于 y 轴于点 C，点 P 为线段 OB 上一个动点（不与点 O、B 重合） ，当OPC 为等腰三角形时，点 P 的坐标：_4三、思维拓展题：（本题有 2 小题，共 20 分）17由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点（1，0）求证：这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：（1）过点（3，0）（2）顶点是（1，2）（3）在 x 轴上截得的线段的长度是 2 （4）c=3a正确的个数( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个18如图，已知抛物线 y=ax2+
6、bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标5一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1若抛物线 y=ax2 经过 P（1，2） ，则它也经过( )A （2，1） B （ 1，
7、2） C （1，2） D （1，2）考点：二次函数图象上点的坐标特征分析：根据二次函数图象的对称性解答解答： 解：抛物线 y=ax2 经过点 P（1，2） ，x=1 时的函数值也是2，即它也经过点（1， 2） 故选 D点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键2一个盒子里装有 3 粒黑棋，2 粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是( )A B C D考点：概率公式 分析：让黑棋的个数除以球的总数即为摸到黑棋的概率解答： 解：共 5 粒棋子，有 3 粒为黑色，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是 ，故选 B点评：本题考查了概率公式，用到
8、的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比3一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，则截面圆心O 到水面的距离 OC 是( )6A4 B5 C6 D8考点：垂径定理；勾股定理 分析：根据垂径定理求出 BC，根据勾股定理求出 OC 即可解答： 解：OC AB，OC 过圆心 O 点，BC=AC= AB= 16=8，在 RtOCB 中，由勾股定理得： OC= = =6，故选 C点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出 BC 的长4将抛物线 y=3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为( )Ay=3（x 2） 21 By=3（x
9、 2） 2+1 Cy=3（x+2） 21 Dy=3（x+2） 2+1考点：二次函数图象与几何变换 分析：先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可解答： 解：抛物线 y=3x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后的抛物线顶点坐标为（2， 1） ，所得抛物线为 y=3（x+2 ） 21故选 C点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键5已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0） （0 x3）的图象如图所示，则该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A有最大值 1，没有最小值 B有最大值 3，有最小值 3C有最大值
10、 1，有最小值 3 D有最大值 3，有最小值 17考点：二次函数的最值 分析：直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可解答： 解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，1） ，此抛物线开口向下，此函数有最大值，最大值为 1；0x3，当 x=3 时，函数最小值为3故选：C点评：本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解6如图，量角器外缘边上有 A、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是 180，70，30 ，则PAQ 的大小为( )A10 B20 C30 D40考点：圆周角定理 专题：计算题分析：利用量角器的
11、知识计算解答： 解：P、Q 所表示的读数分别是 70，30，则设圆心是 O，连接 OP，OQ ，则POQ=40 ， PAQ 与POQ 是同弧所对的圆心角与圆周角，因而PAQ= =20 度故选 B点评：能够把量角器的问题，抽象成圆的问题，利用圆的知识解决，是数学知识与实际相联系，考查了利用数学解决问题的能力7任意抛掷一枚硬币 2 次，两次都正面朝上的概率( )A1 B C D考点：列表法与树状图法 专题：计算题分析：先画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出两次都正面朝上的结果数，然后根据概率的定义求解8解答： 解：画树状图为：共有 4 种等可能的结果数，其中两次都正面朝上的结果数为 1，
12、所以两次都正面朝上的概率= 故选 D点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率8如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是( )A B C D考点：几何概率专题：计算题分析：根据几何概率的定义，分别求出两圆中 2 所占的面积，即可求出针头扎在阴影区域内的概率解答： 解：指针指向（1）中 2 的概率是 ，指针指向（2）中 2 的概率是 ，指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是 = 故选 B点评：此题考查学生对简单几何概型
13、的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积9如图，两灯塔 A、B 间的距离恰好为暗礁所在的圆的半径，要使船 P 不驶入暗礁区，则航行中应保持P( )A大于 60 B大于 30 C小于 60 D小于 309考点：圆周角定理 专题：应用题分析：连接 OA，OB，AB 及 BC，由 AB 等于圆的半径，得到三角形 AOB 为等边三角形，根据等边三角形的性质可得AOB=60，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出ACB 的度数，再由ACB 为PCB 的外角，根据三
14、角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得APB 小于ACB，即可得到正确的选项解答： 解：连接 OA，OB，AB，BC，如图所示：AB=OA=OB，即AOB 为等边三角形，AOB=60，ACB 与AOB 所对的弧都为 ，ACB= AOB=30，又ACB 为PCB 的外角，ACBAPB，即 APB30故选 D点评：此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键10如图，AB 为 O 的一固定直径，它把O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点 C作弦 CDAB， OCD 的平分线交 O 于点 P，当点 C 在上
15、半圆（不包括 A，B 两点）上移动时，点 P( )A到 CD 的距离保持不变 B位置不变C等分 D随 C 点移动而移动考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 专题：探究型分析：连 OP，由 CP 平分OCD，得到1= 2，而1=3，所以有 OPCD，则 OPAB，即可得到 OP 平分半圆 APB解答： 解：连 OP，如图，CP 平分OCD，1=2，10而 OC=OP，有1=3，2=3，OPCD，又 弦 CDAB，OPAB，OP 平分半圆 APB，即点 P 是半圆的中点故选 B点评：本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半也考查了垂
16、径定理的推论二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11请写出一个 y 关于 x 的二次函数，并符合如下条件；（1）开口向上， （2）经过原点，这个函数解析式可以为：y=x 2+2x考点：二次函数的性质 专题：开放型分析：根据二次项系数大于零，可得图象开口向上，根据常数项为零，可得图象经过原点解答： 解：二次函数图象开口向上且经过原点，这个函数解析式可以为 y=x2+2x，故答案为：y=x 2+2x点评：本题考查了二次函数的性质，利用了二次项系数大于零的函数图象开口向上，常数项为零的函数图象经过原点12如图，O 是ABC 的外接圆，BOC=40，则A 的度数为 20考点：圆
17、周角定理 分析：直接根据圆周角定理即可得出结论解答： 解：BOC 与A 是同弧所对的圆心角与圆周角， BOC=40，BAC= BOC=20故答案为：2011点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键13一个骰子六个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面出现数字 2的概率是 考点：概率公式 专题：计算题分析：直接根据概率公式求解解答： 解：投掷一次，朝上的面出现数字 2 的概率= 故答案为点评：本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A ） =事件 A 可能出现的结果数除以所有可能出现的
18、结果数14把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 EF=CD=16 厘米，则球的半径为 10 厘米考点：垂径定理的应用；勾股定理 分析：首先找到 EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，设OF=x，则 OM 是 16x，MF=8，然后在直角三角形 MOF 中利用勾股定理求得 OF 的长即可解答： 解：EF 的中点 M，作 MNAD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，设 OF=x，则 OM=16x，MF=8，在直角三角形 OMF 中，OM 2+MF2=OF2即：（16x） 2+82=x2解得：x=10故答案为：1012点评
19、：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形15如图，AB 是 O 的直径，C 是半圆上的一个三等分点，D 是 的中点，P 是直径 AB上一点，O 是半径为 1，则 PC+PD 的最小值是 考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理 分析：作 D 关于 AB 的对称点 E，连接 CE 交 AB 于点 P，连接 OC，OE ，则 DP+CP 最小，根据解直角三角形求出 CE，根据轴对称求出 DP+CP=CE 即可解答： 解：作 D 关于 AB 的对称点 E，连接 CE 交 AB 于点 P，连接 OC，OE ，则根据垂径定理得：E 在O 上，连接 EC 交
20、AB 于 P，则若 P 在 P时，DP+CP 最小，C 是半圆上的一个三等分点，AOC= 180=60，D 是 的中点，AOE= AOC=30，COE=90，CE= OC= ，即 DP+CP= 故答案为： 点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力1316如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x 与直线 y= 交于 A、B，直线AB 交于 y 轴于点 C，点 P 为线段 OB 上一个动点（不与点 O、B 重合） ，当OPC 为等腰三角形时，点 P 的坐标：P 1（ ， ） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） 考点：二次函数
21、的性质 分析：根据解方程组，可得 B 点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得 C 点坐标，根据等腰三角形的判定，可得关于 x 的方程，根据解方程，可得答案解答： 解：联立抛物线与直线，得，解得 ， ，即 B（3，3） 当 x=0 时，y= ，即 C（0， ） 设 OB 的解析式为 y=kx，将 B 点坐标代入，得3k=3，解得 k=1，即 OB 的解析式为 y=x，设 P 点坐标为（x，x） ，当 OP=OC 时，x 2+x2=（ ） 2解得 x= （不符合题意，舍） ，x= ，y=x= ，P 1（ ， ） ；当 OP=CP 时，x 2+（x ） 2=x2+x2，解得 x= ，y=x= ，
22、P 2（ ， ） ；当 OC=CP 时，x 2+（x ） 2=（ ） 2，解得 x=0（不符合题意，舍） ，x= ，y=x= ，P 3（ ， ） ，14综上所述：P 1（ ， ） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） ，故答案为：P 1（ ， ） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） 点评：本题考查了二次函数的性质，利用解方程组求交点坐标，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏三、思维拓展题：（本题有 2 小题，共 20 分）17由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点（1，0）求证：这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称，根据现
23、有信息，题中的二次函数具有的性质：（1）过点（3，0）（2）顶点是（1，2）（3）在 x 轴上截得的线段的长度是 2 （4）c=3a正确的个数( )A4 个 B3 个 C2 个 D1 个考点：二次函数的性质 分析：分别利用二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标性质进而得出答案解答： 解：（1）因为图象过点（1，0） ，且对称轴是直线 x=2，另一个对称点为（3，0） ，正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与 x 轴两交点为（1，0） ， （3，0） ，故在 x 轴上截得的线段长是 2，正确；（4）图象过点（1，0） ，且对称轴是直线 x=
24、=2 时，则 b=4a，即 a4a+c=0，即可得出c=3a，正确正确个数为 3故选 B点评：本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数图象的对称性，此题难度不大18如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的
25、坐标15考点：二次函数综合题 专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点 D；（3）根据直线 AC 的解析式，设出过点 E 与 AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式=0 时， ACE 的面积最大，然后求出此时与 AC 平行的直线，然后求出点 E 的坐标，并求出该直线与 x 轴的交点 F 的坐标，再求出 AF，再根据直线 l 与 x 轴的夹角为 45求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离
26、，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0 ） ，点 C（4，3） ， ，解得 ，所以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0） ，则 ，解得 ，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x2） 21，抛物线的对称轴为直线 x=2，当 x=2 时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点 D（ 2，1） ，使 BCD 的周长最小；16（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为
27、y=x+m，联立 ，消掉 y 得，x 25x+3m=0，=（5） 241（3m）=0 ，即 m= 时，点 E 到 AC 的距离最大， ACE 的面积最大，此时 x= ，y= = ，点 E 的坐标为（ ， ） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ，0） ，AF= 1= ，直线 AC 的解析式为 y=x1，CAB=45，点 F 到 AC 的距离为 AFsin45= = ，又 AC= =3 ，ACE 的最大面积 = 3 = ，此时 E 点坐标为（ ， ） 点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题
