1、课时作业A 组基础对点练1(2015高考湖北卷 )设 XN (1， )，YN( 2， )，这两个正态分布密度曲21 2线如图所示下列结论中正确的是( )AP(Y 2)P(Y 1)BP(X 2)P(X 1)C对任意正数 t，P(Xt)P( Yt)D对任意正数 t，P( Xt) P(Yt )解析：由正态分布密度曲线的性质可知，XN( 1， )，YN( 2， )的密度曲线21 2分别关于直线 x 1，x 2对称，因此 结合题中所给图像可得， 1 2，所以P(Y 2)P(Y 1)，故 A 错误又 XN( 1， )的密度曲线较 YN( 2， )的密21 2度曲线“瘦高” ，所以 1 2，所以 P(X 2
2、)P(X 1)，B 错误对任意正数t，P(Xt) P( Yt)， P(Xt)P( Yt)，C 正确，D 错误答案：C2(2018长沙模拟 )一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数(例如：若 a1a 3a 5 1，a 2a 40，则 A10101)，其中二进制数 A 的各位数中，已知 a11，a k(k2,3,4,5)出现 0 的概率为 ，出13现 1 的概率为 ，记 Xa 1a 2a 3a 4a 5，现在仪器启动一次，则 E(X)( )23A. B.83 113C. D.89 119解析：法一：X 的所有可能取值为 1,2,3,4,5，P(X 1)C 4 0 ，P(X2)4(13
3、)(23) 181C 3 1 ，P(X3)C 2 2 ，P(X4)C 1 3 ，P(X5)34(13)(23) 881 24(13)(23) 827 14(13)(23) 3281C 0 4 ，所以 E(X)1 2 3 4 5 .04(13)(23) 1681 181 881 827 3281 1681 113法二：由题意，X 的所有可能取 值为 1,2,3,4,5，设 YX 1，则 Y 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，因此 YB(4， )，所以 E(Y)4 ，从而 E(X)E (Y1)E (Y)23 23 831 1 .83 113答案：B3已知袋中有 20 个大小相同的球，其中记上
4、0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n个(n 1,2,3,4)现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号若 aX b，E()1，D( )11，则 ab 的值是( )A1 或 2 B0 或 2C2 或 3 D0 或 3解析：由题意可知，X 的所有可能取 值为 0,1,2,3,4，E(X) 0 1 2 3 4 ，12 120 110 320 15 32D(X) 2 2 (2 )2 2 2 .12 (0 32) 120 (1 32) 110 32 320 (3 32) 15 (4 32) 114由 D()a 2D(X)，得 a2 11，即 a2.114又 E()aE (X)b，所以当 a2 时，由
5、12 b，32得 b2，此时 ab0.当 a2 时，由 12 b，得 b4，此时 a b2.故选 B.32答案：B4若随机事件 A 在 1 次试验中发生的概率为 p(0p1)，用随机变量 表示 A在 1 次试验中发生的次数，则 的最大值为( )2D 1EA22 B22 2C2 D222 2解析：随机变量 的所有可能取值为 0,1，且 P(1)p，P (0)1p，即B(1，p) ，根据公式得 E()p，D()p(1 p)， 则 2 .而2D 1E (2p 1p)2p 2 2 ，当且仅当 2p ，即 p 时 取等号因此当 p 时，1p 2p1p 2 1p 22 22取得最大值 22 .2D 1E
6、2答案：D5若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作 3 次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作 3 次设某学生一次制作成功的概率为 p(p0)，制作次数为 X，若 X 的数学期望 E(X) ，则 p 的取值范围是( )74A. B.(0，712) (712，1)C. D.(0，12) (12，1)解析：由已知条件可得 P(X1) p， P(X2)(1 p)p，P(X3) (1p)2p(1 p)3 (1p) 2，则 E(X)P(X1)2P( X2)3P (X3)p2(1p)p3(1 p) 2 p23p3 ，解得 p 或 p ，又 p(0,1，可得 p ，故选74 52 12 (0，
7、12)C.答案：C6(2015高考广东卷 )已知随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)若 E(X)30，D(X )20，则 p .解析：由Error!得 p .13答案：137已知 X 是离散型随机变量，P(X x 1) ，P(Xx 2) ，且 x1x 2.若 E(X)23 13，D(X) ，则 x1x 2 的值为 43 29解析：由题意得 X 的所有可能取值为 x1，x2，所以 E(X) x1 x2 ，D(X)23 13 43 232 2 ，整理得 Error!，(x1 43) 13(x2 43) 29解得Error!或Error!(舍去) ，故 x1x 23.答案：38(2018淄博模拟
8、 )某 4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由 09 中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)若“三位递减数”中的三个数字之和既能被 2 整除又能被 5 整除，则可以享受 5 万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被 2 整除，则可以享受 3 万元的优惠；其他结果享受 1 万元的优惠(1)试写出所有个位数字为 4 的“三位递减数” ；(2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额 X 的分布列及数学期望 E(X)解析：(1)个位数字 为 4 的“三位递减数”有：984,974,964,954,874,864,854,
9、764,754,654，共 10 个(2)由题意，不同的“三位递减数”共有 C 120(个)310小明得到的优惠金额 X 的取值可能为 5,3,1.当 X5 时，三个数字之和可能 为 20 或 10，当三个数字之和为 20 时，有 983,974,965,875，共 4 个“三位递减数” ；当三个数字之和为 10 时，有 910,820,730,721,640,631,541,532，共 8 个“三位递减数” ，所以 P(X5) .4 8120 110当 X3 时，三个数字之和只能被 2 整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被 10 整除的“三位递减数” ，故 P(X
10、3) .C35 C25C15 12120 48120 25故 P(X1)1P( X5)P(X3) 1 .110 25 12所以他得到的优惠金额 X 的分布列为X 5 3 1P 110 25 12数学期望 E(X)5 3 1 2.2(万元)110 25 129(2018唐山模拟 )退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城市市民的年龄构成，按 1%的比例从年龄在 2080岁(含 20 岁和 80 岁) 之间的市民中随机抽取 600 人进行调查，并将年龄按20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80进行分组，绘制成频率分布直方图，
11、如图所示规定年龄在20,40)岁的人为“ 青年人”， 40,60)岁的人为“ 中年人”，60,80岁的人为 “老年人” (1)根据频率分布直方图估计该城市 60 岁以上(含 60 岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的 600 人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在 2080 岁的人口分布的概率，从该城市年龄在 2080 岁的市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解析：(1)由频 率分布直方图可知 60 岁以上(含 60 岁)的频率为(0.010.01)100.2，故样本中 60 岁以上(含 6
12、0 岁)的人数为 6000.2120，故该城市 60 岁以上(含60 岁)的人数为 1201%12 000.所调查的 600 人的平均年龄为250.1350.2450.3550.2650.1750.148(岁)(2)法一：由频 率分布直方图知， “老年人”所占的频率为 ，所以从该城市年龄在152080 岁的市民中随机抽取 1 人，抽到“老年人”的概率为 ，15分析可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3，P(X0)C 0 3 ，03(15)(45) 64125P(X1)C 1 2 ，13(15)(45) 48125P(X2)C 2 1 ，23(15)(45) 12125P(X3)C 3 0
13、.3(15)(45) 1125所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125E(X)0 1 2 3 .64125 48125 12125 1125 35法二：由题意知每次抽到“老年人”的概率都是 ，且 XB(3， )，P(Xk)15 15C k 3k ，k0,1,2,3 ，k3(15)(1 15)所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125故 E(X)3 .15 35B 组能力提升练1(2018南阳模拟 )设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB (3，p) ，若 P(X1) ，则 D(3Y1)( )59A2
14、B3C6 D7解析：法一：由题意得 P(X1) P(X1)P(X2)C p(1p)C p2 ，所12 259以 p ，则 YB(3， )，故 D(Y)3 ，所以 D(3Y1)9D (Y)913 13 13 (1 13) 236.23法二：因为 P(X1)1P(X0) ，所以 P(X0)C (1p) 2 ，所以 p ，59 02 49 13则 YB ，故 D(Y)3 ，所以 D(3Y1)9D (Y)9 6.(3，13) 13 (1 13) 23 23答案：C2已知甲、乙两个工人在同样的条件下生产某种材料，日生产量相等，每天出废品的情况如表所示，则下列结论正确的是( )工人 甲 乙废品数 0 1
15、2 3 0 1 2 3概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些B乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些C两人生产的产品质量一样好D无法判断谁生产的产品质量好一些解析：根据离散型随机变量的分布列可知甲生产的产品出废品的平均值为00.410.320.230.11，乙生产的产品出废品的平均值为00.310.520.2300.9，结合实际可知乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些，故选 B.答案：B3已知随机变量 的所有可能取值分别为 1,2,3,4,5.若数学期望 E()4.2，则 取值为 5 的概率至少为( )A0.1 B0.
16、15C0.2 D0.25解析：设 的取值为 1,2,3,4,5 的概率分别为 p1，p2，p3，p4，p5，pi0,1，i1,2,3,4,5，则 p1p 2p 3p 4p 51， 则 p12p 23p 34(1p 1p 2p 3p 5)5p 54.2p 50.23p 12p 2p 30.2，当 p1p 2p 30 时等号成立答案：C4(2018西安模拟 )前不久，社科院发布了 2015 年度“全国城市居民幸福排行榜” ，北京市成为本年度最“幸福城” ，随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16 名，如图所示的茎叶图记录了他们
17、的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶).(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福” 求从这 16 人中随机选取 3 人，至多有 1 人是“极幸福”的概率；(3)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选 3 人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望解析：(1)众数： 8.6；中位数：8.75.(2)设 Ai(i0,1,2,3)表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福 ”，至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A，则 P(A) P(A0)P(A 1) .C312C316
18、C14C21C316 121140(3)法一： 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(0) 3 ；P(1)C 2 ；(34) 2764 13 14 (34) 2764P(2)C 2 ；P(3) 3 .23(14) 34 964 (14) 164 的分布列为： 0 1 2 3P 2764 2764 964 164所以 E()0 1 2 3 0.75.2764 2764 964 164法二： 的所有可能取值为 0,1,2,3.则 B ，(3，14)P(k)C k 3k ，k0,1,2,3.k3(14)(34)所以 E()3 0.75.145(2016高考山东卷 )甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活
19、动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜34 23对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X)解析：(1)记事件 A：“甲第一 轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” 由题意，E A
20、BCD BCDA CDAB DABC ，A B C D由事件的独立性与互斥性，P(E)P (ABCD)P( BCD)P(A CD)P(AB D)P(ABC )P (A)P(B)P(C)A B C DP(D)P( )P(B)P(C)P(D)P(A )P( )P(C)P(D)P(A )P(B)P( )P(D)P(A)P (B)P(C)A B CP( ) 2 ，D34 23 34 23 (14233423 34133423) 23所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 .23(2)由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0) ，P(X1)214
21、13 14 13 1144 ，(34131413 14231413) 10144 572P(X2) ，34 13 34 13 34 13 14 23 14 23 34 13 14 23 14 23 25144P(X3) ，34 23 14 13 14 13 34 23 12144 112P(X4)2 (34233413 34231423) ，60144 512P(X6) .34 23 34 23 36144 14可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 1144 572 25144 112 512 14所以数学期望 E(X)0 1 2 3 4 6 .1144 572 25144 112 512 14 236
