1、第一部分 考点研究,第五单元 四边形,第24课时 矩形、菱形、正方形,考点特训营,矩形、菱形、正方形,矩形 菱形 正方形 常见四边形之间的转化关系,矩形,性质,边：对边平行且相等，即,AB=CD,AD=BC ABCD,AD_,角：四个角都是直角，即ABC=BCD=ADC= BAD=90 对角线：_，即ACBD，OA=OB=OC=OD 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有_条对称轴,判定,一个角是 _的平行四边形是矩形 三个角是 _的四边形是矩形 对角线_的平行四边形是矩形,面积：S_（a,b分别表示长和宽）,BC,相等且互相平分,两,直角,直角,相等,ab,菱形,性质,边：四边_，即A
2、B=BC=CD=DA；对边平行，即ABCD,ADBC 角：对角相等，即ADC=ABC,DAB=DCB,对角线,互相垂直且_，即,ACBD AO=OC,DO=OB,每条对角线平分一组对角，即,AC平分DAB与BCD BD平分ABC与ADC,对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是 _;对称轴是两条对角线所在的直线,相等,平分,两条对角线的交点,菱形,判定,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,四边 _的四边形是菱形，即,四边形ABCD AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱形,对角线 _的平行四边形是菱形，即,平行四边形ABCD_,四边形ABCD是菱形,面积：S _(m,n分别表示两
3、条对角线的长),相等,互相垂直,ACBD,mn,正方形,性质,边：四条边 _，即AB=BC=CD=AD；对边平行，即ABCD,ADBC 角：四个角都是直角，即ABC=ADC=BCD=BAD=90,对角线,互相 _且相等，即,ACBD AC平分BD,BD平分AC AC=BD,平分一组对角，即,DAC=CAB=45,DCA=ACB=45 ADB=BDC=45,ABD=DBC=45,对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 _条对称轴,相等,垂直平分,4,正方形,判定,有一个角是 _的菱形是正方形 有一组 _相等的矩形是正方形,对角线相等的 _是正方形，即,菱形ABCD ACBD,四边形ABCD
4、是正方形,对角线互相 _的矩形是正方形，即,矩形ABCD ACBD,四边形ABCD是正方形,5.对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，即,AC平分BD、BD平分AC ACBD ACBD,四边形ABCD是正方形,面积：Sa2(a表示正方形边长),直角,邻边,菱形,垂直,常见四边形之间的转化关系,重难点突破,一、矩形性质的相关计算 例 1 如图，矩形ABCD中，AB8，BC6，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( ) A. 6 B. 6.25 C. 6.5 D. 7,例1题图,【解析】如解图，连接EF交AC于点O，四边形EGFH是菱形，EF
5、AC，OEOF，四边形ABCD是矩形，BD90，ABCD，ACDCAB，在CFO与AEO中， ，CFOAEO(AAS)，AOCO，AC 10，AO AC5，CABCAB，AOEB90，AOEABC， ， ，AE 6.25.,【思维教练】考虑到AE应放到三角形中去求解，连接对角线EF，与AC交于点O，则可得到RtAEO，斜边AE可通过RtAEORtACB来求得,例1题解图,练习1 如图，矩形ABCD中，E为AD的中点，BED的角平分线EF交BC于F，若AB6，BC16，则FC的长度为( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 8,练习1题图,【解析】在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC16，E为
6、AD的中点，AE= AD= 168，在RtABE中，BE= =10，EF是BED的角平分线，BEFDEF，ADBC，BFEDEF，BEFBFE，BEBF，FCBCBF16106.,二、矩形折叠的相关计算 例 2 如图，一张长方形纸片的长AD4，宽AB1，点E在边AD上，点F在BC边上，将四边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的中点G处，则EG等于( ) A. B. 2 C. D.,例2题图,【思维教练】由于折叠及平行，可得到GEFEFG，根据等角对等边可得到EGFG，将求EG的长转换为求FG的长求FG的长时，可将FG放到三角形里，过点G作GMBC，设FGx，再根据勾股定理列出关于x的方
7、程，求出FG的长,例2题解图,【解析】如解图，过点G作GMBC，交BC于点M. 则GMAB1，DGCM，四边形ABCD是矩形，BCAD4，ADBC，GEFBFE，由折叠的性质得GFBF，GFEBFE，GEFGFE，EGFGBF，设EGFGBFx，G是AD的中点，CMDG AD2，FMBCBFCM2x，在RtGFM中，由勾股定理得FG2FM2GM2，即x2(2x)212，解得x= ，即EG= .,对于折叠的相关计算，应掌握：(1)折叠的性质：位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称，折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；(2)对应角、对应线段相等；(3)可能会涉及到三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识
8、,练习2 如图，矩形纸片ABCD中，AB3 cm，现将纸片折叠压平，使点A与点C重合，折痕为EF，如果sinBAE ，那么重叠部分AEF的面积为( ) A. B. C. D.,练习2题图,【解析】设AE13x，则BE5x，由折叠可知，ECAE13x，在RtABE中，AB2BE2AE2，即32(5x)2(13x)2，解得x ，由折叠可知AEFCEF，ADBC，CEFAFE，AEFAFE，即AEAF ，SAEF AFAB 3 .,三、菱形的判定及性质 例 3 如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EFAC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF. (1)求证：四边形AECF是菱形
9、【思维教练】要证四边形AECF为菱形，已知对角线EFAC，且AOOC，则只需证明OEOF， 根据已知条件易证AOFCOE，即可得证 【自主作答】,例3题图,(1)证明：点O是AC的中点， AOCO， 四边形ABCD是矩形， ADBC， AFECEF， 在AOF和COE中，,AOFCOE(AAS)， OFOE， EFAC， 四边形AECF是菱形；,(2)若AB ，DCF30，求四边形AECF的面积(结果保留根号) 【思维教练】要求菱形AECF的面积，已知菱形的高AB的长，只需求得EC的长即可在RtCDF中，已知DCF，CD的长，即可求得CF的长，即得EC的长 【自主作答】,解：四边形ABCD是矩
10、形， CDAB ， 在RtCDF中， cosDCFcos30， CF 2，四边形AECF是菱形，CECF2， 四边形AECF的面积为ECAB2 2 .,四 、正方形性质及相关计算(难点) 例 4 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGAE于点G，延长BG至点F使CFB45. (1)求证：AGFG； 【思维教练】过点C作CHFB，要证明AGFG， 可通过证明AGBBHC，得AGBH， 再通过等腰直角三角形的性质及等量代换 得BGFH，最终得到AGFG.,例4题图,(1)证明：如解图，过C点CHBF于H点， CFB45 CHHF， ABGBAG90，FBEABG90 BAGFBE， AGBF，CHBF， AGBBHC90，,在AGB和BHC中，AGBBHC(AAS)， AGBH，BGCH， BHBGGH， BHHFGHFG，AGFG；,例4题解图,(2)如图，延长FC、AE交于点M，连接BM，若C为FM中点，BM10，求CM的长 【思维教练】要求出CM的长，需借助辅助线，仍过C作CHBF，根据全等形中位线的性质和直角三角形的性质即可求出CM的长 【自主作答】,解：如解图，CHGF，CHGM， C为FM的中点，CH GM，BG GM， BM10，BG24BG2100，BG2 ， CHBG2 ， CHF90，CFB45， CF CH2 ， CMCF2 .,
